Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Управление нестационарными колебаниями, конечными передвижениями, деформированной формой и динамическими карактеристиками упругик конструкций

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Управление нестационарными колебаниями, конечными передвижениями, деформированной формой и динамическими карактеристиками упругик конструкций

Количество страниц	286

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23187.doc

Содержание	Содержание ВВЕДЕНИЕ...7 1. УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ УПРАВЛЯЕМЫХ КОНСТРУКЦИЙ...24 1.1. Объект управления...25 1.2. Обобщенные аэродинамические силы...29 1.3. Измерительные и исполнительные устройства...33 1.4. Преобразование общих уравнений аэроавтоупругих колебаний...36 1.5. Уравнения в комплексных нормальных координатах...39 1.6. Передаточные функции...41 1.7. Устойчивость и вынужденные колебания управляемой системы...43 1.8. Активные элементы с управляемыми деформациями...46 1.9. Уравнения электроупругих колебаний пьезокерамических тел...51 1.10. Тонкая пьезокерамическая пластина с поперечной поляризацией...55 1.11. Композиты со слоями из электроупругих материалов...57 1.12. Электроупругие колебания композитной оболочки...61 2. УПРАВЛЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ И ДЕФОРМИРОВАННОЙ ФОРМОЙ УПРУГИХ КОНСТРУКЦИЙ.. 64 2.1. Численное определение управляющих сил при неполном управлении системы...65 2.2. Решение уравнений в комплексных нормальных координатах...68 2.3. Определение управляющих сил для консервативной системы с малым демпфированием...72 2.4. Определение командных сигналов для активного гашения нестационарных колебаний части упругой системы...74 2.5. Управление деформированной формой упругих конструкций...76 2.5.1. Закрепленная конструкция...76 2.5.2. Свободная конструкция...78 2.5.3. Система с кинематическими условиями управления...80 2.6. Учет местных податливостей конструкции...81 2.7. Гашение колебаний неконсервативной системы при гармоническом возбуждении...83 2.8. Об обратных задачах динамики упругих систем...85 2.9. Примеры расчета...88 2.9.1. Гашение вращательных колебаний груза на конце ферменной конструкции...88 2.9.2. Гашение колебаний подвески на упругом крыле в потоке при порывах ветра...93 2.9.3. Управление деформированной формой фермы...100 3. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА УПРУГИХ КОСМИЧЕСКИХ СИСТЕМ...103 3.1. Формулировка задачи. Основные соотношения...104 3.2. Нелинейные уравнения движения...110 3.3. Упругие и гравитационные силы...116 3.4. Линеаризованные уравнения движения...117 3.5. Нелинейные колебания вращающихся гибких стержней...121 3.5.1. Колебания в плоскости вращения...121 3.5.2. Колебания в плоскости, перпендикулярной плоскости вращения 124 3.6. Динамика космического аппарата с выпускаемой тросовой системой ...126 3.6.1. Растяжимый трос...126 3.6.2. Нерастяжимый трос...132 3.7. Примеры вычислительной динамики тросовых систем...136 3.7.1. Падение закрепленного троса...136 3.7.2. Плоское движение космического аппарата с выпускаемой тросовой системой на орбите...139 3.8. Нелинейная динамика гибких стержней...143 3.8.1. Нелинейный конечный элемент гибкого стержня...143 3.8.2. Нелинейные уравнения движения стержневой системы при больших перемещениях...145 3.9. Расчет раскрытия стержневой системы...148 3.10. Космическая ферма с регулируемыми стержнями...149 3.10.1. Электроупругие деформации трубчатого стержня...152 3.10.2. Нелинейные уравнения динамики управляемой стержневой системы...153 3.10.3. Линеаризованные уравнения колебаний...156 4. ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ ПРИ КОНЕЧНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЯХ И ПОВОРОТАХ ...158 4.1. Конечные перемещения и повороты линейной упругой системы...159 4.2. Устранение колебаний упругих систем после быстрых передвижений ...161 4.3. Произвольные импульсы для передвижения упругих систем...165 4.4. Поворот упругого стержня с массивным твердым телом на конце... 166 4.5. Нелинейная задача поворота гибкого стержня...169 4.6. Передвижение маятника на подвижном подвесе...177 4.7. Активное гашение колебаний КА с упругими панелями солнечных батарей...179 4.7.1. Уравнения колебаний...181 4.7.2. Определение реактивного момента маховика для гашения упругих колебаний КА...182 5. УСТРАНЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ КОНСТРУКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ НЕЛИНЕЙНЫХ УПРУГИХ СВЯЗЕЙ...187 5.1. Нелинейные упругие элементы с односторонними связями...187 5.2. Флаттер цельноповоротного стабилизатора с односторонней связью 192 5.2.1. Уравнения аэроупругих колебаний стабилизатора...192 5.2.2. Влияние односторонней связи на флаттер...195 5.3. Аэроупругие колебания стреловидного крыла с двигателями на пилонах, удерживаемых односторонними связями...199 5.3.1. Математическая модель для изгибно-крутильных колебаний крыла большого удлинения с учетом поперечных сдвигов и конусности ...201 5.3.2. Применение метода конечных элементов...204 5.4. Дифференциальные уравнения изгибно-крутильных колебаний крыла с учетом конусности и поперечного сдвига...217 5.4.1. Вывод уравнений...217 5.4.2. Пример расчета...221 5.5. Расчеты аэроупругих колебаний крыла с двигателем и с односторонними связями...224 5.6. Оценка собственных значений неконсервативной системы с нелинейной связью...231 6. АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ И ОПТИМИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК УПРУГИХ НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ...235 6.1. Система с малыми неконсервативными силами...236 6.2. Неконсервативная система...240 6.3. Аэроупругие колебания стабилизатора...242 6.4. Коэффициенты чувствительности собственных значений неконсервативных систем...245 6.5. Оптимизация динамических характеристик неконсервативных систем ...250 6.6. Повышение запаса устойчивости по флаттеру цельноповоротного стабилизатора...253 7. ТЕРМОУПРУГИЙ ИЗГИБ И ДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОСТЕННОГО ТРУБЧАТОГО СТЕРЖНЯ ПРИ СОЛНЕЧНОМ НАГРЕВЕ...260 7.1. Определение теплового потока...260 7.2. Распределение температуры по поверхности оболочки...263 7.3. Термоупругий изгиб стержня...264 7.4. Численные решения связанной нелинейной задачи термоупругого изгиба и теплопроводности стержня...265 7.5. Динамическая неустойчивость стержня при солнечном нагреве по изгибным формам...269 7.6. Динамическая неустойчивость стержня при солнечном нагреве по изгибно-крутильным формам...272 7.7. Границы динамической неустойчивости двухстепенной модели...276 7.8. Примеры расчета динамической неустойчивости...279 7.8.1. Динамическая неустойчивость по изгибным формам...279 7.8.2. Динамическая неустойчивость при изгибно-крутильных формах281 ЗАКЛЮЧЕНИЕ...283 ЛИТЕРАТУРА...286 ВВЕДЕНИЕ Современные летательные и космические аппараты (ЛА и КА) являются управляемыми системами. В возмущенном движении наряду с перемещениями и поворотами как твердого тела они совершают колебания. Упругие колебания конструкции вместе с перемещениями и поворотами тела измеряются в определенных местах датчиками и по их сигналам система управления формирует корректирующие управляющие воздействия. Таким образом происходит взаимодействие упругой конструкции с системой управления. Раздел механики, в котором изучается такое взаимодействие и решаются связанные с ним задачи, называется автоупругостью. ЛА и КА в возмущенном движении подвергаются различным нагрузкам, зависящим от параметров движения таким как инерционные и упругие силы, аэродинамическое давление, «следящие» реактивные силы истекающих газов, реакции различных частей и элементов, совершающих относительное движение (вращающиеся роторы, движущаяся по каналам жидкость), силы внутреннего сопротивления (демпфирования), управляющие силы с обратными связями. Некоторые из этих нагрузок являются неконсервативными, и поэтому ЛА и КА, как объекты управления, являются упругим неконсервативными системами [8, 19, 23, 24, 28, 70, 76, 90, 91, 101-103, ПО, 111, 115, 147, 159, 165, 179, 190]. Такие системы при определенных условиях могут быть динамически неустойчивыми. Например, при обтекании упругой несущей поверхности при скорости, превышающей критическую, имеет место флаттер. Собственные значения и векторы линейной неконсервативной системы, в отличие от консервативной системы, являются комплексными. Это усложняет решение задач динамики и устойчивости неконсервативных систем. Если, как это обычно делается, решение ищется в виде разложений по собственным формам колебаний упругой конструкции, то уравнения колебаний неконсервативной системы (т.е. упругой конструкции с учетом неконсервативных сил) в действительных нормальных координатах получаются связанными; в случае консервативной системы эти уравнения несвязаны и решаются аналитически точно. Управление колебаниями упругих систем можно разделить на два типа — пассивное управление и активное управление. Пассивное управление осуществляется путем выбора параметров системы, чтобы получить требуемые динамические характеристики: демпфирование колебаний; расположение собственных частот в заданном диапазоне; качество переходного процесса; амплитудно-частотные характеристики. Для этих целей также можно подбирать подходящие временные характеристики и пространственное распределение внешних воздействий (нагрузок), если они допускают такие изменения. Для замкнутых систем (конструкция плюс система управления) кроме всего еще могут выбираться места расположения измерительных датчиков и приводов (их можно отнести к параметрам системы). Для рационального выбора параметров пассивно управляемой системы можно использовать анализ чувствительности и методы оптимизации определенных характеристик системы. По существу пассивное управление колебаниями упругих конструкций является предметом их рационального проектирования. При активном управлении упругая конструкция с действующими на нее нагрузками, как объект управления (ОУ) объединяется обратными связями с системой автоматического регулирования (автоматом стабилизации (АС)), включающей в свою структуру измерительные, вычислительные, усилительные, корректирующие и исполнительные устройства. В результате управляющие воздействия на ОУ зависят от параметров его движения в точках расположения измерительных датчиков. При этом замкнутая система становится неконсервативной, даже если ОУ является консервативной системой. К числу обобщенных координат, описывающих движение ОУ, добавляются переменные параметры АС. В результате размерность замкнутой системы повышается, иногда значительно, если, например, система управления является многоканальной со многими входами и выходами также значительно увеличивается круг различных задач динамики активно управляемых упругих конструкций и различных методов их решения. При этом по-прежнему актуальными остаются задачи рационального проектирования таких систем с использованием анализа чувствительности и методов оптимизации. Динамика упругих систем с активным управлением (автоупругость) начала интенсивно развиваться только в последние три десятилетия благодаря потребностям авиационной и ракетно-космической техники, а также созданию быстродействующих управляемых манипуляционных роботов с упругими звеньями. В последнее десятилетие такие исследования распространились на гражданские сооружения для активного управления напряженно-деформированным состоянием, колебаниями и устойчивостью конструкций [1,2,87,88]. Разработки по автоупругости основываются на многочисленных теоретических и экспериментальных исследованиях по строительной механике и динамике конструкций, по композиционным материалам и материалам со специальными свойствами, по аэроупругости и по системам управления [4, 5, 9, 13, 18-20, 22-29, 64-66, 70, 72, 81-85, 90, 94, 100, 101, 103, 104, 107, 123, 137, 138, 143, 160, 175, 178, 192, 193,205]. Для современных самолетов весьма важное место занимают задачи взаимодействия упругих колебаний конструкции с аэродинамическим нагрузками и системой управления, представляющие аэроавтоупругость [19]. С помощью системы активного управления можно обеспечить необходимое распределение аэродинамических нагрузок по размаху упругого крыла и получить оптимальные значения аэродинамических коэффициентов, умень- шить аэродинамические нагрузки на самолет при маневрах и порывах ветра, подавить флаттер, снизить уровень вибраций. Задачам аэроавтоупругсти самолетов посвящены работы [19, 66, 95, 117, 120, 124-126, 128, 145, 148, 152, 161, 169, 174, 176, 177, 188, 196, 198, 203,204, 206,210,215] и др. Активное гашение аэроупругих колебаний вращающихся лопастей несущих винтов вертолетов рассматривалось в работах [127, 153, 191, 214], а активное подавление вибраций фюзеляжа вертолета, вызванных колебаниями вращающегося несущего винта, - в работе [163]. Баллистические ракеты-носители оснащены весьма точными и высокочувствительными системами управления с обратными связями по линейным ускорениям, замеряемым акселерометрами, и по угловым скоростям и углам поворота, замеряемым скоростными и позиционными гироскопами в отдельных точках корпуса. При этом жидкостные ракеты большого удлинения обычно имеют достаточно низкие собственные частоты колебаний жидкости в баках и упругих колебаний корпуса. Поэтому в математических моделях динамики возмущенного движения баллистических ракет они рассматриваются как упругие (или гидроупругие) системы, взаимодействующие с системой автоматического управления. Основополагающие результаты по динамике возмущенного движения и динамической устойчивости упругих жидкостных ракет, как объектов автоматического управления, были получены К.С. Колесниковым. Им были опубликованы первые в данной области научные монографии и учебники, а также получены технические решения, реализованные в реальных изделиях [68-71]. Важные результаты по продольным и поперечным колебаниям управляемых жидкостных ракет получены также во многих работах других авторов [4, 10-12, 77, 89, 90, 92]. Проблемы взаимодействия упругих конструкций с системами автоматического управления являются особенно актуальными для космической техники. Развертываемые и собираемые в условиях невесомости космические конструкции являются очень гибкими. Во многих случаях они должны иметь весьма высокую точность наведения и ориентации и сохранять прецизионную (порядка микрона) точность формы, например, для нормального функционирования специальных оптических и навигационных приборов. Это может быть достигнуто только с помощью активного управления динамическими операциями, колебаниями и деформированной формой космических конструкций. При этом система управления с дискретно или непрерывно распределенными по конструкции сенсорами (чувствительными элементами) и актуаторами (приводами) со многими входами и выходами должна быть сама по себе достаточно точной и должна реагировать на различные, в том числе неопределенные и случайные, силовые, кинематические и температурные возмущения в широком диапазоне частот. Поэтому космическим конструкциям посвящено большое число публикаций по автоупругости: [79, 86, 97, 98, 106, 119, 129, 133, 134, 146, 182, 211] и др. Большой вклад в разработку теории и методов расчета динамики и динамической устойчивости упругих управляемых конструкций внесли Н.П. Абовский, Ю.Г. Балакирев, Н.В. Баничук, Л.В. Докучаев, К.С. Колесников, А.А. Красовский, Б.И. Рабинович, Ф.Л., Черноусько, E.F. Crawley, P.P. Friedmann, R.T. Haftka, L. Meirovitch, B.K. Wada и др. Большим техническим достижением в аэроавтоупругости явилось создание в начале 70-х годов прошлого столетия самолета-бомбардировщика В-52Е с активной многоканальной системой управления [151]. С помощью специальных автоматически отклоняемых закрылков и флаперонов на этом самолете подавлялся флаттер, регулировались маневренные нагрузки, парировались нагрузки при порывах ветра, снижался общий уровень вибраций и улучшалась комфортность полета. За этим последовали аналогичные технические разработки для самолетов следующих поколений, таких как YF-16, YF-17, F/A-18, X-29A, Ил-96, Су-33 и др. В связи с созданием управляемых конструкций в автоупругости возникла концепция адаптивных конструкций [183, 212]. Адаптивными называются такие управляемые конструкции, которые в ответ на внешние воздействия могут автоматически изменять свою форму и упругодинамические характеристики, чтобы выполнялись заданные функциональные требования. Проектирование адаптивных конструкций представляет собой так называемую в англоязычной литературе многодисциплинарную деятельность, включающую исследования по композиционным и специальным материалам, актуаторам, сенсорам, системам автоматического управления, строительной механике, динамике и оптимизации. Начиная с 80-х годов прошлого столетия, в США, а затем и в некоторых других странах для исследований по созданию адаптивных конструкций были созданы специальные научные центры, лаборатории и подразделения. Было опубликовано большое число научных статей, посвященных не только космическим конструкциям, но и авиационным — крыльям самолетов и лопастям несущих винтов вертолетов. Работы [211, 213] содержат обзоры исследований по адаптивным конструкциям на период до 1990 года. Большое внимание в концепции адаптивных конструкций уделяется применению так называемых «умных» или «интеллектуальных» материалов, характеристики упругости или вязкости которых могут изменяться под воздействием различных полей: температурного поля (термоупругие материалы и сплавы с памятью формы); электрического поля (электроупругие материалы и электрореологические жидкости); магнитного поля (магнитореологиче-ские жидкости). С помощью встроенных в конструкцию активных элементов из таких материалов можно регулировать в определенных пределах деформации и демпфирование этих элементов и, следовательно, конструкции в целом. Наибольшее число публикаций в этой области посвящено исследованию колебаний упругих управляемых конструкций с активными элементами Большим удобством пьезокерамики является то, что она обладает практически мгновенной реакцией, а также то, что ее физические свойства можно описать линейными алгебраическими соотношениями с симметричной матрицей коэффициентов (типа обобщенного закона Гука). В силу прямого и обратного пьезоэффектов (возникновение электрических напряжений при деформировании и деформаций под воздействием электрических напряжений, соответственно) пьезокерамика одновременно может выполнять функции сенсора и актуатора. Кроме того, она привлекательна для создания адаптивных конструкций вследствие сравнительной простоты математического описания ее поведения. Пьезокерамика типа PZT или ЦТС (с добавками свинца, цинка и титана) имеет модуль упругости, близкий (-90%) к модулю упругости дюраля, а плотность - близкую к плотности стали. Недостатками такой пьезокерамики является: повышенная хрупкость; весьма малые предельные упругие деформации; малые предельные растягивающие напряжения (~15% от предельных напряжений для дюраля); наличие ползучести ( влияние на АЧХ особенно на низких частотах до 6%) и гистерезиса (до 16% на частотах порядка 1 Гц); существенная нестабильность (до 15%) пьезоконстант; подверженность старению, приводящему к деградации пьезоэлектрических свойств. Поскольку на электродированных участках поверхности подводимые электрические напряжения постоянны, то активные пьезокерамические накладки и слои композитов приходится выполнять в виде отдельных несвязанных между собой элементов. При включении таких элементов за счет клеевых соединений в работу конструкции теряется их эффективность и, кроме того, вблизи краев элементов возникают зоны концентрации напряжений как в пьезокерамике так и в основном материале. Указанные недостатки пьезокерамических материалов затрудняют их использование в качестве активных силовых элементов с регулируемыми деформациями в реальных конструкциях самолетов и вертолетов для длительных сроков эксплуатации. Практически все публикации по подавлению флаттера крыльев, лопастей несущих винтов и панелей обшивки с помощью активных пьезокерамических накладок отражают результаты поисковых и оценочных научных исследований на модельных примерах. В частности, опубликованные теоретические результаты по активному подавлению панельного флаттера [141, 142, 150, 187, 202, 207, 222] по существу являются обобщением на аэроавтоупру-гость одной из простейших классических задач аэроупругой устойчивости, которой уже посвящены сотни публикаций. Более целесообразно использовать активные элементы из пьезокерамических материалов для управления деформированной формой и колебаниями весьма гибких (особенно, статически определимых) космических конструкций, а также небольших экспериментальных аэроупругих моделей, поскольку для этого требуются сравнительно небольшие управляющие усилия и достаточно малые деформации. В настоящее время для управления ферменными космическими конструкциями появились в промышленном исполнении специальные активные элементы в виде силового пьезоцилиндра с подвижным штоком (типа гидроцилиндра), [119, 146, 217]. Внутри цилиндрической оболочки такого элемента располагается набор тонких поперечных пьезокерамических пластинок с поперечной поляризацией и электродами на их плоских поверхностях. При подаче электрического напряжения предварительно сжатый пакет пластинок (пьезокерамика плохо работает на растяжение) деформируется в осевом направлении за счет обратного пьезоэффекта и передвигает шток, в котором при сопротивлении перемещению возникает осевое усилие (реакция). Ниже В адаптивных конструкциях также могут быть использованы другие различные принципы создания управляющих сил, включая традиционные. Для управления колебаниями упругих конструкций могут быть использованы инерционные силы относительного движения масс, таких как маховики [93] и магнитные сердечники в индукционных катушках [182]. Управление квазистатической деформированной формой конструкций может быть осуществлено путем регулируемого изменения температуры ее термоупругих элементов, например, теплоизолированных стержней [144, 156]. В работе [78] предложен новый эффективный способ устранения флаттера крыла путем создания управляемых срывов потока за счет отклонения или выдвижения достаточно малых щитков (пластинок). Этот способ может быть также использован для подавления аэроупругих колебаний при ветре различных строительных конструкций и сооружений, например, подвесных мостов, дымовых труб, высотных башен, шпилей и пр. Управление потоком также может осуществляться путем адаптивного управления формой профиля крыла [132]. Для активного демпфирования колебаний конструкций используются электрореологические или магнитореологические жидкости в специальных управляемых демпферах или полостях (порах) композиционного материала [205]. Нелинейности характеристик конструкции, аэродинамического нагру-жения и системы управления могут быть использованы для активного подавления динамической неустойчивости путем выведения колебаний на режим предельного цикла с достаточно малыми и приемлемыми амплитудами [161]. Для управления деформациями натурных конструкций самолетов (например, крыльев) требуются встроенные силовозбудители, способные создавать достаточно большие усилия без ограничений на требуемую величину хода (удлинения), согласующегося с упругими перемещениями. Такими си-ловозбудителями могут быть гидроцилиндры, винтовые пары, стержни с поворачивающимися эксцентриками (осями типа коленвала), стальные ленты и тросы регулируемой длины и пр. Они вместе с приводами (элекродвигателя-ми, редукторами и другими механизмами) могут размещаться внутри тонкостенных оболочечных конструкций. Их потребные характеристики (управляющее усилие, ход, быстродействие), а также число и места расположения определяются по результатам решения задач управляемого движения (состояния) системы при действии некоторых заданных возмущений. В аэроупругих конструкциях (крыльях, лопастях несущих винтов) для управления колебаниями, деформированной формой и, следовательно распределением аэродинамических нагрузок могут использоваться аэродинамические механически отклоняемые или выдвигаемые органы управления, такие как предкрылки, закрылки, элероны, щитки, интерцепторы, флапероны, законцовки. Упругая конструкция с встроенными силовозбудителями и органами управления с учетом действующих аэродинамических нагрузок объединяется с системой управления, имеющей в своей структуре измерительные, вычис- лительные, усилительные и корректирующие устройства, и в результате получается замкнутая аэроавтоупругая система. Уравнения колебаний упругой управляемой системы обычно получают путем синтеза уравнений объекта управления (конструкции, находящейся под действием внешних в общем случае неконсервативных сил) и уравнений системы управления. Необходимо чтобы математические модели каждой из этих систем могли быть проверены (идентифицированы) по отдельности на достоверность и точность в заданном диапазоне частот. Обычно уравнения колебаний ОУ как неконсервативной системы в обобщенных координатах получают методом Ритца или методом конечных элементов. Затем эти уравнения для уменьшения порядка системы и с целью идентификации модели удобно преобразовать к нормальным координатам некоторой базовой консервативной системы с постоянными коэффициентами [28]. После этого ОУ объединяется с АС. Для анализа динамической устойчивости замкнутой системы ОУ плюс АС могут быть использованы частотные методы [4, 69-72, 77, 89-92, 106] с передаточными функциями ОУ и АС или корневые методы, основанные на решении задачи о собственных значениях замкнутой системы [19, 26]. Последний подход является более удобным для сложных систем управления со многими входами и выходами с учетом того, в настоящее время в математическом обеспечении всех известных программных комплексов для компьютеров имеются стандартные программы для решения проблемы комплексных собственных значений матриц высокого порядка. Для этого уравнения колебаний замкнутой системы записываются в пространстве состояний в виде канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка [19, 26, 96,105,129, 170,181]. Полученные собственные значения и векторы этой системы, а также -сопряженной ей системы, могут быть далее использованы для преобразования уравнений колебаний замкнутой системы и приведения их к несвязан-

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23187.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.