Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Н(П)—распределени я проектив ног о пространств а

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Н(П)—распределени я проектив ног о пространств а

Количество страниц	105

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23551.doc

Содержание	Содержание Общая характеристика работы... 4 1. Постановка вопроса... 4 2. Актуальность темы... 8 3. Цель работы... 10 4. Методы исследования... 10 5. Научная новизна полученных результатов... 10 6. Теоретическая и практическая значимость... 11 7. Апробация... 12 8. Публикации... 12 9. Вклад автора в разработку избранных проблем... 12 Ю.Структура и объем работы... 12 11 .Некоторые замечания... 13 Содержание диссертации... 15 ГЛАВА I. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов Н(П) -распределения... 26 § 1. Дифференциальные уравнения 7i(U) - распределения проективного пространства... 26 §2. Поля фундаментальных и охваченных объектов регулярного Н(П) -распределения... 37 §3. Поля нормалей базисного Л - подрасслоения данного Н(П) - распределения... 48 ГЛАВА П. Двойственный образ Н(П) -распределения... 53 § 1. Построение двойственного образа Н(ТТ) -распределения... 5 3 §2. Инвариантное оснащение базисного Л-подрасслоения данного 7i(Il) -распределения в смысле Э. Картана... 60 §3. Инвариантное оснащение базисного Л-подрасслоения данного ЩИ) -распределения в смысле Э. Бортолотти... 63 ГЛАВА III. Двойственные нормальные связности, индуцируемые в расслоениях нормалей первого и второго рода базисного Л-подрасслоения данного Н(П) -распределения... 71 § 1. Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей первого рода на Л-подрасслоении... 71 §2. Нормальные связности, индуцируемые в расслоении нормалей второго рода на Л-подрасслоении... 91 §3. Двойственные нормальные связности сильно оснащенного Л-подрасслоения... 97 §4. Поля плоскостей, параллельные в нормальных связностях... 99 ЛИТЕРАТУРА... 105 Введение Общая характеристика работы 1. Постановка вопроса. В данной работе представлены исследования по теории ли-полосных распределений (т<п-\) проективного пространства Определение. Пару распределений соответственно г -мерных плоскостей Л (Л-распределение) и т -мерных плоскостей М (М-распределение) проективного пространства Рп с отношением инцидентности ХеЛсМ (1<г<т<п — \) их соответствующих элементов в каждом центре X назовем т -полосным распределением П или, короче, П-распределением, в котором Л-распределение назовем базисным, а М-распределение — оснащающим распределением. Показано, что к П-распределению в первой дифференциальной окрестности внутренним образом присоединяется распределение гиперплоскостей Н (//-распределение). П-распределение, оснащенное полем Н-плоскостей, назовем 7^(П)-распределением. Ясно, что теория П- распределений (точнее TiiYY) -распределений) проективного пространства Рп включается в общую теорию распределений в однородных пространствах. Дифференциальная геометрия распределений многомерных линейных элементов в однородных и обобщенных пространствах была предметом многочисленных исследований, причем во многих работах она именовалась геометрией неголономных многообразий. Геометрия распределений в однородных пространствах, восходящая к работам Г. Врэнчану, В. Гловатого, И.А. Схоутена (см. обзор в работе [93]), Е. Бомпьяни [132], А. Пантази [142], Д.М. Синцова [77], В.В. Вагнера [148], в последние десятилетия интенсивно изучается с различных точек зрения. С одной стороны, это объясняется многочисленными связями данной теории с различными разделами геометрии, а также близостью теории распределений к теории подмногообразий однородных пространств. С другой стороны, теория распределений получила дальнейшее развитие благодаря новому подходу к исследованию распределений с применением современных теоретико-групповых методов исследования. Так, например, в работах Г.Ф. Лаптева и Н.М. Остиану [37], [41], [42], [56] при изучении теории распределений были применены инвариантные методы изучения дифференциально-геометрических структур. Кроме того, истолкование, например, распределения m-мерных элементов в Рп как расслоенного многообразия специального типа расширяет и обновляет проблематику этой теории [57], превращая ее в одну из наиболее актуальных проблем дифференциальной геометрии. При изучении структуры 7i(H) -распределений главным направлением исследований являются двойственные нормальные связности 7i(TT)-распределения. Теория связностей в различных расслоенных пространствах составляет важное направление исследований современной дифференциальной геометрии. Начало этой теории положила в 1917 г. работа Леви-Чивита [139] о параллельном перенесении вектора в римановом пространстве. Эта идея нашла важные приложения в общей теории относительности и была обобщена в разных направлениях. Для построения единой теории поля Г. Вейль [149] дал понятие пространства аффинной связности. Р. Кениг [138] рассматривал линейные связности в векторном расслоении над областью числового пространства. В 1926 году Э. Картан ввел общее понятие «неголономного пространства с фундаментальной группой G» [135]. Связь между концепциями Кенига и Картана установил И.А. Схоутен [143], [144]. В 1950 г. В.В. Вагнер [7], [8] и Ш. Эресман [137] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Дальнейшее развитие теории связностей с привлечением методов Э. Картана и теории геометрических объектов дано в работах Г.Ф. Лаптева [37], [38], [40], где он отождествил понятие связности, возникшее как обобщение понятия параллельного переноса, с понятием геометрического объекта специального вида. Объект связности, согласно теории Г.Ф. Лаптева [58], является геометрическим объектом относительно дифференциальной группы соответствующего порядка (например, проективной дифференциальной группы [40]). Очерк дальнейшего развития теории связности приведен в работе Ю.Г. Лумисте [44]. Важное место в дифференциальной геометрии расслоенных пространств занимает теория связностей в однородных расслоениях и ее применение при изучении оснащенных многообразий, погруженных в различные пространства. Дифференцируемое многообразие, погруженное в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащенным [37], [58] если на нем определено поле некоторого геометрического объекта ga (поле оснащающего объекта многообразия): где coh - главные (первичные) формы, а а>$2 - вторичные формы Пфаффа на многообразии, тип оснащения погруженного многообразия характеризуется строением основных функций y/aS2(g), определяющих оснащающий объект ga. В зависимости от строения основных функций i//°2(g) получаем различные оснащения погруженного многообразия (например, в смысле А.П. Нордена [55], Э. Картана [134], Э. Бортолотти [133] и др.). В.В. Вагнер [147], а затем и Ю.Г. Лумисте [43] с помощью теории связностей в однородных расслоениях исследовали геометрию многообразий плоскостей в классических пространствах. Связность, определяемую в нормальном расслоении подмногообразий евклидова пространства и пространства постоянной кривизны, рассматривал еще Э. Картан [134]. Понятие нормальной связности в проективном пространстве независимо друг от друга ввели А.П. Норден [55] (он называет такую связность внешней) и Chen B.Y. [136], далее отметим исследования А.В. Чакмазяна [46], [118], [121]. Значительная часть результатов изучения геометрии подмногообразий с помощью нормальной связности включена в монографию Chen B.Y. [136] и освещена в работе Ю.Г. Лумисте [45]. Обзор результатов более поздних исследований содержится в работе [46]. В работах [5], [121], [116], [117] изучаются оснащенные подмногообразия аффинного пространства с плоской нормальной связностью. В настоящее время (в связи с актуальностью проблемы) продолжаются исследования по теории нормальных связностей на различных подмногообразиях классических пространств. Прежде всего, отметим цикл работ А.В. Чакмазяна [114] - [121] по изучению подмногообразий проективного, аффинного, проективно-метрического, евклидового пространств с привлечением связностей в нормальных расслоениях. Затем, ряд работ А.В. Столярова [78] - [92], который вводит понятие двойственных нормальных связностей на гиперполосе и гиперполосном распределении пространства проективной связности (проективного пространства). Конструкция двойственных пространств с проективной, аффинной и нормальными связностями, разработанная А.В. Столяровым [88], позволяет существенно продвинуться в изучении (исследовании) геометрии оснащенных подмногообразий (в том числе и неголономных). П.А. Фисунов [97] - [106] и СВ. Фисунова [107] - [111], а так же в их совместных работах [112], [113] продолжают исследования двойственных нормальных связностей, соответственно, на гиперполосах, гиперполосных распределениях и на гиперплоскостных распределениях, гиперповерхностях проективного пространства. Работы Л.Ф. Филоненко [94], [95], А.В. Столярова [91], [92], А.Н. Михайловой [52] - [54] посвящены исследованиям линейных нормальных связностей на распределениях и гиперполосах конформного пространства. Ассоциируя связность с полями плоскостей специального типа, А.К. Рыбников [75] изучает проективные и конформные связности (в частности, нормальную связность) на гладком многообразии. Ю.И. Попов [65], [66] исследует нормальные аффинные связности на оснащенной гиперполосе аффинного пространства. Т.Ю. Максакова [47], [48] исследует двойственные нормальные аффинные и проективные связности на тангенциально вырожденной гиперполосе проективного пространства, а СЮ. Волкова [13] - [16] - на скомпонованных трехсоставных распределениях (S-распределениях) проективного пространства. С.Н. Юрьева [131] изучает линейные аффинные связности, индуцируемые полями нормалей первого рода на гиперполосном распределении аффинного пространства. Ю.И. Шевченко [123] изучает связности в расслоениях над голономным и неголономным центропроективными многообразиями. Предметом изучения настоящего диссертационного исследования является 7i(TL) -распределение и нормальные связности, индуцируемые в расслоениях нормалей на оснащенном базисном Л-подрасслоении Н(П.)-распределения, погруженного в п -мерное проективное пространство Рп. 2. Актуальность темы. Актуальность исследуемой темы обусловлена с одной стороны тем, что в интенсивно развивающихся теориях расслоений и связностей, дифференциальной геометрии подмногообразий грассманова многообразия и многообразий пар фигур (при этом теория распределений трактуется как составная часть одной из указанных теорий, либо теснейшим образом с ней связана) исследование гиперполос, занимает исключительно важное место в связи с приложением в вариационном исчислении, в физике, в механике (например, [7], [19], [83]). Да и сама теория распределений (в различных пространствах), как это показано в работах [140], [146], [64], [145] связана с приложениями в механике, теоретической физике, вариационном исчислении и в динамике склерономных механических систем с нелинейными связями [7], [19]. С другой стороны, теория связностей в однородных расслоениях составляет одно из основных направлений исследования современной дифференциальной геометрии, особенно это касается исследований разнообразных структур на многообразиях. Эта теория в расслоенных пространствах находит широкое применение в современной теоретической физике. Это связано с прогрессом теории калибровочных полей, которые соответствуют связностям в главных расслоенных пространствах. При изучении связностей широко применяются классические результаты известных ученых, таких как Э. Картан [33], [134], [135], Г.Ф. Лаптев [34], [36], [40] и А.П. Норден [55]. В частности, А.П. Норден разработал метод нормализации, позволяющий индуцировать аффинные связности в касательных расслоениях подмногообразий, погруженных в различные пространства. П.А. Широков и А.П. Широков [129] исследовали локальное строение подмногообразий в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении. Двойственную теорию оснащенных подмногообразий разработал А.В. Столяров [88]. В рамках теории связностей чаще всего находят приложение, например, линейные связности при изучении геометрии оснащенных подмногообразий (см., например, [5], [70], [46], [55], [116], [122], [130]). При этом в классических однородных пространствах исследования ограничивались, в основном, изучением связностей а) в касательных расслоенных пространствах оснащенного подмногообразия, б) в случае, когда данное подмногообразие является голономным, в) без привлечения теории двойственности. Следует отметить, что нормальные связности на нормализованных голономных подмногообразиях, погруженных в различные пространства, рассматривались в работах ряда геометров (см., например, [45], [46], [55], [84], [121], [136]). Однако, с 90-х годов XX века усилились исследования геометрии связностей в нормальных расслоениях на неголономных подмногообразиях (распределениях) и двойственных нормальных связностей на оснащенных подмногообразиях (как голономных, так и неголономных) благодаря работам А.В. Столярова [88], [89] и его учеников П.А. Фисунова [97] - [106], СВ. Фисуновой [107] - [111], A.H. Михайловой [52], [53], Д.А. Абрукова [1], [2]. Все вышесказанное подтверждает актуальность темы исследования и раскрывает основные цели работы. Цель работы. Цель диссертационной работы - заложить основы построения проективно-дифференциальной геометрии ш-полосных распределений СН(П) -распределений). Для достижения этой цели в диссертационной работе решены следующие задачи: построение полей фундаментальных и охваченных объектов Н(П) -распределения, построение инвариантных полей нормалей Л- подраслоения данного 7i(U) -распределения; построение двойственного образа Н(П) -распределения; построение инвариантных оснащений в смысле Э. Картана и 3. Бортолотти Л-подраслоения данного Н(ТГ) -распределения; построение двойственных центропроективных (нормальных) связностей, индуцируемых в расслоениях нормалей первого и второго рода Л-подрасслоения данного Н(Ц) -распределения. 4. Методы исследования. В диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований: метод продолжений и охватов Г.Ф. Лаптева [37] и метод внешних дифференциальных форм Э. Картана [96]. Использование этих инвариантных методов позволило исследовать геометрию связностей, определяемую в дифференциальных окрестностях высоких (до третьего) порядков. В работе все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, а именно в репере первого порядка; это позволило получить их в инвариантной форме. Следует также заметить, что геометрия нормальных связностей исследуется с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г.Ф. Лаптевым [37]. 5. Научная новизна полученных результатов. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения указанных выше задач работы), являются новыми. Научная новизна их обусловлена тем, что: ?^(П)-распределение, его двойственный образ и двойственные нормальные связности "Н(П)-распределения ранее в геометрии распределений не изучались; в работе изучение геометрии нормальных связностей на оснащенных т -полосных распределениях проводится инвариантными аналитическими методами [37], [96] посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных и оснащающих объектов подмногообразия. В работе приведены доказательства всех основных выводов, которые сформулированы в виде теорем. 6. Теоретическая и практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании многообразий, погруженных в пространства более общей (или подчиненной) структуры, при изучении пространств с линейной связностью, индуцированных оснащением изучаемых подмногообразий. Так, например, отметим, что проективно-дифференциальная геометрия Н(Щ- распределений может найти и находит теоретическое применение при исследовании нормальных подрасслоений и подрасслоений касательного расслоения поверхностей полного или неполного ранга, двухсоставных [124] - [128] и трехсоставных [60] - [64] распределений, скомпонованных распределений [13] - [18], специальных классов регулярных гиперполос [10] -[12], [68], вырожденых гиперполос [47] - [49], а также при изучении дифференциально-геометрических структур на распределениях [67] проективного пространства. Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а именно: а) по теории полосных распределений проективного пространства; б) по теории двойственных линейных связностей на оснащенных подмногообразиях классических пространств с фундаментальными группами или пространств с линейной связностью. 7. Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на заседаниях научно-исследовательского семинара при кафедре высшей алгебры и геометрии Калининградского государственного университета (2000, 2003 гг.), на IX Международной конференции «Математика. Образование. Экономика. Экология» (Чебоксары, ЧТУ, 2001 г.), на Международном математическом семинаре «К 140-летию со дня рождения Давида Гильберта из Кенигсберга и 25-летию математического факультета» (Калининград, КГУ, 2002 г.), на IV Международной междисциплинарной научно-практической конференции «Современные проблемы науки и образования» (Ялта, 2003 г.), на третьей Всероссийской молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2003» (Казань, 2003 г.), на заседании научно-исследовательского семинара по геометрии Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 2004 г.), на заседании научно-исследовательского геометрического семинара Казанского госуниверситета (2004 г.), при подготовке отчета в рамках Санкт-Петербургского конкурса грантов для студентов, аспирантов и молодых специалистов (категория гранта: кандидатский проект, № гранта: М02-2.1К-739) по теме «Н(Щ- распределения проективного пространства» (диплом АСП №302176). 8. Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в 12 печатных работах [21] - [32] автора. 9. Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные работы по теме диссертации выполнены без соавторов. 10. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (общая характеристика работы), краткого изложения ее содержания, трех глав и списка использованной литературы, включающего 149 наименований. Полный объем работы составляет 117 страниц машинописного текста. 11. Некоторые замечания. Все рассмотрения в настоящей работе проводятся с локальной точки зрения. Все встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми (то есть подмногообразия достаточно гладкие), а при доказательстве теорем существования - аналитическими. Во всей работе индексы принимают следующие значения: I,K,L = 0,n', I,K,L,P,Q = \,n; p,q,s,t,r,f = l,r; i,j,k,l,m,h = r + \ym', a,b,c,d,e,g = l,m; a,fi,y,s,5 = Знак « = » означает сравнение по модулю базисных форм й>%. Значения других индексов объясняются в ходе изложения. Операция внешнего дифференцирования обозначена буквой «D», а внешнего умножения « л ». При записи дифференциальных уравнений погруженных многообразий внешние замыкания в большинстве случаев опущены. По индексам, заключенным в квадратные скобки, производится операция альтернирования: a[w] = -{а„ -aqp), а[рШ = -(а„ -aqsp); по индексам, заключенным в круглые скобки, производится операция цитирования: «(да) = <*№ + %Р + <>„ - Дифференциальный оператор V действует по закону: _Tax...asiv..i к _ _ 1p,...firk..jpUJh — /}l./3rA...kjp> при фиксированных главных параметрах этот оператор обозначается через V5, а формы й>\| - через ж\|. Содержание диссертации В первой главе изучается общая структура Н(П) -распределения. В §1 дано задание П-распределения в репере нулевого порядка R0 и доказано, что П-распределение проективного пространства Рп существует с произволом г(п - г) + (п - т)(т - г) функций п аргументов. Доказана г(г +1) основная теорема I главы (теорема 1.1): при п — г<—--- с П- распределением в первой дифференциальной окрестности относительно репера R0 внутренним образом ассоциируется поле гиперплоскостей Н. П-распределение, оснащенное полем гиперплоскостей Н, назовем Н(Щ- распределением. Далее приведено задание Н(П)-распределения в репере 1-го порядка R1 и доказана теорема 1.2 существования: 'Н(П) -распределение, заданное в репере 1-го порядка R1, существует с произволом 2т(п - т -1) + г(2т - Ъг +1) функций п аргументов. Следуя работам А.В. Столярова [79], [88], Ю.И. Попова [61], [64], СЮ. Волковой [17], в §2 построены поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов К(П)-распределения, в основном ассоциированные с базисным Л-подрасслоением. Даны аналитические признаки взаимности K-,L-,M - подрасслоений и сопряженности систем (A,L), (L,E), (A,E\(M,E) распределений, принадлежащих, соответственно, М-,Ф-,Т-,//^-подрасслоениям Н(П) -распределения (теорема 1.3). Получены аналитические признаки голономности K-,L-,M-, H -подрасслоений и выяснены их геометрические интерпретации (теоремы 1.5 -1.8). Так, например, обращение в нуль тензора г^ (тензор неголономности Л-подрасслоения) есть условие [17], которое можно трактовать, как одно из следующих расслоений проективного пространства Рп на 16 1)(и-г)-параметрическое семейство регулярных г-мерных гиперполос Hr(L) [И], [12]; 2) (п — г) -параметрическое семейство регулярных г-мерных гиперполос Нг, оснащенных полем касательных т -мерных плоскостей М; 3) («- г) -параметрическое семейство регулярных г-мерных полос Fr(m) порядка т, оснащенное полем касательных гиперплоскостей Н. В §2 приведены (по аналогии с гиперполосой [9]) аналитические признаки плоских и конических Л -подрасслоений Н(ТТ) -распределения. §3 носит в основном реферативный характер. Следуя работам [60], [64], [79], [88], для базисного Л-подрасслоения введены двойственные нормализации в смысле Нордена-Чакмазяна и, в частности, нормализации Михэйлеску, Фубини, Вильчинского, внутренним образом присоединенные к Л-подрасслоению в дифференциальных окрестностях 1-го — 3-го порядков. Вторая глава диссертации посвящена построению двойственного образа Н(П)-распределения и построению инвариантных оснащений в смысле Э. Картана и Э. Бортолотти базисного Л-подрасслоения Н(П)-распределения. В $1 следуя работам [64], [88] построен двойственный образ Н(Ц)-распределения относительно инволютивного преобразования 3 (ИЛ) структурных форм проективного пространства Р„. Доказано (теорема II. 1), что регулярное Н(Щ- распределение проективного пространства Рп во второй дифференциальной окрестности его образующего элемента индуцирует: 1) проективное пространство Рп> двойственное исходному проективному пространству Рп относительно инволютивного преобразования 3 форм cof по закону (П. 1), 2) регулярное распределение H(YI)<^Pn, двойственное исходному, причем его дифференциальные уравнения в тангенциальном репере (П.2) -(П.З) имеют вид (11.14), аналогичный уравнениям (1.49) Н(Т1)- распределения проективного пространства Рп. Двойственная теория имеет место и для оснащенного Н(П)-распределения. Показано (теорема II.2), что нормализация одного из регулярных полосных распределений 7^(П)сРя и Н(П)с:Рп равносильна нормализации другого, при этом компоненты полей оснащающих объектов связаны соотношениями (11.15) - (11.17). В§2и^3 второй главы, следуя работам А.В. Столярова [88], [89], [79], СВ. Фисуновой [111], П.А. Фисунова [101], для базисного Л -подрасслоения НЩ) -распределения построены оснащения в смысле Э. Картана и Э. Бортолотти [134], [133], [87]. Особую роль в дальнейшем изложении играет теорема П.З: при охвате (11.51) оснащение в смысле Бортолотти распределения Н(А) (базисного Л-подрасслоения данного 'Н(П)- распределения) полем гиперплоскостей Вп_х равносильно оснащению в смысле Э. Картана двойственного образа Н(А) полем г -мерных плоскостей Кг, принадлежащих полю вторых осей Кёнигса распределения Н(А). Выяснены аналитические и геометрические признаки неподвижности оснащающей плоскости Картана и оснащающей гиперплоскости Бортолотти Л -подрасслоения: -на Л-подрасслоении (г>1) оснащающая гиперплоскость Бортолотти JBn_j(^,) неподвижна тогда и только тогда, когда она «вращается» вокруг нормали второго рода КГ_Х{А^) (теорема П.4); - если на регулярном Л -подрасслоении оснащающая гиперплоскость Вп_х неподвижна, то она в каждом центре \ является гиперплоскостью Кёнигса нормали ?°р второго рода (теорема П.5).

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23551.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.