Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Геометрические структуры на узлан и зацеплениях

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Геометрические структуры на узлан и зацеплениях

Количество страниц	82

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23538.doc

Содержание	Содержание Оглавление Введение 4 1 Объемы многогранников 13 1.1 Предварительные сведения... 14 1.2 Объем куба Ламберта... 19 1.3 Объемы усеченных тетраэдров... 26 1.3.1 Тетраэдр с двумя усеченными вершинами ... 26 1.3.2 Тетраэдр с одной усеченной вершиной ... 33 2 Объем симметричного тетраэдра 42 2.1 Теорема синусов для n-мерного симплекса в пространствах постоянной кривизны... 43 2.1.1 Многомерная теорема синусов в евклидовом пространстве... 43 2.1.2 Многомерная теорема синусов в гиперболическом пространстве ... 44 2.2 Объем гиперболического тетраэдра... 50 2.3 Объем сферического тетраэдра... 54 3 Объемы конических многообразий, полученных хирургией Дона на узлах и зацеплениях 61 3.1 Спонтанная хирургия на зацеплении Борромеевы кольца . . 62 3.2 Метрические свойства конических многообразий О/™, О™/, Ok,i,m 69 3.3 Объемы конических многообразий O^'m, О™^ Ok,i,m... 75 Литература 82 Введение Теория узлов возникла в Шотландии в 1867 году усилиями трех физиков: Дж. Максвелла, П. Тэйта и У. Томсона. Интерес к узлам был связан с чисто физическими проблемами теории электромагнетизма (см. [28]). Дж. Листинг, К. Рейдемейстер и М. Ден развили теорию узлов до более общей теории трехмерных многообразий. Было введено понятие фундаментальной группы, и теория групп стала одним из наиболее мощных инструментов в теории узлов. Начиная с работ Дж. Александера, полиномиальные инварианты становятся удобным инструментом для изучения узлов. За последние 20 лет было исследовано много различных полиномов такого типа, среди них полиномы Джонса, Кауфмана, HOMFLY, А-полиномы, инварианты Васильева и другие. Это связывает теорию узлов с алгеброй и алгебраической геометрией. В 1975 году Р. Райли [43] нашел примеры гиперболических структур на дополнениях к некоторым узлам и зацеплениям до 3-сферы. Позже У. Тер-стон выдвинул гипотезу о существовании римановой метрики постоянной отрицательной кривизны на трехмерных многообразиях. В частности, оказалось, что дополнение простого узла до 3-сферы (за исключением тори-ческих и сателлитных узлов) допускает гиперболическую структуру. Этот подход позволяет рассматривать теорию узлов как часть геометрии и теории клейновых групп. С момента возникновения и до наших дней теория узлов получила значительное развитие в работах К. К. Адамса [7], X. Цишанга [9], Дж. X. Кон-вея [12], Р. X. Кроуэлла и Р. X. Фокса [14], Дж. В. Милнора [33], Д. Рольф-сена [4С] и других математиков. С работ У. Тёрстона [49] и К. Ходжсона [23] теория узлов нашла широкое применение в теории многообразий, орбифолдов, конических многообразий и получила в данном направлении значительное развитие в работах X. М. Хилдена, М. Т. Лозано и X. М. Монтезиноса-Амилибии ([20]-[22]), С. П. Керкгоффа [24], В. Данбара [17], К. Н. Джонс [26], С. Коджимы [29], Дж. Порти [5], А. Д. Медных и А. Ю. Веснина [35] и других. В диссертации исследуются геометрические структуры конических многообразий, полученных орбифолдной и спонтанной хирургиями Дена на узлах и зацеплениях. Наиболее естественным методом изучения геометрических структур на коническом многообразии является разбиение последнего на многогранники, в частности, на тетраэдры. Согласно теореме К. Петро-нио и Д. Эпштейна [18] это всегда можно сделать в гиперболическом пространстве. Важной характеристикой геометрической структуры являются такие геометрические инварианты как объем, инвариант Черна-Саймонса, длины сингулярных геодезических и другие. Значительная часть настоящей диссертации посвящена вычислению объемов. В 1995 году X. М. Хилден, М. Т. Лозано и X. М. Монтезинос-Амилибия [21] рассмотрели геометрические структуры конических многообразий, полученных спонтанной хирургией на узле "восьмерка", и получили интегральную формулу для вычисления объема таких многообразий. Спонтанная хирургия на многообразии Гизекинга была рассмотрена Э. Мольнаром, И. Проком и Дж. Зирмаи [39]. Гиперболичекий объем полученного мно- гообразия был представлен в виде суммы трех функций Лобачевского. В 2003 году А. Д. Медных и В. С. Петров [37] получили простую формулу для вычисления гиперболического объема конических многообразий, полученных спонтанной и орбифолдной хирургиями Дена на компонентах зацепления Уайтхеда. В третьей главе диссертации изучены конические многообразия, полученные орбифолдной и спонтанной хирургиями Дена на компонентах зацепления Борромеевы кольца, и найдены интегральные формулы для вычисления гиперболических объемов таких конических многообразий. Вычисление объемов многообразий непосредственно связано с важной и актуальной геометрической задачей о вычислении объемов многогранников. В 90-х годах XX века И. X. Сабитов [47] доказал, что объем евклидова многогранника — это корень алгебраического уравнения, коэффициенты которого являются многочленами, зависящими от длин ребер многогранника, а коэффициенты последних зависят лишь от комбинаторного тина многогранника. В гиперболическом и сферическом случаях ситуация более сложная. Основные идеи вычисления объемов в неевклидовых геометриях были определены в 1836 году в работе Н. И. Лобачевского [30] и в 1852 году в работе Л. Шлефли [48]. Приблизительно в 1935 году X. С. М. Кокстер возобновил интерес к работам Н. И. Лобачевского и Л. Шлефли. Дальнейшее развитие эти идеи получили в работах Дж. Бома [8] для n-мерных орто-схем и Э. Мольнара [38] при вычислении объемов n-мерных симплексов в гиперболическом и сферическом пространствах. Объемы правильных многогранников в гиперболическом пространстве были полученны Дж. Мартином [32] в 1991 году. Объемы идеальных гиперболических многогранников во многих основных частных случаях были найдены Э. Винбергом [3]. Объемы куба Ламберта, усеченных тетраэдров и некоторых других многогранников были получены Р. Келлерхальц [27], Д. А. Деревниным и А. Д. Медных [15], А. Д. Медных, Дж. Паркером и А. Ю. Весниным [36] и другими. Для гиперболических куба Ламберта, тетраэдра с двумя усеченными вершинами и тетраэдра с одной усеченной вершиной в первой главе диссертации получены метрические соотношения, позволившие найти интегральное представление для объемов указанных многогранников. Эти результаты являются необходимыми для вычисления объемов многообразий, рассмотренных в третьей главе, а также представляют самостоятельный интерес. До последнего времени оставалась нерешенной старая классическая задача о вычислении объема произвольного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах. Формула объема для бинрямоуголыюго тетраэдра была известна со времен Н. И. Лобачевского [30] и Л. Шлефли [48]. Первая попытка получить формулу для произвольного гиперболического тетраэдра принадлежит В.-Ю. Хсянгу [25]. В 1999 году в работе Ю. Чо и X. Кима [11] была получена формула объема произвольного тетраэдра в виде суммы шестнадцати дилогарифмических функций. Позже Дж. Му-раками и У. Яно [40] также получили достаточно сложную формулу для вычисления объема произвольного тетраэдра. Более простое доказательство этой формулы, которое включает также объемы усеченных тетраэдров, было найдено А. Ушиджимой [50] в 2002 году. В диссертации предложен новый подход для вычисления объемов многогранников, позволивший получить простое интегральное представление для объема симметричного тетраэдра в гиперболическом и сферическом пространствах. Перейдем к краткому изложению содержания работы и точным формулировкам основных результатов. Параграф 1.1 главы 1 носит вводный характер, он содержит основные определения и обозначения, используемые в диссертации. Основным результатом двух следующих параграфов являются теоремы об объемах следующих гиперболических многогранников: куб Ламберта, тетраэдр с двумя усеченными вершинами и тетраэдр с одной усеченной вершиной. Интегральная формула объема тетраэдра с двумя усеченными вершинами представлена в следующей теореме: Теорема 1.5 Объем гиперболического тетраэдра Т"(а,/5,7) с двумя усеченными вершинами вычисляется по формуле: + ОО \ г (I л. A2)(t2 — B2)(t2 — С2) dt 4 / (1 — ?2v42)(l + B2)(l + С2) ?2 + 1' т где Т - положительный корень алгебраического уравнения (1 + Л2)Г2 - (1 + В2 + С2 - А2В2С2) = О, А = tga, В = tg/5 и С = tg7- В параграфе 1.3, в качестве вспомогательного результата для получения объема тетраэдра с двумя усеченными вершинами, доказана следующая теорема: Теорема 1.4 Длины La,Lp,Ly гиперболического тетраэдра 1~"{ot, /5,7) с двумя усеченными вершинами удовлетворяют правилам: chLa sin/5 sin 7 cos a sh Lp sh L7 th La tg/5 tg7 = 1 (правило синусов-косинусов), = T (правило тангенсов), tg a th Lfj th где Т - полоэ/сительлый корень алгебраического уравнения (1 + А2)Т2 - (1 + В2 + С2 - А2В2С2) = О, А = tg or, В = tg /3 и С = tg 7. Аналогичные теоремы установлены и доказаны для куба Ламберта и тетраэдра с одной усеченной вершиной в гиперболическом пространстве. Кроме вспомогательного характера, эти теоремы представляют самостоятельный интерес. При вычислении объемов указанных многогранников, в диссертации предложен новый подход, позволяющий получить результаты работ [15] и [27] как частные случаи. Глава 2 посвящена решению классической задачи о вычислении объема произвольного тетраэдра. В параграфах 2.2 и 2.3 данной главы эта задача решена для симметричного тетраэдра Т в гиперболическом и сферическом пространствах. Симметричным будем называть тетраэдр Т у которого двугранные углы при противолежащих ребрах равны. Следующая теорема дает интегральное представление для объема гиперболического симметричного тетраэдра: Теорема 2.8 Объем гиперболического симметричного тетраэдра Т, с двугранными углами а, /3, у, вычисляется по формуле: А . В + arcsin где 1-А2-В2-С2- 2АВС Th = - C)(-l + A + В + С) и А = cos а, В = cos /3, С — cos 7. В параграфе 2.1 найден гиперболический аналог многомерной теоремы синусов, полученной И. Ривиным [44] для n-мерного симплекса в евклидовом пространстве. Также в этом разделе представляет самостоятельный интерес трехмерный аналог правила sh A\s\\ h\ = sh /bsh кг = sh A3sh /13 для гиперболического треугольника с высотами /&i,/i2,/i3> опущенными на стороны с длинами равными А\, Ai% A3, использованного П. Бузером [10] при вычислении спектра оператора Лапласа — Бельтрами на компактных римановых поверхностях. Глава 3 диссертации является наиболее важной, она посвящена исследованию конических многообразий, полученных орбифолдной и спонтанной хирургиями Дена на зацеплении Борромеевы кольца. В параграфе 3.1 изучено существование геометрических структур на указанных конических многообразиях. Существование геометрических структур на коническом многообразии, полученном спонтанной хирургией с параметрами (0, к), (0, /), (0, т) на трех компонентах зацепления Борромеевы кольца, описывает следующая теорема: Теорема 3.1 Коническое многообразие Ok,i,m — В((0, к), (0,1), (0,m)) является гиперболическим, если k,l,m > 1; евклидовым, если к,1,т = 1; сферическим, если ^ < к,1,т < 1. Теоремы тангенсов и синусов-косинусов для указанных конических многообразий установлены в параграфе 3.2. Они представляют самостоятель- ный интерес, а также являются вспомогательными результатами для получения объемов конических многообразий, рассматриваемых в следующем параграфе. Основным результатом данной главы являются теоремы о гиперболических объемах конических многообразий, полученных орбифолд-ной и спонтанной хирургиями Дена на зацеплении Борромеевы кольца. Следующая теорема дает интегральное представление объема гиперболического конического многообразия, полученного спонтанной хирургией на всех трех компонентах зацепления Борромеевы кольца. Теорема 3.9 Объем гиперболического конического многообразия О^^т = В((0, к), (0,1), (0, тп)), полученного спонтанной хирургией с параметрами (О, к), (0, /), (0, т) на компонентах зацепления Борромеевы кольца, вычисляется по формуле: Vol Оы.т = -2 / In (l-t2A2)(l-t2B2)(\-t2C2) о где Т - полоэ/сителъный корень алгебраического уравнения А2В2С2Т4 + (1 + А2 + В2 + С2)Т2 -1 = 0, Результаты диссертации обсуждались на семинаре отдела геометрии и анализа Института математики СО РАН им. С. Л. Соболева под руководством академика РАН Ю. Г. Решетняка и на семинаре "Геометрические структуры на многообразиях и орбифолдах" Института математики СО РАН под руководством профессора А. Д. Медных, а также докладывались на XL Международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2002), Международной конференции по гиперболической геометрии, посвященной 200-летию со дня рождения Яноша Больяи (Будапешт, Венгрия, 2002), Второй российско-« германской встрече по геометрии, посвященной 90-летию со дня рождения А. Д. Александрова (Санкт-Петербург, 2002), Международной конференции "Узлы в Польше 2003" (Варшава, Польша, 2003), Международной конференции "Топология узлов VI" (Токио, Япония, 2003). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [52] — [58]. Диссертация состоит из введения, трех глав и сниска литературы из 58 наименований, содержит 1G рисунков и 1 таблицу. Общий объем диссерта-ч, ции — 88 страниц. Пользуясь случаем, автор выражает глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю профессору А. Д. Медных за постановку задач и плодотворные обсуждения полученных результатов. Глава 1 Объемы многогранников Вычисление объемов многогранников является важной и актуальной задачей, известной со времен Н. И. Лобачевского [30]. В 90-х годах XX века И. X. Сабитов [47] доказал что объем евклидова многогранника — это корень алгебраического уравнения, коэффициенты которого являются многочленами, зависящими от длин ребер многогранника, а коэффициенты последних зависят лишь от комбинаторного типа многогранника. В гиперболическом и сферическом случаях ситуация более сложная. Объемы правильных многогранников были получены Дж. Мартином [32]. Объемы идеальных гиперболических многогранников во многих основных частных случаях были найдены Э. Винбергом [3]. Объемы куба Ламберта, усеченных тетраэдров и некоторых других многогранников были получены Р. Келлерхальц [27], Д. А. Деревниным и А. Д. Медных [15], А. Д. Медных, Дж. Паркером и А. Ю. Весниным [36] и другими. В данной главе найдены интегральные представления для объемов куба Ламберта, тетраэдров с двумя усеченными вершинами и одной усеченной вершиной в гиперболическом пространстве Н3. При этом предлагается новый подход, позволяющий получить результаты работ [15] и [27] как част- ные случаи. 1.1 Предварительные сведения Следуя Дж. Ратклиффу [42], приведем несколько хорошо известных фактов из гиперболической геометрии, которые будут необходимы в дальнейшем. Вещественное векторное пространство Ш!1'1 размерности (n-f 1) с лорен-цевым скалярным произведением (х, у) = — xqijq + xiyi + ... + хпуп, где х = (хо,х\, ...,хп) и у = (уо»2/ь -чУп) называется лорепцевым (п + 1)-мерпым пространством Е1>гг. Пусть Tit = {x G Е1)П\|(х,х) = — 1} — двуиолостпый гиперболоид, а "Н* = {x G Е1)"\|(х,х) = — 1,жо > 0} — его верхняя полость. Сужение квадратичной формы, индуцированой лоренцевым скалярным произведением (•, •) на касательное пространство к 71, положительно определено и дает риманову метрику на %. Пространство %* с указанной метрикой называется гиперболической моделью n-мерного гиперболического пространства и обозначается Шп. Гиперболическое расстояние d между двумя точками х и у в этой метрике задается формулой (х, у) = — chd. Пусть /С = {х е Е1'п\|(х,х> = 0} — конус, a fC+ = {к е Е1'п\|(х,х> = О,а:о > 0} — его верхняя часть. Тогда луч в /С+, исходящий из начала координат о, соответствует точке на идеальной границе Шп. Множество таких лучей образует сферу на бесконечности S^"1. Тогда каждый луч в /С+ становится точкой на бесконечности пространства Шп. Пусть V обозначает радиальную проекцию из Е1)П\{:с G Е1)Г1\|а;о = 0} на аффиную гиперплоскость Р" = {х ? Е1>п\|:со = 1} вдоль луча выходящего из начала координат о. Проекция V — это гомеоморфизм Шп на п-мерный открытый единичный шар Вп в Р? с центром в точке (1,0,0, ...,0), который задает проективную модель Нп. Аффиная гиперплоскость Р? содержит не только В" и его теоретико-множественную границу дЪп в Р?, которая канонически отождествляется с S^"1, но также внешность компактифицированной проективной модели В" = В" [J дЪп ^ Шп [J S^T1. Таким образом, V может быть естественным образом продолженно до отображения из Е!'п\{о} на n-мерное вещественное проективное пространство Р = PyUP^, где Р?о — множество прямых в аффиной гиперплоскости {х G Е1>п\|:со = 0}, проходящих через начало координат о. Обозначим через ExtBn внешность В" в Тп. Пусть 7is = {х е Е1>п\|(х,х) = 1} — однополостный гиперболоид. Для произвольной точки и в 1-L3 определим в Е1)П полупространство R,, = {х 6 E1>n\|{x,u) < 0} и гиперплоскость Ри = {х е E1>n\|(x,u) = 0} = dR^. Обозначим Ги (соответственно, Пи) пересечение Ru (соответственно, Ри) с В". Тогда Пи является геодезической гиперплоскостью в Нп, а соответствие между точками в %s и полупространством Ги в Шп есть биекция. Назовем и нормальным вектором к Ри (или Пи). Предложение 1.1. [42] Пусть х и у — две произвольные не коллипеариые точки в 7is. Тогда имеет место один из фактов: (1) Две геодезические гиперплоскости Пх и Иу пересекаются, если \|(х, у)\| < 1. В этом случае (гиперболический) угол в меэ/сду ними вычисляется по формуле: (х, у) = - cos в. (2) Две геодезические гиперплоскости Пх и Пу не пересекаются в Вп, то есть они пересекаются в ExtB", если \|(х,у)\| > 1. В этом случае (гиперболическое) расстояние d между ними вычисляется по формуле: a Ux и Пу называют ультрапараллельиыми. (3) Две геодезические гиперплоскости Пг и Иу не пересекаются в Вп, но пересекаются па дВп, если \|(х, у)\| = 1. В этом случае -угол и расстояние Mcoicdy ними равны пулю, а Пх и Иу называют параллельными. Предложение 1.2. Пусть х — точка в Вп, и П.у — геодезическая гиперплоскость, нормальный вектор к которой у ? 7is, а (х, у) < 0. Тогда расстояние d Meoicdy x и Пу вычисляется по формуле: (х,у) = -shd. Пусть Хп обозначает одно из следующих n-мерных пространств постоянной кривизны: евклидово пространство Еп, сферическое пространство Sn или гиперболическое пространство ЕГ\ Вычисление объемов всех рассматриваемых в работе многогранников основывается на известной формуле Шлефли (см., например, [23],[27],[48]). Теорема 1.1 (Дифференциальная формула объема Шлефли). Пусть компактный симплексS € Х"(п > 2) имеет вершины Ро,...,Рп и двугранные углы 0jk — ^(«Sj, tSjt), 0 < j < k < п, образованные (п — 1) — мерными гранями Sj,Sk симплекса S при грани Sjk = Sj f\Sk- Тогда дифференциал объема V па миоэюсстве всех симплексов в Хп имеет вид: 1 п+1 KdV(S) = т---- У] Voln.2(Sjk)d9jk (Vo(Sjk) := 1), где К — кривизна пространства X". На протяжении всех глав диссертации положим К = — 1 для гиперболического пространства и К = 1 для сферического пространства. Кроме того, будем работать с трехмерными гиперболическим Н3 и сферическим S3 пространствами. В этом случае формула Шлефли приводится к следующему виду: KdV = о 5D где Ljt — длина соответствующего ребра симплекса S. Для работы с гиперболическими многогранниками используется модель Н3, которая реализуется как верхняя полость двуполостного гиперболоида. Эта модель в n-мерном случае подробно описана выше. В третьей главе диссертации мы будем работать с трехмерными коническими многообразиями, полученными орбифолдной и спонтанной хирур-гиями Дена на компонентах зацепления Борромеевы кольца. Трехмерное евклидово коническое многообразие — это метрическое пространство, полученное как факторпространство объединения набора непересекающихся геодезических 3-симплексов в Е3, которое образовано изометрическим спариванием граней таким комбинаторным способом, что топологическое пространство-носитель является многообразием. Гиперболические и сферические копические многообразия определяются аналогично (см. [26)). Такое пространство обладает римановой метрикой постоянной кривизны на объединении клеток размерности 3 и клеток размерности 2. На каждой клетке размерности 1 структура полностью определяется углом в, являющимся суммой двугранных углов вокруг всех ребер симплекса, которые

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23538.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.