Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Интегральная геометрия на геодезический римановой метрики

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Интегральная геометрия на геодезический римановой метрики

Количество страниц	138

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23558.doc

Содержание	Содержание Введение 3 Глава 1. Некоторые предварительные результаты из дифференциальной геометрии 10 1. Горизонтальная и вертикальная производные И 2. Горизонтальные тензорные поля 20 3. Дифференциальные и интегральные равенства 25 4. Геодезический поток и поля Якоби 32 Глава 2. Интегральная геометрия тензорных полей, вопросы единственности 37 1. Лучевое преобразование 39 2. Дифференциальные тождества и неравенства 50 3. а - простые метрики 54 4. Теоремы единственности 63 Глава 3. Сопряженное уравнение и угловой годограф 71 1. Угловой годограф и оператор 1^ 72 2. Символ оператора /^/то 76 3. Теоремы сюръекции 82 4. Пространство С™(д+п(М)) и теорема о складке 91 5. Угловой годограф и первые интегралы геодезических 100 Глава 4. Двумерные задачи 105 1. Геодезическое векторное поле и преобразование Гильберта 107 2. О разрешимости скалярной и векторной задачи 112 3. Формулы обращения и уравнения Фредгольма 117 4. Граничная жесткость 128 5. Обратная кинематическая задача 133 Список литературы 138 Введение Интегральная геометрия - дисциплина, в которой изучаются вопросы восстановления функции, определенной на некотором многообразии по интегралам от нее но некоторому семейству подмногообразий меньшей размерности. В диссертации рассматриваются только те задачи интегральной геометрии, в которых интегрирование проводится вдоль геодезических некоторого односвязного компактного риманова многообразия с краем. Совокупность всех интегралов определяет лучевое преобразование функции. При этом интегрируемая функция может зависеть не только от точки многообразия, но и определенным образом от направления. Рассматриваемые в диссертации задачи имеют важное значение как в приложениях, так и во внутриматематических вопросах. Они возникают в диагностике неоднородных сред (ультразвуковая томография в медицине, обратная кинематическая задача сейсмики в геофизике и т.д.), в теории обратных задач (например, при исследовании обратных задач для гиперболических уравнений и систем методом разделения особенностей [42], [68]). Отметим также проблему граничной жесткости римановых многообразий, возникающей в геометрии и имеющую тесные связи с задачами интегральной геометрии [58]-[60], [64], [66]. Если метрика задана, и, следовательно, геодезические известны, задачи интегральной геометрии линейны. При неизвестной метрике возникают нелинейные задачи. Наиболее важный пример - задача определения метрики д риманова многообразия (М,д) с краем дМ по расстояниям dg (x,y) , ж, у € дМ между точками края. В случае, когда М - односвязная компактная область в i?3, а метрика конформно-евклидова, дц = Sij/c2 эта задача известна как обратная кинематическая задача, возникающая в геофизике [42]. Здесь S{j — символ Кро-некера, с - скорость распространения упругих волн. В геофизике функцию dg(x,y), х,у 6 дМ (время распространения волн) называют годографом. В случае общей метрики мы также будет следовать этой терминологии и называть функцию dg (х,у) , х,у € дМ годографом метрики д, а задачу определения метрики д обратной кинематической задачей. Хорошо изученный пример линейной задачи интегральной геометрии - лучевая задача Радона для евклидова пространства и многообразий постоянной кривизны. Здесь имеется развитая теория, включающая теоремы единственности, существования, формулы обращения и алгоритмы решения практических задач [44], [48],[65]. В. А. Шарафутдиновым [52] были получены аналогичные результаты при интегрировании по прямым функций, зависящих не только от точки, но от направления (в виде однородного полинома). Случай общих римановых многообразий исследован значительно меньше. Первые важные результаты - теоремы единственности в двумерной линейной задаче и обратной кинематической задаче для конформно-евклидовой метрики были получены Р. Г. Мухометовым [23],[24],[25]. В дальнейшем метод Р. Г. Мухометова был распространен в работах Р. Г. Мухоме-това, В. Г. Романова [26],[27],[41], И. М. Бернштейна, М. Л. Гервера [11],[12] на случай компактных римановых и финсле-ровых многообразий с краем произвольной размерности. Линейные задачи, которые изучались в этих работах, касались случая, когда искомая функция зависела только от точки мно- гообразия. Первый результат в задаче, когда искомая функция "линейно" зависит от направления ? был получен Ю. Е. Аниконовым [2] (в двумерном случае) и Ю. Е. Аниконовым и В. Г. Романовым [8] (для произвольной размерности). В этих работах было показано, что линейная форма /i определяется своим лучевым преобразованием с точностью до потенциальной формы (V/i (х) , ?) с постоянным потенциалом h на краю многообразия. Используемое во всех этих работах условие нормальной выпуклости многообразия, когда любые его две точки соединяет единственная геодезическая, до сих пор не удается ослабить. Линейные задачи интегральной геометрии, рассматриваемые в диссертации, касаются случая, когда интегрируется функция /т, зависящая от пары (х,?), где х - точка пространства, ? - направление (единичный вектор скорости геодезической в точке ж), причем зависимость от ? выбирается в виде однородного полинома произвольной степени т > 0. Каждый такой полином порождается симметричным тензорным полем / той же степени. Множество всех интегралов (т.е. лучевое преобразование функции /т) определяет лучевое преобразование Imf поля /. Задача об обращении лучевого преобразования симметричного тензорного ноля произвольной степени на многообразии неположительной кривизны впервые была рассмотрена в статье автора [29], где была приведена схема ее исследования. Затем в работе Л. Н. Пестова и В. А. Шарафутдинова [35] была доказана теорема о разложении симметричного тензорного поля на потенциальную и соленоидальную часть и получена оценка устойчивости соленоидальной части поля через его лучевое преобразование (также в случае многообразия неположительной кривизны). Потенциальная часть с постоянным потенциалом на краю многообразия аннулируется лучевым преобразованием. Позже этот результат был усилен в [51], где условие неположительности кривизны было заменено на некоторое условие интегрального характера на секционные кривизны. Перечисленные результаты касались проблемы единственности в задачах интегральной геометрии тензорных полей. Вопросы разрешимости для общих римановых многообразий исследованы значительно меньше. В случае аналитической метрики и аналитической искомой функции необходимые и достаточные условия разрешимости двумерной скалярной задачи (т = 0) приведены в [2]. Для задачи в круге в случае кривых, достаточно близких к прямым в работах Д. А. Попова [36],[37] приведены формулы обращения и дано описание образа лучевого преобразования. Сложность проблемы разрешимости связана в первую очередь с переопределенностью задач, которая имеет место даже в размерности 2 [7]. С целью избавиться от переопределенности Ю. Е. Аниконовым было предложено рассмотреть более широкий класс искомых функций. Естественные расширения совпадают с ядром некоторого дифференциального оператора второго порядка Qmi m E R [7],[54]. В частности, полином /т, порожденный соленоидаль-ным тензорным полем, принадлежит KerQm при целом т. При таком расширении А. X. Амировым была доказана разрешимость задачи интегральной геометрии на многообразии неположительной кривизны [1]. Из нелинейных задач интегральной геометрии в диссертации рассматривается обратная кинематическая задача на двумерном римановом многообразии. Метрика д, вообще говоря, не определяется своим годографом dg (х,у), х,у ? дМ. Известный пример неединственности решения обратной кинематической задачи строится с помощью произвольного диффеоморфизма (р : (М, д) —у (М, (?>д), тождественного на краю, ср\ам = id- Диффеоморфизм ip порождает новую метрику <Рд, изометричную д, т.е. он сохраняет расстояния dg (х,у) = d sup,,, y€QM dg {x,y) . Тогда годограф не изменится при изменении метрики д в окрестности точки xq. Поэтому необходимы дополнительные условия на метрику. Одно из таких условий состоит в том, что любые две точки многообразия М соединяет единственная геодезическая и край дМ - строго выпуклый относительно геодезических. Такое многообразие (метрика) называется простым (простой). Р. Мишелем (R. Michel) в [64] была высказана гипотеза о граничной жесткости простых многообразий. Известны следующие случаи решения проблемы граничной жесткости. Если одна из метрик плоская и годографы обеих метрик совпадают, то метрики изометричны [62]. Двумерное многообразие неположительной кривизны гранично жестко [58]. Если две метрики, удовлетворяющие некоторому условию на секционные кривизны, достаточно близки в классе С2 и имеют одинаковые годографы, то они изометрич-ны [60]. Как было доказано Р. Г. Мухометовым [24] в двумерном случае две простые конформно-евклидовы метрики совпадают, если они имеют одинаковые годографы. Позже им был установлен общий результат [26]: если (М, #г), г = 1,2 - два простых многообразия и метрики д\, д<± из одного конформного класса (т.е. д\ = pgi с положительной гладкой функцией р) имеют одинаковые годографы, то д\ = д2- Т.е. в этом случае диффеоморфизм (р тождествен. Другие результаты с помощью близких методов были получены в [10],[12],[15]. В монографии А. Л. Бухгейма [13] доказана теорема разрешимости многомерной обратной кинематической задачи в классе аналитических функций. Первая глава диссертации содержит краткое изложение основных сведений из дифференциальной геометрии векторных расслоений над римановым многообразием. В ней также развиваются основы теории горизонтальных тензорных полей на расслоении (произведении расслоений) единичных сфер над римановым многообразием, которая дает удобный аналитический аппарат для исследования задач интегральной геометрии. Вторая глава посвящена вопросам единственности обращения лучевого преобразования симметричных тензорных полей. Она содержит как новые доказательства результатов работ [8],[12] (для скаляров и векторных полей), так и новые теоремы единственности для произвольной степени тензорного поля. В третьей главе рассматривается вопрос о сюръективно-сти естественного сопряженного оператора /^. Доказывается сюръективность в скалярной задаче (т = 0) и аналогич- ный более слабый результат в векторном случае (ш = 1). Эти результаты имеют важное значение при изучении вопросов разрешимости задач интегральной геометрии и исследовании обратной кинематической задачи. В четвертой главе рассматриваются задачи интегральной геометрии на двумерном многообразии. Главным инструментом исследования здесь оказывается интегральное преобразование Гильберта на единичной окружности Qx С Тх касательного пространства в точке х. В случае евклидовой метрики метод преобразования Гильберта был использован в [31] и уже тогда была ясна его важная роль в изучении двумерных задач для римановой метрики. Но получение конкретных результатов упиралось в отсутствие теорем сюрьекции главы 3. Эффективность метода демонстрируется как в линейных, так и нелинейной задачах. Доказываются теоремы разрешимости для скалярной и векторной линейных задач. В случае двумерных многообразий постоянной гауссовой кривизны приводятся формулы обращения в скалярной и векторной задаче. Кроме того доказывается граничная жесткость простых двумерных многообразий. Для простого многообразия с конформно-евклидовой метрикой предлагается линейный метод решения обратной кинематической задачи, близкий к известному в теории обратных задач методу граничого управления М.И. Бе-лишева [55]. Ссылка в тексте типа (1.2.3) указывает на формулу (2.3) (а также лемму, теорему) главы 1, параграфа 2. Ссылка (2.3) означает то же для текущей главы. Глава 1 Некоторые предварительные результаты из дифференциальной геометрии В первой главе собраны некоторые результаты из дифференциальной геометрии векторных расслоений над римановым многообразием, которые дают основной инструмент исследования задач интегральной геометрии. В § 1 приводится известная конструкция горизонтальной и вертикальной производной гладкого отображения, определенного на пространстве векторного расслоения п : Е —ь М и его подмногообразиях Е. Рассматриваются основные примеры, когда Е = Т(М) - касательное расслоение над римановым многообразием и S = Q(M) С Т(М) - подмногообразие единичных сфер над М, а также Е = (тг)-1(Г) f)?l(M), где Г -гладкая гиперповерхность в М. В § 2 определяется горизонтальное тензорное поле на векторном расслоении - тензорное поле, зависящее не только от точки базы ж, но и от вектора слоя ? над х. Это понятие является некоторым обобщением введенного в [35] понятия полубазисного тензорного поля на касательном расслоении риманова многообразия. Оно позволяет учитывать зависимость тензорного поля от нескольких направлений (полубазисное поле зависит от одного направления). Определяются также горизонтальные и вертикальные производные горизонтального поля. В случае касательного расслоения Т(М) над римановым мно- гообразием (М,д) горизонтальная производная горизонтального (полубазисного) поля на Т(М) является естественным обобщением ковариантной производной. В § 3 приводятся несколько дифференциальных и интегральных соотношений, связанных с горизонтальными тензорными полями. Они составляют, практически, весь небольшой аналитический аппарат, используемый в дальнейшем при исследовании задач интегральной геометрии. Наконец, в § 4 приведены некоторые, используемые в дальнейшем, уравнения и формулы, связанные с геодезическим потоком на римановом многообразии и полями Якоби. В главе используются основные понятия римановой геометрии, тензорного анализа и теории векторных расслоений. Наши основные ссылки по этим вопросам - [16],[19],[39], [40],[46],[61]. 1 Горизонтальная и вертикальная производные Приведем конструкцию горизонтальной и вертикальной производной гладкого отображения / : Е —>¦ N, где Е - векторное расслоение со связностью, N - многообразие, [19],[61]. Пусть тг : Е —У М - гладкое (иод гладкостью везде понимается бесконечная дифференцируемость) вещественное векторное расслоение ранга m над n-мерным многообразием М. Точки многообразия Е будем обозначать парами (ж, ?), где ? -вектор слоя Ех над точкой х ? М. Если указаны слои расслоения, то его обозначение часто будем сокращать до обозначения пространства расслоения Е. Производная естественной проекции 7г'(ж,?) : ТХ^(Е) —У ТХ{М) в точке (ж,?) определяет m-мерное вертикальное подпространство V(x q касательного пространства Г(х ^ (Е) над Пусть г^ : Т(Е) —> -Б - касательное расслоение над .Е и задано отображение связности К : Т(.Е) —У Е. Оно действует послойно и в любом слое Т(Х?} (Е) отображение К^х^ = К\(х^ : Т^) (Е) —У Ех линейно, т.е. К - морфизм векторных расслоений. Отображение К(х?) определяет n-мерное горизонтальное подпространство Н(х^ С Т(х ^ (Е), Н{х?) = КегКы), дополнительное к V^x^y Пространство Т^х^ (Е) разлагается в прямую сумму горизонтального и вертикального подпространств, Тм (Е) = Н{хЛ) 0 У{хЛ). Горизонтальное и вертикальное подпространства отождествляются, соответственно, с касательным пространством Тх (М) и слоем Ех с помощью изоморфизмов Произвольный вектор X <Е Т^х^ (Е) единственным образом представим в виде суммы {?) J(x,t)Xv> (1-1) где Xh = JfaQX е Тх (М) Xv - КМХ G Ех. Мы будем называть векторы Xh,Xv горизонтальной и вертикальной частью вектора X, соответственно, (а не его проекции J^xc\Xh и XVX на горизонтальное и вертикальное подпространства). Запись (1.1) будем сокращать до X = (Xh,Xv). Введем также изоморфизм г^ : Т(Х?)(Е) —> ТХ(М) х Ех ix^{X) = (Xh,Xv). Равенством (X,Y) = (Xh,Yh) + {Xv,Yv) (1.2) определяются горизонтальная Yh ? Т* (М) и вертикальная Yv Е Е* (М) части ковектора Y ? Г(же) (?7). В (1.2) скобки означают соответствующие двойственности. Производная /'(х,?) : Т^Х^(Е) —> Tf^x^(N) определяет горизонтальную (V/,/)(rc,^) и вертикальную (Vr/)(x,^) производные отображения f : Е —> N в точке (х,^) : С учетом разложения (1.1) значение производной /'(ж,?) на векторе X 6 Г^;^) (J5) записывается в виде f\x,Z)X = Vhf (x,OXh + VJ (x,OXv (1-5) Замечание. Когда точка (х,?) пробегает все многообразие Е отображения (1.3), (1.4) приобретают следующий смысл. Пусть тдг : Т (N) -^ N - касательное расслоение над многообразием N. Отображение / индуцирует его прообраз р (Т (N)) Е, слой которого над точкой (ж, ?) € Е есть Tf^x^ (N) : Аналогично проекция тт : Е —> М индуцирует прообраз тг" (Г (М)) —» Е касательного расслоения над многообразием М, слой которого над точкой (#,?) ? Е есть Тх (М) : 7г« (Т(М)) Т(М) Е А М Таким образом имеем два векторных расслоения над Е: тг« (Г (М)) и / (Г (ЛГ)) . Нот (тг» (Г (М)), /«(Г (ЛГ))) - также векторное расслоение над Е, слой которого над точкой (я,?) состоит из всех линейных отображений Тх (М) —> Tf(x^ (N) . Тогда горизонтальную производную отображения / можно понимать как сечение Vhf:E-+ Нот (тг« (Т (М)), f (Г (iV))) . Аналогично, вертикальная производная является сечением Vvf:E^ Horn (тг«(?), /* (Г (N))) , где тг^Е1) —* Е - прообраз расслоения Е, индуцированного проекцией тг, Нот (тг^Е1), /" (Т (iV))) - векторное расслоение над Е1 слой которого над точкой (ж,?) состоит из всех линейных отображений Еж —>• Тд^) (-^) • В частном случае, когда N = R векторные пространства линейных отображений Тх —> 7/(;г,\|) (-R) ? -^ж ~^ ^7(ж,0 (-^) естественно отождествляются с Т* и Е* и расслоения Нот (тг# (Г (М)), /«(Г (Л))) и Нот (тг«(Е), /»(Г (Л))) (над Е) с расслоениями Т* (М) и Е* над М. При этом горизонтальная производная V/,/ будет послойным отображением (над М) Е —>• Г* (М), а вертикальная Vv/ - послойным отображением Е -* Е. Рассмотрим локальные представления. Напомним, как строятся ассоциированные координаты на Т (Е). Пусть (?7, ф), <р : U —>• Rn, U С М - локальная тривиализующая карта многообразия М. Мы будем записывать ее также в виде (р : U —> Rn. Для каждой такой карты существует накрывающая ее локальная карта Ф : тг^1 (U) —>¦ р (U)xRm многообразия Е. Диаграмма тг-1 (U) Л if (U) х R ж I pri I и > ч>(и) m где pri означает проекцию на первый сомножитель, коммутативна, причем для любой точки х € U ограничение Ф\|^ : Ех —? Rm - изоморфизм векторных пространств. Пусть (ж1,..., ж",^1, ...^т) - система локальных координат на Е. Для произвольного касательного вектора X ? Ttx^\ (E) возникают компоненты Хг разложения по базису д/дх\ % = 1,..., п, д/д&, j l,...,m, Хг= (Х,д/дх{) , г" = 1,...,п, Xi+n=(X,d/d?), i = l,..,m, Величины (ж1,...,ж",?1,...?т,Х1,...,Х"+т) являются ассоциированными координатами точки (ж, ?, X) на Т (Е). В дальнейшем мы будем пользоваться только ассоциированными системами координат. Отождествляя точку (х,?,Х) ? Т(Е), X ? Т^Х^(Е) с ее локальными координатами (ж1,..., я",^1, ...^т,Х1, ...,Хп+т) получаем локальное описание вертикального подпространства W) i Х? = 0, « = 1, ...,п}. Локальное представление отображения связности задается ра- венствами (Кы)Х)а = Хп+а + Щр (х) Х^р , а = 1,..., т, (1.6) где Що - коэффициенты связности. В (1.6) и в дальнейшем используется обычное соглашение о суммировании по повторяющимся нижним и верхним индексам, причем в (1.6) по латинскому индексу суммирование ведется в пределах от 1 до п, а но греческому от 1 до т. Из (1.6) получаем НЫ) = {ХЕ Rn+m : Хп+а = -П? (х) Х^ , а = 1,..., т}. Тогда координаты горизонтальной и вертикальной части вектора X равны: Xl = X\ i = l,...,n, (1.7) Из (1.2), (1.7), (1.8) определяются координаты горизонтальной и вертикальной части ковсктора Y ? Т? ^ (Е) Y? =Yn+a a = l,...,m. Локальные представления горизонтальной и вертикальной производной отображения / получаются следующими : Определим горизонтальные и вертикальные производные на подмногообразиях. Пусть Ес?- гладкое вложенное подмногообразие и е : S —>¦ i? - соответствующее вложение. Отображение е' (#,?) : Т(х?) (S) —>• Т(хф (Е) - изоморфизм на свой

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23558.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.