Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Дифференциальная геометрия двупараметрический семейств двумернык плоскостей параболического типа пространства Р 5

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Дифференциальная геометрия двупараметрический семейств двумернык плоскостей параболического типа пространства Р 5

Количество страниц	131

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23555.doc

Содержание	Содержание ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ... 4 Глава 1. Параболические 2-семейства плоскостей в Р5 ... 10 §1.1. Репер первого порядка параболического семейства ... 10 §1.2. Внутренняя корреляция на семействе (?2)2 ... ^ §1.3. Основной фундаментальный объект семейства (?2)2 ... ^2 §1.4. Геометрические свойства семейства (Ll)2 ... 27 §1.5. Включение заданной 2-поверхности в семейство {L\)2... 35 Глава II. Геометрия конфигурации F ... 40 §2.1. Вмещение псевдофокального семейства прямых в конфигурацию F ... 40 §2.2. Вмещение гиперболического семейства (-?-2)2 B конфигурацию F... 53 §2.3. Оптимальный репер ... 60 §2.4. Взаимосвязь между гиперболическими семействами плоскостей конфигурации F... 65 §2.5. Канонический репер конфигурации F ... 68 §2.6. Полная конфигурация F ... 73 §2.7. Фокальная три-ткань конфигурации F ... 83 Глава III. Проективное изгибание семейств, определяющих конфигурацию jP... 89 §3.1. Проективное изгибание первого порядка параболического семейства ... 89 §3.2. Проективное изгибание второго порядка параболического семейства ... 93 §3.3. Изгибание 1-го порядка псевдоконгруэнции конфигурации F... 100 §3.4. Изгибание 2-го порядка псевдоконгруэнции конфигурации F... 103 §3.5. Изгибание пары параболических семейств конфигурации F... 109 §3.6. Изгибание конфигурации F ... 113 §3.7. Изгибание 2-го порядка семейств (?2)2 ... И9 §3.8. Особое решение изгибания 2-го порядка семейств ... 124 §3.9. Изгибание фокальных поверхностей семейства (?2)2... 127 Заключение ... 130 Литература ... 131 ВВЕДЕНИЕ Данная работа относится к дифференциальной геометрии линейчатых многообразий многомерных проективных пространств. В настоящее время теория конгруэнции прямых и их пар трехмерного проективного пространства представляет классический раздел дифференциальной геометрии и достаточно полно изложена в монографиях С.П.Фи-никова [39, 40]. Одним из возможных направлений в обобщении этой теории является изучение геометрии r-параметрических семейств т-мерных плоскостей и их пар в проективном пространстве Рп. Такие семейства стали предметом научных исследований во второй половине XX века ([4, 13, 20, 25, 29, 30, 32] и другие). Первые обобщения конфигурации Г и расслояемых пар конгруэнции СП.Финикова были сделаны В.И.Коровиным [18], P.M. Гейдель-маном [5], К. И. Дуничевым [11]. Ученики Р.М.Гейдельмана, например, В. С. Фокин [41], М.А.Войтенко [2, 3] ввели обобщение этих понятии в Р4- Заметив, что прямая в Р^ является двойственной сама себе, Г. Н. Макеев поставил задачу обобщения пар Т и расслояемых пар конгруэнции прямых в нечетномерных проективных пространствах. В связи с этим С.Е.Тычинина рассматривала двупараметрические семейства (Хг)2 плоскостей Ьг в Р$- Семейство (?2)2 называется гиперболическим, слабопараболическим или параболическим, если каждая плоскость Li имеет три линейно независимых действительных фокуса, два фокуса или один фокус. Пары Т и расслояемые пары гиперболических семейств (?2)2 были введены и исследованы С. Е.Тычининой [37, 36], а обобщение пар 9 Попова сделала Л. Ф. Степанова [33-35]. Эти результаты получили обобщение в пространстве Ргп-\ в работах Г.Н.Макеева [26-28]. Им введено понятие семейств i^n-u которые являются обобщением семейств (?2)2, и их преобразовании Лапласа [25]. В. А. Глуздов изучал слабопараболические семейства (?2)2 и пх пары в Р$ [6-10]. Дифференциально-геометрические свойства гиперболических семейств (?2)2 изучала Т. Б.Жогова [13-15]. Дальнейшие её работы [12, 16, 17] посвящены проективному и коррелятивному изгибанию семейств L12nn_1. Л. Е. Куновская в работе [21] рассматривала некоторые свойства параболического семейства (L2)2 в Р&. Целью настоящего исследования является изучение дифференциальной геометрии двупараметрического семейства плоскостей параболического типа в пространстве Р$. Исследование ведется методом подвижного репера и внешних дифференциальных форм Э.Картана [38]. Полученные в диссертации результаты являются новыми. На защиту выносятся следующие научные положения и результаты: • фокальные свойства параболического семейства плоскостей; • построение конфигурации F на базе параболического семейства плоскостей; • включение заданной 2-поверхности в параболическое семейство плоскостей; • связь между геометриями параболического семейства плоскостей и псевдофокального семейства прямых в Р$\ • геометрические свойства конфигурации F\ полная конфигурация F; • проективное изгибание элементов конфигурации F; проективное изгибание конфигурации F. Диссертационная работа носит теоретические характер. В ней построена достаточно полная проективно-дифференциальная теория семейств плоскостей (?2)2 параболического типа пространства Р$. Результаты, полученные в диссертации, открывают возможность провести классификацию семейств {L\)2 по числу фокальных точек стационарной прямой текущей плоскости семейства, выяснить роль фокальных точек при изучении геометрии гиперболических и слабопараболических семейств плоскостей, а также геометрии пар Т и расслояемых пар этих семейств. Полученные в диссертации результаты могут ис- пользоваться при чтении специальных курсов по дифференциальной геометрии семейств плоскостей многомерных пространств и написании дипломных работ по геометрии. Основные результаты диссертации докладывались на научной конференции молодых ученых Горьковской области (1980); на IX, X, XI, XII Международных конференциях серии "Женщины-математики" в Чебоксарах (2001, 2004), Ростове-на-Дону (2002) и Воронеже (2003); на Всероссийской научно-практической конференции в Нижнем Новгороде (2002); на VIII Международной конференции серии "Нелинейный мир" в Астрахани (2003); на научных семинарах по дифференциальной геометрии в Московском железнодорожном институте (рук. проф. Р. М. Гейдельман), в Московском институте стали и сплавов (рук. проф. М.А. Акивис), в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова (рук. проф. А.М.Васильев), в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского (рук. проф. В. А. Иго-шин) и неоднократно на научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета. Основное содержание диссертации отражено в 10 публикациях, приведенных в конце диссертации. Соавторов нет. Приведем краткий обзор содержания диссертации. Первая глава посвящена изучению дифференциальной геометрии параболических 2-семейств плоскостей в Р$, которые обозначим через В §1.1 к рассматриваемому семейству плоскостей присоединяется многообразие реперов 1-го порядка, определяются инвариантные образы, связанные с семейством (^2)2» изучаются фокальные свойства этого семейства, доказывается теорема существования (Ll)2. В §1.2 введено понятие внутренней корреляции на семействе (?2)2» которая дает возможность исследовать инвариантные двойственные образы многообразия и выяснить геометрический смысл репера 1-го порядка. Семейство (-^2)2? как точечное многообразие, представляет собой гиперповерхность Si с плоскостной образующей Ь\. Оказалось, что в плоскости L\ существует единственная прямая, вдоль которой касательная гиперплоскость к гиперповерхности S\ стационарна. Эта прямая проходит через фокус и называется стационарной. В §1.3 установлено, что третий фундаментальный объект семейства (?2)2 является основным, а четвертый — полным [22]. В §1.4 продолжено изучение геометрических свойств семейства (-?-2)2* На стационарной прямой найдены три инвариантные точки, каждая из которых описывает двумерную поверхность. Любая из этих поверхностей является фокальной поверхностью параболического семейства плоскостей, а каждые две из них суть фокальные поверхности некоторого гиперболического семейства плоскостей (?2)2- Совокупность семейства стационарных прямых, трех параболических семейств и трех гиперболических семейств образует конфигурацию F. В §1.5 решена задача о включении заданной поверхности в параболическое семейство {L])2. Вторая глава посвящена изучению геометрических свойств конфигурации F. В §2.1 вводится понятие отношения вместимости двух многообразий. Многообразие 9Л находится в отношении вместимости с многообразием % если в Ps существует такой репер, в котором оба многообразия определяются одной и той же системой уравнений Пфаффа. Если при этом ЗЛ С 91, то будем говорить, что ЗЛ вмещено в ЭТ. Двупараметрическое семейство стационарных прямых является псевдоконгруэнцией, у которой касательное пространство вдоль луча четырехмерно. Доказано, что такое семейство можно вместить в конфигурацию F. Двупараметрическое семейство стационарных прямых в дальнейшем будем называть псевдоконгруэнцией. В §2.2 находятся такие ограничения на гиперболическое семейство (?2)2j ПРИ которых оно может быть вмещено в конфигурацию F. Это семейство обозначается через (?2)2 и существует с произволом пяти функций двух аргументов. В §2.3 введено понятие оптимального репера конфигурации F. Оптимальный репер построен на двух параболических семействах и одном гиперболическом семействе (?2)2 плоскостей конфигурации F. В этом репере прямая (А\А$) описывает псевдоконгруэнцию; точка А\ является фокусом параболического семейства, описываемого плоскостью (А1А3А4)] Аз — фокус параболического семейства с текущей плоскостью (AiAqAz)', плоскость (А1А2А3) описывает семейство (?2)2 с ФОКУ" сами в точках А\, А.2, Аз. Установлено, что любая пара многообразий, составляющих конфигурацию F, находится в отношении вместимости, а псевдоконгруэнция может быть вмещена как в любое параболическое семейство, так и в любое гиперболическое семейство конфигурации F. Взаимосвязь между гиперболическими семействами плоскостей конфигурации F изучается в §2.4. Оказалось, что эти семейства связаны между собой преобразованиями Лапласа [25]. В §2.5 построен канонический репер конфигурации F и выяснен его геометрический смысл. В §2.6 введено понятие полной конфигурации F. Для каждой пары фокальных точек прямой (А1А3) существует единственная пара, содержащая третью фокальную точку, которая гармонически разделяет данную пару точек. Вторая пара точек является парой фокусов некоторой плоскости слабопараболического семейства, причем фокальная точка будет двукратным фокусом. Таким образом, с прямой (А1А3) инвариантно связаны еще три плоскости, каждая из которых описывает слабопараболическое семейство. Этими семействами пополняется конфигурация F. Каждое из трех гиперболических семейств конфигурации jP имеет шесть первых преобразований Лапласа, некоторые из которых совпадают. Эти преобразования Лапласа также пополняют конфигурацию F. Полученную конфигурацию назовем полной конфигурацией F. Таким образом, полная конфигурация F содержит псевдоконгруэнцию, три параболических семейства, три слабопараболических семейства и восемь гиперболических семейств плоскостей. В §2.7 изучается фокальная три-ткань конфигурации F. Оказалось, что конфигурация F с шестиугольной фокальной три-тканью существует с произволом четырех функций двух аргументов. Третья глава посвящена вопросу проективного изгибания конфигурации F и семейств, составляющих её. В §3.1 и §3.2 рассматривается задача проективного изгибания 1-го и 2-го порядков параболического семейства плоскостей. Оказалось, что любые два параболических семейства плоскостей наложимы изгибанием первого порядка с произволом «2 = 1. А класс параболических семейств, допускающих проективное изгибание второго порядка, существует с произволом S2 = 3. В §3.3 и §3.4 изучается проективное изгибание первого и второго порядков псевдоконгруэнции. Изгибанием первого порядка заданная псевдоконгруэнция наложима на псевдоконгруэнцию любой конфигурации F с произволом «2 — 2. Доказано, что существует с произволом S\ = 2 класс конфигураций .F, у которых псевдоконгруэнция допускает изгибание второго порядка. В §3.5 исследуется задача изгибания пары параболических семейств конфигурации F, которая допускает изгибание только первого порядка с произволом S2 = 2. В §3.6 рассмотрено проективное изгибание конфигурации F. Оказалось, что конфигурация F допускает только проективное изгибание первого порядка с произволом s\ = 13. В §3.7 установлено, что класс семейств {L\)2-> Допускающих изгибание второго порядка, существует с произволом S2 = I. В §3.8 рассматривается особое решение задачи изгибания семейства (2^2)2- Оказалось, что в особом случае выделяется класс семейств (Ll)2 (семейства Щ), существующих с произволом s\ = 15, которые допускают непрерывное изгибание второго порядка с произволом одного параметра. В §3.9 рассмотрено фокальное изгибание семейств (L\)2. Доказано, что только семейства Rq допускают непрерывное фокальное изгибание второго порядка с произволом одного параметра. Заметил!, что семейство Rq является аналогом конгруэнции jR в Рз« ГЛАВА 1. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ 2-СЕМЕИСТВА ПЛОСКОСТЕЙ В Р5 §1.1. РЕПЕР ПЕРВОГО ПОРЯДКА ПАРАБОЛИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА 1. В пятимерном проективном пространстве Р5 рассмотрим двупара-метрическое семейство 2-плоскостей. В дальнейшем 2-плоскость будем называть плоскостью. Определение. Двупараметрическое семейство плоскостей назовем параболическим, если описывающая его плоскость имеет один трехкратный фокус. Обозначим такое семейство (^2)2* В Р5 введем проективный репер {Ар}, состоящий из шести линейно независимых точек. Инфшштезимальные перемещения этого репера определим вполне интегрируемой системой дифференциальных уравнений dAp = cvqpAq, где формы Пфаффа а>? удовлетворяют уравнениям структуры проективного пространства ^ j ,r = 1,6). Отнесем семейство (Ь\)2 K реперу {Ар}. Пусть плоскость L\ = (A1A2A3) описывает семейство (^2)2- Среди главных форм и? (г = 1,2,3; а = 4,5,6) плоскости L\ на семействе (-^2)2 независимыми будут две формы. Выберем в качестве независимых форм и>\ жш\. Тогда < = 25, а* = Ь\| = 1, Ь} = а\| = 0. (1.1) Если точка F = х% Ai является фокусом плоскости L], то существует такое направление * в = ш\ - (рш\, называемое фокальным, что (dF А^Аз) = 0 (то&в). Отсюда следует однородная система уравнений которая в силу (1.1) принимает вид x\ipa° + b?) = 0. (1.2) Система (1.2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда + Ь«\| = 0. (1.3) Это кубическое уравнение относительно <р должно иметь трехкратный корень. Прежде чем записывать условия трехкратности корня, вершину А\ репера {Ар} поместим в фокус плоскости L\, что не нарушит общности рассуждений. Тогда из системы (1.2) получим, что <р = О является корнем уравнения (1.3) и Ь\ = 0, &5 = 0. (1.4) Фокус А\ описывает 2-поверхность (А{), которую назовем фокальной поверхностью семейства (?2)2 • Фокальной плоскостью фокуса А\ назовем касательную плоскость Li к поверхности (А\) в точке А\. Линейную оболочку плоскостей L2 и L\ назовем фокальной 3-плоско- стью Z-з фокуса А\. Так как dAi = u\Ai + u)\A2 + ш\Аъ + ш\(АА + а\Аъ + а\А то L3 = (AiA2Az, AA + а\Аъ + а\А6). 11 Следовательно, в фокальную 3-плоскость можно поместить точку тогда L3 = и а\ = О, а\ = 0. В силу (1.4), (1.5) уравнение (1.3) принимает вид: (1.5) + Ъ1 = 0. Так как <р = 0 является трехкратным корнем этого уравнения, то = 0 — двухкратный корень уравнения Отсюда следует, что имеют место уравнения: 1 1 0 ъ\ ь\ ь\ 4 а2 С/о = о, т. е. \Ь\ Ь\Ь\ = 0, аЗ ~~ (1.7) (1.8) Заметим, что о 4 а\ 4 так как уравнение (1.6) — квадратное, т.е. а\а\ ф 0. (1.9) Таким образом, семейство (?2)2 определяется системой уравнений Пфаффа (1.1), к которой нужно присоединить уравнения (1.4), (1.5), (1.7), (1.8) и условие (1.9). Продифференцировав внешним образом уравнения (1.1) в силу уравнений (1.4), (1.5), получим 1 ш\) Аи\ + (и\ + Ь\ш\) Л ш\ = О, а\ш\ - и>1) Лш* + (bgwj + bjwj) Л си25 = О, Аа% Л wj + АЬз Л w\| = 0, AaQ2 Awj + Ab\ Л и\ = 0, ^ Л и\ + Абз Л а;;? = 0, ^ Л ш\ + АЬ^ Л wf = 0, (1.10) Л a;J + A63 Л wj = 0, где введены обозначения t = da\ + а\(ш\ - ш\ - = db63 + >2 3 а;66 Ъ\ш\ - = da\ + a\{w\ - а;22 + вх) b\(uj\ - u>\ + a\{u\ - u>22 - - а\ш\ Ab42 = db\ a\62 - Ь\ш\ u\ + вг) + u,54, \ш\ + а\ш\ - а\ш\ + а\ш\, (1.11) ДЬ62 = a;56, = da\ \w\ 6363 + a\w\ + a = db\ + 635(a;22 - = da\ Ab\ = db\ Aa\ = da\ i) + 6363 - a\| J - a;55 + 04) + 5 3 3 Заметим, что в фокальном направлении ш\ = 0 будет существовать единственный фокус А\ плоскости L\, а не прямая из фокусов, если система (1.2) х%\ + хъЪ\ = О, Л т ™3ь5 _ п = 0, записанная с учетом (р = 0, (1.4), (1.7), имеет только тривиальное решение, т.е. ранг её матрицы равен двум. Это возможно, если Ъ\-Ъ\Ъ\^Ъ. (1.12) 2. При канонизации репера удобно воспользоваться леммой Н. М. Ос-тиану [31] о канонизации репера. Пусть уравнения (1.10) разрешены по лемме Картана. Тогда правые части выражений (1.11) будут представлены линейными комбинациями независимых форм ш\ и w\. Положим а\| = 0, б? = 0, а26 = 1, Ь° = 0, «з = 1, &з = 0, а* = 0, Ь* = 1. (1.13) Тогда из уравнений (1.7), (1.8) получим Ъ63 = 0, а63 = 0. (1.14) В силу (1.13), (1.14) уравнения (1.11) допускают разрешение относительно вторичных форм: 4 = Аа62, ш\ — Да1 ш\ = ь>1 = ы\ + ш\ - Ы>\, — ljm ш2 — и3 4- и4 — шъ — Следовательно, в силу леммы Н.М.Остиану канонизация (1.13) возможна. Заметим, что проведенная канонизация репера не нарушает условия (1.9) и (1.12). Таким образом, система уравнений Пфаффа, определяющая семейство (i^b' имеет ВИЛ ш\ = 0, ш\ = 0, ш\ = 0, ш\ = 0, Репер {Ар} с компонентами (1.15) назовем репером 1-го порядка семейства (?2)2' геометрический смысл которого будет рассмотрен в п.2, §1.2. Продифференцировав внешним образом уравнения (1.15), получим {и>\ - wl) Л и\ + ш\ Л ш\ = О, {ш\ - ш\) Л ш\ = О, f ш\) Л о/} + a/J Л wf = 0, (а/? - w\|) Л u;J + (u>2 ~ WJ) Л Ш1 = °» Л a;J + (wj + wf) Л w\| = 0, (1.16) Л и\ + (wj + wj - wj) Л ^ = О, ъ \| J j f ш} = О, где ,4 Л- / ,6 •>4 + W6> (1.17) Замкнутая система уравнений (1.15), (1.16) определяет семейство {L\)2. Эта система содержит q—12 искомых форм: \, \, \, \, \, 1, 2, Аа53, Наиболее общее алгебраическое решение системы (1.16) имеет вид ш\ = а\ш\ + Ъ\ш\, и>1 = а\ш\ + Ъ\ш\> ш\ = ajw} + fe?a;25, a;56 = ojwj + bfwf, a;45 = a^J + (6? - a?) a;25, w\| = a\|w* + (bj - a\|) a;25, ^ = Ъш\ + (a? + a\ - а\)\ Для исследования на инволютивность системы (1.15) используем критерий Г.Н.Макеева [23], который утверждает: если в наиболее общем алгебраическом решении при двух независимых переменных у каждой из искомых форм имеется хотя бы одна параметрическая, то система в инволюции с характерами 5l = 2q - N, s2 = N-q = q-su где q — число искомых форм, N — произвол наиболее общего алгебраического решения. В нашем случае каждая из форм uj\, o;\|, uj, и\ — ш^, АЩ имеет по два независимых параметра, остальные формы имеют по одному независимому параметру. Так как то Sl = 24 - 17 = 7, в2 = 17 - 12 = 5, т.е. система (1.15) находится в инволюции и справедлива Теорема 1.1. Семейство (-^2)2 существует с произволом пяти функций двух аргументов. §1.2. ВНУТРЕННЯЯ КОРРЕЛЯЦИЯ НА СЕМЕЙСТВЕ (Ь\)2 1. В работе [12] введено понятие внутренней корреляции погруженного многообразия, которая дает возможность исследовать инвариантные двойственные образы многообразия. В пространстве Р$ наряду с репером {Ар} введем корепер {Ар}, где А* = (-1)Р(А!... Wi • • • 4»). (1.19) Тогда jA. (1.20) Причем, в силу уравнений структуры пространства, система уравнений (1.20) будет вполне интегрируемой. Без ограничения общности можно считать, что 1>? = 0. (1.21) В пространстве Р& введем корреляцию К: (1.22) Отсюда следует, что в корреляции К индексы р, g, r изменяются по правилу подстановки /12 3 4 5 6 ~\|б 45 2 3 1 при этом К{ш1) = - где а = Щд), /3 = П(р). Легко проверить, что корреляция К переводит систему уравнений (1.15) в себя, т.е. она является внутренней корреляцией на семействе (-^2)2- Найдем двойственные образы в корреляции К для аналитических прямых (ApAq). Так, например, в силу (1.19), (1.22) получим К(АгА2) = (А6 А4) = ~{АА6) = - {[А^А^А^] П M) = (А6 А5) = -(А5 А6) = (~А5,А6) = К(А2АЪ) = (ААЪ) = -(АгА2А3А6) и т. д. Аналогично найдем двойственный образ плоскости L\ = (А1А2А3)'. К(А!А2А3) = (А6 А4 А5) = (А4А5Л6) = ~{АХА2АЪ). Таким образом, плоскость L\ является двойственной сама себе. Если учесть уравнения (1.21) и (1.23), то получим, что справедливы равенства К (d(ApAq)) = d (К(АРАЧ)) , К (d(ApAqAr)) = d {К{АРАЧАГ)) и т. д. В дальнейшем, говоря о двойственности образов, будем иметь ввиду двойственные образы относительно внутренней корреляции К. 2. Дадим геометрическую характеристику реперу 1-го порядка семейства

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23555.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.