У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ
Заказать диплом, курсовую, диссертацию


Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Понравилось
Не понравилось





Книга жалоб
и предложений

 





Название Аппроксимации функций на всей прямой посредством весовык экспонент и теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера
Количество страниц 89
ВУЗ МГИУ
Год сдачи 2010
Бесплатно Скачать 23544.doc 
Содержание Содержание
Оглавление

Введение 3 Глава 1. Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера для преобразований Фурье некоторых специальных классов

функций 13

1. Вспомогательные утверждения 13

2. Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга 20

3. Теоремы типа Пэли-Винера 36 Глава 2. Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера

для преобразований Фурье быстро убывающих функций 38

1. Вспомогательные утверждения 38

2. Асимптотика преобразований Лапласа

быстро убывающих функций 40

3. Теоремы типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера 59 Глава 3. Условие полноты весовых экспонент на прямой 72

1. Вспомогательные утверждения 72

2. Условие полноты весовых экспонент на прямой 75

3. Точность константы в теореме 3.1 79

Список литературы 89

ВВЕДЕНИЕ

В диссертации исследуется вопрос о полноте систем экспонент с весом в пространстве L2(R), а также доказывается ряд связанных с этим теорем типа Хаусдорфа-Юнга и Пэли-Винера.

Отправной точкой послужила следующая теорема Винера.

Теорема (Н. Винер, 1931 г.)[1]. Пусть f e Ьг(К) (?2(R)). Для того, чтобы линейные комбинации сдвигов

/(t-A), AgR

были плотны в ^(R) (L2(R)), необходимо и достаточно, чтобы f ф О (/ ф 0 почти всюду).

Так как (f(t — А)) = e~lXtf(t), а преобразование Фурье задает изоморфизм пространства L2(R) на себя, то плотность в L2(R) линейных комбинаций сдвигов

Л(/) = (Л*-А), AgAcR)

эквивалентна полноте в L (R) семейства экспонент

e-iXtg(t), AgAcR, (0.1)

где g(t) = fit) e L2(R).

Благодаря этому теорема Винера переформулируется следующим образом. Пусть g(t) E L2(R)] для того, чтобы семейство

е"ш g(t), A € R

было полно в L2(R), необходимо и достаточно, чтобы g ф 0 почти всюду.

Зафиксируем g G L2(R), g ф 0 почти всюду. Возникают вопросы: Существует ли множество Л С R, Л ф R такое, что семейство экспонент (0.1) полно в L2(R)?

Если существует, то как более экономно выбрать множество Л? От чего зависит выбор такого множества?

Частичный ответ на поставленные вопросы дает следующий результат A.M. Седлецкого [13, 16]. Если \g(t)\ > exp(-w(|?|)), t G R, где u{t) > 0, Lj(t) возрастает при t > 0 и uj(t)/(t2 + 1) G L1(l,-foo), то, пока Л неплотно в R, семейство экспонент (0.1) неполно в L2(R).

Таким образом, допуская некоторую вольность, можно сказать, что полные семейства (0.1) с Л ф R следует искать среди семейств с экспоненциальным и более быстрым убыванием веса g(t). Здесь, как мы увидим

вскоре, выбор Л (А ^ R) уже возможен (например, в качестве Л можно взять любое множество с конечной предельной точкой). Кроме того, при экспоненциальном убывании g(t) уже возможен выбор последовательности Л с единственной предельной точкой на бесконечности, такой, что соответствующая система экспонент с весом

е

~iXnt g(t), Хп G Л, Лп -> сю (п -+ со) (0.2)

полна в L2(R).

К этой же тематике можно прийти и со стороны негармонического анализа, т.е. от теории аппроксимационных свойств систем экспонент

e~iK\ \п € Л (0.3)

в функциональных пространствах на конечном интервале. Изучением таких свойств систем (0.3) (полнотой, минимальностью, базисностью в U}(—a, a) р < сю, поведением биортогональных рядов Фурье по системе (0.3)) занимались Р. Пэли и Н. Винер, затем Н. Левинсон, Л. Шварц, С. Верблюнский, Б.Я. Левин, В.Д. Головин, М.И. Кадец, А.Ф. Леонтьев, В.Э. Кацнельсон, А.П. Хромов, В.А. Молоденков, С.А. Авдонин, Н.К. Никольский, B.C. Павлов, СВ. Хрущёв, A.M. Седлецкий, A.M. Минкин и др.

Очевидно, что ни одна из функций (0.3) не принадлежит пространству D'(R), p > 1. Чтобы добиться такой принадлежности, все функции системы (0.3) домножают на подходящий вес g(t) . В итоге мы снова приходим к системе (0.2).

Как уже отмечалось, полнота в L2(R) системы экспонент (0.2) с весом ' g(t} = f(t) равносильна плотности линейных комбинаций сдвигов

Л(/) = (/(*-Ап), А„еЛ) (0.4)

в L2(R). По вопросам полноты систем (0.2) и плотности семейств (0.4) в различных функциональных пространствах на прямой известны работы Р.И. Эдвардса, Й. Лёнрота, Т. Ганелиуса, Б. Факсена, Р. Залика, A.M. Ce-длецкого, Т.А. Сальниковой, О.В. Шаповаловского, A.M. Олевского и др. Приведем некоторые результаты.

В 1951 году Р. Эдварде [22] рассматривал свойства аффинных преобразований {f(px + q), p ? V, q ? Q}, где V, Q — подмножества R, функций / , представимых в виде преобразований Фурье (Фурье-Стилтьеса). Им доказан ряд достаточных условий плотности семейств {f(px -\- q)} в пространствах Co(R) (C(R)).

В работе [25] И. Лёнрот рассматривал семейства сдвигов А(/) с множеством Л С R, имеющим конечную предельную точку. Он предъявил

достаточное условие плотности Л(/) в пространстве L2(R); при этом ограничения, накладываемые им на функцию / Е L2 П С00, касались роста преобразований Фурье / и всех его производных.

Т. Ганелиус [24] получил достаточное условие плотности Л(/) в L1(R); порождающая функция семейства / экспоненциально убывает со всеми производными, Л - множество с конечной предельной точкой.

Пусть везде далее а > О, а > 1, 1/а + 1/(3 = 1.

Р. Залик [29, 30] рассматривал случай быстрого убывания преобразования Фурье, т.е.

f{t) = О(ехр(-а|*П), t e R. (0.5)

В частности, он доказал следующее. Если / ф 0 почти всюду и f(t) = О(ехр(—a t2)), то условия г (Л) > 2 достаточно для плотности Л(/) в L2(R), а если ехр(—a t2)/f(t) ? L2(K), то условие ? 1/|Ап|2 = со необходимо для плотности Л(/) в L2(R); здесь г (Л) - показатель сходимости последовательности Л С R.

Б. Факсен изучал вопрос о плотности семейств Л(/) в пространствах LX(R), L2(R). В его работе 1981 года [23] рассмотрен случай экспоненциального убывания /. В классе функций /, таких, что

Ci(|?| + 1)-" < |/(i)|-exp(a|*|) < C2(|t| + l)m, Зп > 0, т > 0, а > 0, (0.6)

получено необходимое и достаточное условие плотности Л(/) в пространстве I?. А именно пусть / е ?2(R) и для некоторых n>0, m>0, a > 0 выполнено условие (0.6). Тогда для плотности семейства Л(/) в L2(R) необходимо и достаточно, чтобы

В этой же статье [23] рассмотрен случай быстрого убывания /. Доказано следующее утверждение. Пусть / ? L (R), для / выполнено (0.5) и / ф 0 почти всюду; чусть положительная последовательность Л = (Лп) обладает свойством отделимости Л„+1 — Л^ > 5 (3 5 > 0).

hmsup( Е \Тв)-Р------ sin"— logr) = oo,

г-?+оо 0<Л„<г \Ай/ Я" V2p/

то Л(/) плотно в L2(R). Здесь и далее К((3,а) = \ (а)

A.M. Седлецкий [12] рассматривал системы экспонент (0.2) с весом g(t) = ехр(—a|t|a), т.е.

е~{Х"1 exp(-a|*|a), An e A. (0.7)

Им доказано, что если Л - положительная последовательность, имеющая плотность А/д(Л) при порядке (3, то условие

является необходимым для полноты системы (0.7) в ЬР{К): р > 1, а условие

> 1*03, a) sb'j(^) (0.8)

является достаточным.

Позже О.В. Шаповаловский [20] рассмотрел вес

где a(t) -уточненный порядок, a(t) —)¦ а > 1 (t —)¦ +00), l/a+l//? = 1. В своей диссертации он распространил результат Седлецкого на случай уточненного порядка. Естественно, при этом плотность последовательности Л также рассматривается при уточненном порядке /3(?) —>¦ /3 (t —)¦ +00).

Ряд интересных результатов о целых или почти целых сдвигах функций получен A.M. Олевским (в том числе с соавторами). Так, в статье [21] доказано, что каждое из пространств LP(R), 2 < р < +оо, содержит функцию /, чьи целые сдвиги f(t — гг), п G Z полны.

На настоящий момент системы экспонент (0.7) являются наиболее изученными. Исследовалась не только полнота (0.7) в LV(R), p > 1, но и минимальность, равномерная минимальность и базисность таких систем. Большая часть работы проведена A.M. Седлецким, известны результаты Р. Залика и Т.Абуабары Саад, Т.А. Сальниковой. Мы не останавливаемся на этом подробно, так как область наших исследований — полнота систем экспонент с весом.

Особое место в негармоническом анализе занимают функции
F(z) = [ e~izt f(t)dt, f в Щ-а, а). (0.9)
Действительно, вопрос о неполноте системы (0.3) в Lq(—a,a) эквивалентен задаче о распределении нулей функции (0.9). Это есть следствие теоремы Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала на пространстве LP(R). При изучении функций (0.9) важную роль играет теорема Пэли-Винера [2], утверждающая, что класс целых функций экспоненциального типа, не превосходящего а, которые принадлеэ1сат ?2(R) на

вещественной прямой, совпадает с классом целых функций F(z), пред-ставимых в виде (0.9) с р = 2.

Совершенно аналогично вопрос о неполноте в Ь2(К) систем экспонент с весом (0.2) эквивалентен задаче о распределении нулей функций вида

Je-iztg(t)f(t)dt, (0.10)

= Je-izt

R

функция / принадлежит пространству L2(R).

Классы целых функций вида (0.10) с g(t) = ехр(—a|?|n), / ? L2(R) были описаны в совместной работе Р. Залика и Т. А. Саад [31]. Ими доказаны следующие аналоги теоремы Хаусдорфа-Юнга.

Пусть р ? [1,2], а > 0; пусть /(t)exp (a\t\a) G IS(R). Тогда f(z) есть целая функция и

с: со,

R

где ||/||f/ - норма в Lq(R) функции f(x + iy) переменной х, у фиксировано. Пусть р > 2, а > 0; пусть f(z) - целая функция такая, что

+ гу)\\дУ'(1у < оо.

R

Тогда exp(a\t\a)f(t) e ЩК).

При р = 2 эти утверждения дают теорему типа Пэли-Винера; класс целых функций вида

F(z) = f е-ы-°№ f(t)dt, (0.11)

R

где / 6 ?2(R), совпадает с классом целых функций F(z) таких, что

^ \\( y)\\2dy < ОО.
Седлецкий A.M. [28] рассматривал функции (0.11) в случае, когда / принадлежит пространству i/(R) с весом |ж|г. Кроме того, он изучал классы целых функций, представимых в виде преобразования Фурье вида (0.11), где интегрирование ведется по полупрямой (6, +оо), Ъ Е R, / € Lp(b, +oo) (см. [14]).

Цель настоящей работы — исследование полноты в L2(R) систем экспонент (0.2) в классе специальных быстро убывающих весов g(t), а также доказательство соответствующих аналогов теорем Хаусдорфа-Юнга и

Пэли-Винера для функций

F(z) = /е~шд(г) f(t)dt, f 6 L"(R), р > 1,

с упомянутыми весами.

Перейдем к изложению результатов.

В первой главе доказаны 8 теорем типа Хаусдорфа-Юнга для некоторых специальных классов преобразований Фурье; сформулируем две из них.

Везде далее т, к > 0, р > 1, 1/р+ 1/q = 1. Фиксируем га, к, р. Через Ci(m, к) обозначим пространство целых функций F{z) с нормой

\\F(z)\yt = (^e-Пусть

= JR e™ exp (-| eW"»-' - Щ f(t)dt (0.12)

Теорема 1.3. Пусть т, к > 0, p G [1, 2]. Если f G &'(&), то функция (0.12)принадлежит пространству ?i(m, k), причем

С пе зависит от f.

Теорема 1.4. Пусть m, k > 0, p > 2, пусть функция F(z) принадлежит пространству Ci(m,k), тогда F(z) имеет представление (0.12) с f € -^(R), причем

\\f\\P

где С не зависит от F.

В частности, при р = 2 из теорем 1.3 и 1.4 получаем следующий аналог теоремы Пэли-Винера, который существенно используется при доказательстве одного из результатов главы 3.

Теорема 1.10. Пусть т, к > 0. Класс функций, представимых в виде

F(z) = /Re-W ехр (-| е*!*-1 - Щ f(t)dt, f S L2(R), совпадает с классом Cl(m,k). Нормы Ц/Ц2 ^ Il-^(2)ll?2 эквивалентны.

Во второй главе доказаны теоремы типа Хаусдорфа-Юнга для целых функций вида

F(z) = I e~itz (\t\ + If ц(Щ) е" ^l^ f(t) dt, (0.13)
где / Е LP(R), fi(i) и l(t) - медленно меняющиеся функции.

Основную трудность при их доказательстве составило получение асим- птотики соответствующих преобразований Лапласа (если в первой главе асимптотика преобразований Лапласа отыскивалась сравнительно просто, то в данном случае аналогичная задача оказалась значительно сложней). Этому и посвящен второй параграф главы 2, теоремы 2.1, 2.2.

Введем обозначения. Пусть а>1, p>l(p=l=$-q = oo), ц G R, медленно меняющиеся функции l(t), /j,(t) G С3[Л, +оо) для некоторого А > 0. Медленно меняющаяся функция М{х) ? С2[В, +оо), ЗВ > 0 такова, что произведение

т(х) = хр~г М(ж), х > х0 является обратной функцией к функции

где

p(существование М{х) доказано в пункте 3 второй главы (лемма 2.15)).

Пусть введенные функции l(t), fi(t), M(x) ограничены на каждом конечном отрезке и удовлетворяют условиям:

tl'tt) л tfi'it) n t2l"(t) n t2fi"(t)

(t) ^3 ^wft) n(f) t2 M"{t)

' = ()

(0.14)

(0.15)

Фиксируем а, г/, p, /(t), /x(t). Введем пространство -Afi/t(a, ту) целых функций F(z), z = x + iy с нормой:

It

x exp(-p |„Г М(\у\) [1 -

где при фиксированном ?/ \\F(x + г?/)||д есть норма функции F(x + гт/) в

Верны следующие утверждения.

Теорема 2.3. Пусть р ? [1,2], rj < ?, пусть медленно меняющиеся функции l(t), u(t) и М(х) ограничены на каждом конечном отрезке, и l(t), u(t) ? С3[А, +оо), М(ж) G С2[А,+оо) для некоторого А > 0. Пусть для тройки функций l(t), fi(t), М(х) выполнены условия (0.14), (0.15). Если f(t) ? LP(R), то функция (0.13) принадлежит, пространству А1} (а, г/), причем

\\F(z)\\q,P

где С не зависит от f.

Теорема 2.4. Пусть р > 2, rj < ?, пусть медленно меняющиеся функции l(t), ц{Ь) и М(х) ограничены на каэюдом конечном отрезке, и l(t), fi(t) € С3[А, +оо), М(ж) G С2[А,+оо) для некоторого А > 0. Пусть для тройки функций l(t), ^(t), M(x) выполнены условия (0.14), (0.15). Если функция F{z) принадлежит пространству A1/fl(a,rj), то она представима в виде (0.13) с f(t) 6 i^(R), причем

где С не зависит от F.

При р = 2 из теорем 2.3 и 2.4 получаем следующий аналог теоремы Пэли - Винера:

Теорема 2.5. Пусть г) < j, медленно меняющиеся функции /(i), принадлежат!о классу С3[А, +оо) для некоторого А > 0. Пусть медленно , меняющаяся функция М(х) 6 С2[В, +оо), 3J3 > 0, такова, что произведение

т(х) = х^~1 М(ж), ж > гс0,

естъ обратная функция к

t V(t) 2r] + а/2 -

ta~ll(t)

Пусть функции l(i), n(t), M{x) ограничены на каэюдом конечном отрезке,и для них выполнены условия (0.14), (0.15). Тогда класс функций F(z), представимых в виде (0.13) с f(t) ? L2(K), совпадает с пространством A2fl(a,r]); нормы ||-Р(^)||2,2 и \\f\h эквивалентны.

В третьей главе рассматривается вопрос о полноте в пространстве L2{R) систем (0.2) с весом

g{t)=exp(-s{\t\)),
т.е. систем

e~iXnt exp(-s(\t\)), АПЕЛС R+, (0.16)

где функция s(t) принадлежит классу 5, который определяется следующим образом.

Обозначим через S класс положительных функций s(t), t > 0, ограниченных на каждом конечном отрезке, удовлетворяющих условиям:

(а) s(t) ? С2[В] оо), ЗВ > 0, s'(t) -» +оо, (t -+ +оо), s"(t) > М > 0, t > t0]

(б) для любого А > 0

на множестве

(т.е. s"(x)/s"(t) -> 1 при х —> +оо на указанном множестве);

(в) s'(t) возрастает при t > to;

(г) функция l(t), обратная к s'(t), является медленно меняющейся, причём
Будем рассматривать системы (0.16) с s(t) G S.

Стоит отметить, что функции класса S растут быстрее ta при t —>• +оо, У а (что видно из (г)). Конечно, в этот класс попадают не все гладкие функции s(i), растущие быстрее ta, а только достаточно быстро растущие функции. Например, функция

t sa(t) = I exp(loga x) dx, a ? (1,2)

и ее производная s'a(t) = exp(loga?) растут быстрее любой степени:

ta < exp(loga х) < еь, t>t0,

но при a G (1,2) для sa(t) не выполнено второе условие (0.17) (попутно отметим, что при а > 2 оно выполняется).

Обозначим р(г) = 1 + log/(r)/log г, где 1(г) — функция, введенная в (г). Пусть A^(r)(A) — нижняя плотность последовательности Л при уточненном порядке р(г), т.е.

&о(г) (Л) = Hm inf —Vr,

—РКП \ ) J-++0O гр(г) '

где п(г) — считающая функция этой последовательности (глава 3, пункт 1).
Получено следующее достаточное условие полноты системы (0.16). Теорема 3.1. Пусть функция s(t) принадлежит классу S. Тогда если

Ар(г)(Л) > 1/тг, (0.18)

то система (0.16) полна в пространстве L2(R).

Следующая теорема показывает точность константы 1/тг в (0.18) на всем классе функций S.

Теорема 3.2. Для любого достаточно малого е > 0 (е < 1/тг) существует последовательность Л С R+, такая, что

2) система (0.16), где

неполна в L2(R).

Отметим, что функция so(i) принадлежит классу S. Последовательность Л строится нами в явном виде.

Системы (0.16) можно формально рассматривать как предельный слу- чай систем (0.7) при а —> +оо. Константа 1/тг в теореме 3.1 совпадает с пределом точной константы в (0.8) при а —»¦ +оо (/3 —> 1+). Разумеется, само по себе это не доказывает точности константы 1/тг в (0.18).

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах автора [6-11, 27].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Анатолию Мечиславовичу Седлецкому за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
Глава 1. ТЕОРЕМЫ ТИПА ХАУСДОРФА-ЮНГА И

ПЭЛИ-ВИНЕРА ДЛЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ

НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ

1. Вспомогательные утверждения.

Преобразование Фурье функции / G -^(R) определяется так:

(1.1)

Пусть р 6 [1,2], l/p~\- l/q = 1 (q сопряжено с р). Пусть f(t) G LP(R), т.е.

р =)

Теорема IA (Хаусдорфа - Юнга) [18, стр. 201]. Если / Е LP(R), ре [1,2], то преобразование Фурье функции f(t) существует как предел в смысле главного значения по норме пространства Lq(TV)

~iXt

/(А) = 1-i.m.^oo /_* e~iXtf(t)dt и верно неравенство

\q _i ^p \\J \\p- Ч (1-2)

Таким образом, для / 6 D}{K), p ? (1,2] преобразование Фурье существует лишь в специальном смысле. Тем не менее и в этом случае преобразование Фурье функции / принято записывать в виде (1.1).

Теорема 1В [4, стр. 21]. Пусть s(x) - положительная, дважды непрерывно дифференцируемая функция при х G [а, +оо), удовлетворяющая условиям:

1) s'(x) -> +00, х2 • s"(x) -)¦ +оо (х -»• +со);

2) для любого А > О

па MHooicecmee

\t-x\ <

Тогда при достаточно больших t функция s(x,t) = xt — s(x) имеет единственный максимум х = c(t) и

00

Jext-4{x)dx~exv[tc(t) - s{c(t))]

2тг Л| -«Т^чч > f ^ +°°' a G R- (L3)

Здесь и далее через А(а;) ~ -В(х), а; —>¦ +оо обозначаем отношение А(х)/В(х) -> 1, ж -> +оо.

13

Лемма 1.1. Пусть m, к > 0. Тогда верна асимптотика

00

2Л'

+оо. (1.4)

Далее через С будем обозначать всевозможные положительные постоянные, даже различные между собой.

Лемма 1.2. Пусть т, к > 0. Тогда верна асимптотика

t т

t

fexp(yt-myhg(ky))dy ~ С ехр[— -ехр(-----1) + —-], t -)¦ +сю. (1.5)

« /С 77i ЛТП

Лемма 1.3. Пусть т, А; > 0. Тогда верна асимптотика

r»/Jmflog2(Jfe«)

1/2

-Ьоо.

Лемма 1.4. Пусть т, к > 0. Тогда верна асимптотика

оо

J exp(yt - my log2{ky))dy ~
m
Доказательство леммы 1.1. Асимптотику (1.4) выведем из теоремы 1В. Для функции
очевидно принадлежащей классу С2(0; +оо), проверим выполнение условий этой теоремы. Имеем

s'(y) = -
л -+ +оо (у -> +оо);

= 2 е1

(1.9)
У2 • s"{y) -»> +ОО (у -> +ОО).

Условие 1) теоремы выполнено. Фиксируем А > 0; тогда на множестве

\t-y\< А(8"(у)У1/2 = ^ fт-Г е»7"1"1) = С • ехр f--^-) , у ^ +оо

имеет место эквивалентность вторых производных. Действительно, в силу формулы (1.9) получаем

=ехр (^) * ехр[ш •ехр {-?)] -*1 (* ->+оо)-

Условие 2) также выполнено. По теореме 1В верна асимптотика (1.3).

Фиксируем t. Так как функция s(y) растет быстрее линейной функции ty при фиксированном t и s(y,t) дифференцируема, то наибольшее значение c(t) функции s(y, t) = yt — s(y) находим из уравнения

или, что то же,

(1.10)

Благодаря (1.8) уравнение (1.10) имеет вид

2

t = —exp(y/m).

Разрешая это уравнение относительно у, получаем

У , fke \ , (к \

L = log (Ti) = log (-*) + 1,

откуда

(kt \ log — + 1J .

Следовательно,

(kt \ logy + 1J -

2тп ( kt \

[by + lj =

, kt 2m Д kt\ = tm + mHog —----— exp I log — 1 =

kt kt

= tm + mi log——rnt = mt log-—; (1-H)

/ hi

exp (Ios T

hi \ 9 /&/

г) Ы

15

После подстановки (1.11) и (1.12) в (1.3) окончательно получаем

. I eyt-(2m/k)GMy/m-l)dy ^ С ехр(ш? . lOg(H/2))

с ы

(t log(—)), t -+ +оо.

Лемма 1.1 доказана. ?

Доказательство леммы 1.2. Пусть

s(y) := my \og{ky). (1.13)

Запишем

ос 2/А; ос

J exp(yt - my\og(ky))dy = J + J = h + J2.

0 0 2/fc

Ясно, что /i = O(exp(Ci)). Асимптотику /г выведем из теоремы IB.

Проверим выполнение условий этой теоремы. При у > 2/к s(y) > 0, и так как

I/ \ 1Л 17 N ¦ 1 N III \ ^^ 2 III \

s(y) = m (log(fcy) + I); s (у) = —, j/ • s (2/) = my,

У

то условие l) теоремы выполнено. Пусть А > 0. В случае (1.13) множество

\t — y\ ^ ^4[s"(у)J"1/2 (у -> +00) (1-14)

имеет вид

\t-y\

Запишем то же в следующем виде:

y-Cy/y-+оо.

Теперь находим отношение вторых производных на множестве (1.14), имеем

у у

Условие 2) теоремы 1В также выполнено. Далее действуем так же, как при доказательстве леммы 1.1: из уравнения (1.10) находим с(?), затем по формуле (1.3) получаем асимптотику I

t = s'(y) = {my log(fo/))' = m (log(fo/) + 1).

16

Разрешая его относительно у, получаем

Тогда

c(t) t - s(c(t)) =

- • exp-----1

к \т

t

m I1

— exp------1

к \m

m

i (

log I exp V

m

-1 =

mke

s"(c(t)) =

Подставляя (1.15) и (1.16) в асимптотику (1.3), получаем

ос

I eyt-my\og(ky)dy = д

(1.15) (1.16)

_ г?тг . t 1Ч t ,

+ Ci • exp — ехр(-----1) + —], t -^ +oo,

к т 2т

что даёт нам (1.5). Лемма 1.2 доказана. ?

Леммы 1.3 и 1.4 доказываются аналогично, поэтому подробно проведем лишь необходимые вычисления.
Список литературы
Цена, в рублях:

(при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)		 1425
Скачать бесплатно 23544.doc 





Найти готовую работу


ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:


Связаться

Доставка любой диссертации из России и Украины

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ


Ссылки:

Выполнение и продажа диссертаций, бесплатный каталог статей и авторефератов

Счетчики:

Besucherzahler
счетчик посещений

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.