Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Марковские сплетающие операторы, джойнинзи и асимптотические свойства динамический систем

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Марковские сплетающие операторы, джойнинзи и асимптотические свойства динамический систем

Количество страниц	156

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23560.doc

Содержание	Содержание ВВЕДЕНИЕ. §0.1. Проблема Рохлина о кратном перемешивании...4 §0.2. Теория джойнингов и ее приложения...7 §0.3. Теория марковских сплетающих операторов...12 §0.4. Структура и основные результаты диссертации___19 Глава 1. МАРКОВСКИЕ СПЛЕТАЮЩИЕ ОПЕРАТОРЫ И ТЕНЗОРНАЯ ПРОСТОТА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ §1.1. Несколько методологических принципов теории сплетений...37 §1.2. Дополнительная симметрия...45 §1.3. Индуцированные джойнинги...51* §1.4. Примеры тензорно простых систем...54 §1.5. Связь типов тензорной простоты...62 Глава 2. СИСТЕМЫ С МИНИМАЛЬНЫМ, ПРОСТЫМ И КВАЗИПРОСТЫМ ЦЕНТРАЛИЗАТОРОМ §2.1. Простые системы с несчетным централизатором___9 §2.2. Наследственная независимость и квазипростота действий...72 §2.3. Минимальные самоприсоединения и кратная возвращаемость...78 §2.4. Четная и нечетная тензорная простота...87 Глава 3. ДЖОЙНИНГИ И ТЕНЗОРНАЯ ПРОСТОТА НЕКОТОРЫХ ПОТОКОВ. §3.1. Гладкие джойнинги и тензорная простота потоков .91 §3.2. Тензорная простота w-простых потоков...93 §3.3. Перемешивающие потоки положительного локального ранга...100 Глава 4. ДЖОЙНИНГИ ДЕЙСТВИЙ КОНЕЧНОГО И ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЛОКАЛЬНОГО РАНГА §4.1. D-свойство перемешивающих автоморфизмов конечного ранга...107 §4.2. D-свойство перемешивающих Ъп-;\еиствш и локальный ранг...111 §4.3. Тензорная простота перемешивающих систем с D-свойством...115 §4.4. Кратное перемешивание и локальный ранг...120 §4.5. Ранги и джойнинги автоморфизма Т хТ...122 Глава 5. НЕКОТОРЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ §5.1. Проблема Рохлина об однородном спектре...128 §5.2. Перемешивающие автоморфизмы с однородным непростым спектром...135 §5.3. Изоморфизм декартовых степеней преобразований и аэ-перемешивание...140 §5.4. Асимметрия прошлого и будущего системы и кратная возвращаемость...144 §5.5. Расширения, сохраняющие кратное перемешивание и тензорную простоту ... 149 ЛИТЕРАТУРА...156 ВВЕДЕНИЕ §0.1. Проблема Рохлина о кратном перемешивании Основным объектом исследования в диссертации является обратимое сохраняющее меру \i преобразование Т пространства Лебега (X, 23, ^), которое называют автоморфизмом. Динамической системой называется четверка (Т, X, В, /i) или, в более общей ситуации, сохраняющее меру действие некоторой группы. Среди свойств Г, которые представляют интерес для эргодической теории, особую роль играют асимптотические свойства (свойства систем для больших значений времени). Рассмотрим пример такого свойства, который является ключевым для нашей работы. Кратное перемешивание. Говорят, что автоморфизм Т перемешивает с кратностью к, если для любых множеств Ао,..., Ак € В и любых последовательностей щ,..., Пк —> со выполнено: /х(А0 П ТП1 Лг... n Tni+-+nAn) -> /j(Ao)MAi) • • • y.(Ak). В.А. Рохлин в работе [21] ввел понятие кратного перемешивания и доказал, что эргодический эндоморфизм компактной коммутативной группы обладает кратным преме-шиванием всех порядков. Проблема эквивалентности свойств перемешивания разных порядков, получившая название проблемы Рохлина о кратном перемешивании, стала популярна после выхода книги Халмоша [58]. Напомним историю результатов. В.П. Леонов [13] показал, что перемешивающие гауссов-ские системы обладают перемешиванием всех кратностей. Ф. Ледраппье [71] обнаружил контрпример к проблеме о кратном перемешивании для действий группы Z2. Он по- строил перемешивающее действие группы Z2, которое не обладает перемешиванием кратности 4. Это действие образовано коммутирующими сдвигами (автоморфизмами) подгруппы Н группы 2Z , где Н состоит из всех последовательностей {h(z)}, z € Z2, h(z) ? Z2, таких, что условие , z2) + h(zu z2 +1) + h(zi -1, z2) + h(zu z2 ~ 1) = h(zu z2) выполнено для всех z = (z\,z2). Идея Ледраппье позволяет варьировать результаты: для каждого к найдется коммутативное действие, обладающее перемешиванием кратности к, но не обладающее перемешиванием кратности (к + 1). Однако проблема Рохлина о кратном премешивании, поставленная для Z-действий, остается открытой более полувека. Упомянем результаты, дающие положительный ответ для некоторых классов динамических систем. Я.Г. Синай высказал гипотезу о том, что орициклический поток является перемешивающим всех степеней, которую подтвердил Б. Маркус, доказавший более общее утверждение: свойством кратного перемешивания обладают унипотентные потоки. Ряд обобщений теоремы Маркуса был получен позднее в [23], где автор применил метод джойнингов, а также Ш. Мозесом [74] и А.Н. Старковым [29],[30]. Так, например, в [29] доказано свойство кратного перемешивания для однородных перемешивающих потоков. Ряд общих результатов и наблюдений о кратном перемешивании получены авторами [22], [48], [81], [84]. Проблема Рохлина о кратном перемешивании допускает модификации. Например, влечет ли слабое перемешивание за собой слабое перемешивание всех порядков? [22]. Один из наиболее общих результатов принадлежит Б. Осту [59]: перемешивающие автоморфизмы с сингулярным спектром не допускают нетривиальных самоприсоединений с парной независимостью и по этой причине обладают переме- шиванием бесконечной кратности. Вывод из теоремы Оста: Щг контрпримеры к проблеме Рохлина следует искать в классе систем с быстрым перемешиванием кратности 1. В [67] С. Каликов установил свойство перемешивания кратности 2 для перемешивающих автоморфизмов ранга 1. Результат Каликова был несколько неожиданным, так как здесь свойство кратного перемешивания получено для систем со слабыми статистическими свойствами. Автор в [24] привел обобщение теоремы Каликова для всех кратностей, основанное на технике джойнингов, показав, что перемешивающие автоморфизмы ранга 1 не допускают самоприсоединения с парной независимостью. В диссертации эквивалентное свойство, сформулированное в терминах сплетающих операторов, называется тензорной простотой (определение приводится ниже). Но интерес к этому свойству связан не только с тем, что тензорная простота перемешивающей системы влечет за собой кратное перемешивание. Тензорную простоту можно рассматривать как аналог свойства взаимной сингулярности спектральной меры автоморфизма и ее сверточного квадрата (первое указание на это появилось в работе Оста [59]). Упомянутое спектральное свойство в относительном варианте было обнаружено A.M. Степиным [31] для групповых действий при решениии проблемы Колмогорова о групповом свойстве спектров динамических систем (этой проблеме посвящены также работы В.И.Оселедца [15] и А.М.Степина [34]). Таким образом, свойство тензорной простоты, появившееся внутри теории джойнингов [64], оказалось замечательным образом связанным с проблемами Колмогорова и Рохлина. Предположим, что контрпример к проблеме Рохлина найден. Тогда можно задать меру v на кубе Xn+1, определяя значения v(Aq х А\... х Ап) как предел выражений вида ji(AonTniAi.. .ПТП1+-+ПкАп). Такая мера является самопри- соединением: она инвариантна относительно прямого про- изведения Т(0) х Тщ ... х Т(„), а ее проекции на двумерные грани куба Xn+l стандартны, т.е. совпадают с мерой /x®/i. Говорим, что такие самоприсоединения обладают попарной независимостью. Причем мера v нетривиальна, т.е. v ф /х ® ... ® /1. Хотя наш пример для действий группы Z является гипотетическим, для упомянутого действия Z2 из работы Ледр-аппье мы получим нетривиальное самоприсоединение. Если же будет доказано, что рассматриваемая система не допускает таких нетривиальных джойнингов, мы установим кратное перемешивание (или слабое кратное перемешивание, когда система обладала только слабым перемешиванием). В этом и состоит подход в изучении проблемы Рохлина, использующий джойнинги. 1 Последние, как мы увидим позже, тесно связаны с понятием марковского спле- тающего оператора. §0.2. Теория джойнингов и ее приложения Понятие джойнинга возникло в работе Фюрстенберга [49], где он ввел понятие дизъюнктности двух систем (Т и S дизъюнктны, если (I fi - их единственный джойнинг) и доказал дизъюнктность К-автоморфизма с автоморфизмом нулевой энтропии. Впрочем, этот факт вытекает из теоремы Пин-скера [18]: К-фактор и фактор с нулевой энтропией независимы. Толчком к развитию теории джойнингов и их приложений послужила статья Д. Рудольфа [82], в которой построен автоморфизм со свойством минимальных самоприсоединений. Приведем определение этого свойства. 1 Связь свойства кратного перемешивания с джойнингами была обнаружена в 80-х /^^ годах в Америке, Советском Союзе и Франции. Пусть Т : X —> X - сохраняющий меру автоморфизм вероятностного пространства (X, #,/2), /-i(X) = 1. Мера v, инвариантная относительно преобразования Тц) х ... х Т(„), действующего в кубе Хщ х ... х Х(п), называется самоприсоединением порядка п, если в дополнение к сказанному выполнено условие: проекции меры v на сомножитель Х^ совпадают с мерой /л. Так, например, мера /i ® ц и образы Дт» меры \х при отображениях <^„ : X —> X х X, где п(;с) = (х, Тп(х)), являются очевидными самоприсоединениями второго порядка. Мера Д = Aid называется диагональной. Ее можно задать по-другому: А(А х В) = (л(А П В) для всех А, В ? В. Автоморфизм Т пространства (X, В, ц) называется автоморфизмом с минимальными самоприсоединениями порядка п (пишем Т Е MSJ(n)), если любой эргодический джойнинг п копий Т, исключая меру ц®п = //(!) <8>... <8> /i(n), обладает следующим свойством: одна из его проекций на двумерную грань в X х ... х X является мерой Д^.. (Неформально говоря, такой автоморфизм Т имеет только очевидные джой-нинги.) Используя автоморфизм Т ? MSJ как элемент конструкций, можно построить разнообразные контрпримеры (примеры действий с необычными свойствами). Так, например, в [82] приведены примеры неизоморфных автоморфизмов С/, V таких, что автоморфизм Un изоморфен автоморфизму Vn для всех п > 1, даны примеры автоморфизмов с несчетным семейством неизоморфных квадратных корней, построен автоморфизм U без корней такой, что U2 имеет корни всех степеней. В работе Рудольфа имеется ряд других примеров, из которых мы приведем следующий пример неизоморфных автоморфизмов U, V", которые слабо изоморфны. Согласно определению Синая [28], две системы С/, V слабо изоморфны, если U содержит У-фактор, а система V имеет [/-фактор, т.е. факторсистему, изоморфную системе V. Пусть Т обладает свойством минимальных самоприсоединений всех порядков (свойством MSJ). Рассмотрим U — Т хТ хТ х — Так как автоморфизм U коммутирует с инволюцией S: S(xux2,ж3)аг4 • • •) = (Ж2,яьж3,х4 .. .)> подалгебра измеримых множеств, инвариантных относительно 5, будет инвариантна относительно автоморфизма U. Пусть V - факторсистема, соответствующая инвариантной подалгебре. Имеем представление V = Т°2 хТхТхТх..., где Т02 - действие Т х Т на подалгебре множеств, инвариантных относительно отображения {х\,Х2) —? (х2,х\). Из теории минимальных самоприсоединений вытекает, что автоморфизмы U и V не изоморфны. Слабый изоморфизм U и V очевиден. Отметим, что автоморфизм Т ? MSJ{2) является слабо перемешивающим, имеет тривиальный централизатор (коммутирует только с Тр) и не имеет собственных факторов. Если некоторый эргодический автоморфизм обладает набором различных факторов, каждый из которых изоморфен некоторому действию класса MSJ(2), то все эти факторы попарно независимы. Другие примеры автоморфизмов и потоков с аналогичными свойствами появились в работах дель Юнко, Парк, Рае, Ратнер, Свансон [60],[65],[63],[80]. Этими авторами установлено, что некоторые перекладывания отрезков, автоморфизм Чакона, специальные потоки над автоморфизмом Чакона, некоторые орициклические потоки обладают свойством минимальных самоприсоединений. Упомянутые примеры автоморфизмов со свойством MSJ принадлежат классу автоморфизмов ранга 1 (в терминологии Катка и Степина [9] - допускают циклическую аппроксимацию). А.А. При- расширил множество примеров автоморфизмов с минимальными самоприсоединениями: вероятностными методами строятся автоморфизмы бесконечного ранга со свойством MSJ (см. [19]). Понятие простой системы обобщает свойство минимальных самоприсоединений (MSJ). Примеры простых систем и фрагменты теории имеются в статьях Вича [89], Вейса, Глазнера [53], Глазнера, Оста, Рудольфа [52], Рудольфа, дель Юнко [64], Тувено [87] и статьях других авторов. Отметим, что 2-простая система является групповым расширением каждого из ее факторов при условии нетривиальности фактора [89]. Недавно А. дель Юнко построил пример простой системы, не имеющей минимального нетривиального фактора (это контрастирует с отсутствием нетривиальных факторов у автоморфизма класса MSJ). Из результата Глазнера, Оста и Рудольфа [52] следует, что 2-простой слабо перемешивающий автоморфизм, не являющийся простым порядка 3, должен обладать перемешиванием. Эти авторы доказали, что 3-простота влечет n-простоту для Z-действий. Однако для действий некоммутативных групп имеются контрпримеры: 2-простота не совпадает с 3-простотой, а последняя, вообще говоря, не влечет за собой простоту всех порядков [100]. Ситуация меняется при рассмотрении свойства простоты порядка 4. Это свойство влечет за собой простоту всех порядков для любого группового действия (см. работу Кинга [69]). Понятие свойства минимальных самоприсоединений и простоты обобщаются в разных направлениях (см. [66], [70], [87]), одним из обобщений является понятие квазипростоты. Отметим, что слабо перемешивающий автоморфизм, входящий в поток со свойством Ратнер (например, в орицикли-ческий поток), является квазипростым [80],[87]. К.Парк [76] показала, что стандартное 5Х(2, ^-действие автоморфиз- мов двумерного тора Т2 является квазипростым действием порядка 2. Эргодический джойнинг этого действия сосредоточен на подмножестве тора Т2 х Т2, которое задается уравнением тх = пу mod(l), где х,у € Т2, т,п - фиксированные натуральные числа. Рассмотренное действие не является квазипростым порядка 3, так как равномерно распределенная мера на многообразии {(я, у, z) : x + y + z = 0} является нетривиальным джойнингом порядка 3. Из результатов цитированной работы Кинга следует, что квазипростота порядка 4 влечет за собой квазипростоту всех порядков. Результаты Парк обобщены в статье Приходько [77], где дано полное описание джойнингов группы автоморфизмов n-мерного тора. Эти работы вместе с [78],[20] и [100] относятся к теории джойнингов некоммутативных действий, которая контрастирует с теорией коммутативных действий. Джойнинги и спектр. В работе [62] М. Леманчик и А. дель Юнко предложили новый метод построения контрпримеров, использующий вместо свойства минимальных самоприсоединений свойство взаимной сингулярности сверточных степеней спектральной меры. Типичность последнего свойства, доказанная A.M. Степиным [34],[85], дает дополнительные возможности (счетное пересечение типичных множеств непусто). С позиций теории марковских сплетающих операторов эти подходы при всей их оригинальности выглядят родственными: если спектральные эффекты можно сформулировать в терминах сплетающих операторов, то свойства джойнингов - в терминах марковских сплетений. Любопытно, что автоморфизм Чакона одновременно обслуживает оба подхода: он обладает свойством минимальных самоприсоединений (как мы упомянули выше) и свойством взаимной сингулярности сверточных степеней спектра, что недавно показали А.А.Приходько и автор [78]. Связь между джойнингами и спектром тем сильнее, чем «сингулярней» спектр. А системы с лебеговским спектром могут быть (стохастически) дизъюнктными, т.е. не иметь марковских сплетений, за исключением единственного тривиального сплетения, которое функциям с нулевым средним сопостовляет нулевую функцию. Классический пример: спектрально изоморфные геодезический и орициклическии потоки дизъюнктны, так как геодезический поток является К-системой (см. [1]), орициклическии является системой с нулевой энтропией ([6]), а таковые дизъюнктны ([18],[49]). То, что спектр этих потоков счетнократный лебеговский, было установлено в [7] и [17]. Другой пример: спектрально изоморфные автоморфизмы Т и Т~1 из [82] (стохастически) дизъюнктны, т.е. не имеют марковских сплетений за- исключением тривиального сплетения. §0.3. Теория марковских сплетающих операторов Систематическое использование языка марковских сплетений было предпринято автором, начиная с работы [90], §6. Изложение метода сплетений также имеется в работах Дж. Гудзона [54] и М. Леманчика, Ф. Парро, Ж.-П. Ту-вено [72]. Связь между марковскими операторами и полиморфизмами на декартовых произведениях пространств с мерой описана в работе A.M. Вершика [4]. В его работе изучаются свойства самих полиморфизмов, а в теории джой-нингов - свойства полиморфизмов, коммутирующих с динамической системой, или в более общей ситуации - полиморфизмов, сплетающих системы. Полиморфизмом называется мера на (X, В) х (У, Б), где X = Y, проекции которой на сомножители совпадают с /л. Полиморфизму v соответствует Говорят, что мера г/ есть джойнинг автоморфизмов Т и 5, если 77 инвариантна относительно Т х S, а проекции этой меры на сомножители в произведении (X, В) х (X, В) совпадают с мерой {1. Отвечающий джойнингу ц бистохастиче-ский оператор Р сплетает Т и S: РТ = SP. Пусть (Т, X, В, fi) - динамическая система, где Т обозначает обратимое, сохраняющее меру \i преобразование множества X (фазового пространства), В - алгебра /^-измеримых множеств. Преобразование Т называют автоморфизмом. Будем обозначать тем же символом Т и называть автоморфизмом унитарный оператор в 1/2 (/л)5 отвечающий преобразованию Т: (Tf)(x) = f(Tx) для/ ? Lidi). Поскольку такие операторы сохраняют неотрицательность функций, образованная ими группа Л вложена в полугруппу V ограниченных операторов в Ьч,(ц), которые переводят неотрицательные функции в неотрицательные. Оператору Р ? V соответствует мера г/, называемая квазиполиморфизмом ([4]). Связь задается формулой: Jx ХхХ где (•,•)- скалярное произведение в /^(/х) (иногда (•, •) также обозначает скалярное произведение в ?г(/л ® • • • ® /-0)- Сплетающие операторы, джойнинги и кратное перемешивание. Особый интерес представляет случай, когда автоморфизм S в формуле сплетения РТ = SP изоморфен тензорной степени автоморфизма Т. Теория таких сплетений ( и теория джойнингов, отвечающая этим операторам) имеет приложение к проблеме В.А.Рохлина о кратном перемешивании. Рассмотрим частный случай этой проблемы. Пусть автоморфизм Т пространства Лебега перемешивает с кратностью 1, т.е. для любых множеств А, В ? В при п —» со выполнено ц{ТпАПВ) -> fi(A)fi(B). Будет ли автоморфизм перемешивать с кратностью 2? Последнее означает, что для любых измеримых множеств А, В, С при любых последовательностях m, n —>¦ оо имеет место сходимость fi{TmA П Тт+пВ П С) -> n(A)ii{B)fi(C). Пусть Т перемешивает, но мы не знаем, является ли он перемешивающим с кратностью 2. Предположим, что для некоторых последовательностей т(г), п{г) —> со для любых А, В, С выполнено ^Tm(i)A n Tm(i)+n(i)B П С) -> Z/(A X Б X С), где v - мера (полиморфизм) на X х X х X. Пусть А, В, С также обозначают индикаторы соответствующих множеств. С мерой v связан бистохастический оператор Р, действующий из Li{}i 0 аО в jL2(/^); связь задается равенством: и(А х В х С) = {Р{Ха ® хв), Хс)- Проверяется, что для меры v выполнены следующие свойства: v{TA xTB х ТС) = и(АхВхС) (мера инвариантна относительно Т ® Т ® Г) и и(Х х А х В) = и(А х X х В) = и(А х В х X) = (проекции меры v на грани декартова куба стандартны). Для оператора Р точными аналогами этих свойств являются: ТР = Р{Т®Т), (0.1) P{f (8> 1) = Р(1 /) = Const = 1 ® G/, (0.2) где 0 обозначает оператор ортопроекции на пространство констант в L2(fi). В дальнейшем тривиальным называется оператор Р такой, что Im(P) = {Const} (образ есть одномерное пространство постоянных функций). Итак возникают два объекта: мера v и оператор Р. Если автоморфизм Т не обладает свойством перемешивания порядка 2, то для некоторых последовательностей т(г), п(г) —> оо получим: (i)A n Tm(i)+n(i)B пс)-+и(АхВхС)ф fi(A) fi(B) /л(С) для некоторых А, В, С. Следовательно, мера v и оператор Р нетривиальны. Это означает, что v ф /z (8) /2 ® [I, Im(P) ф {Const}. Если существует единственный (тривиальный) оператор Р, удовлетворяющий условиям (0.1),(0.2), будем говорить, что Т обладает свойством 5(2,3). Если перемешивающий автоморфизм Т удовлетворяет свойству 5(2,3), то Т будет обладать кратным перемешиванием порядка 2. Действительно, оператор, отвечающий мере /i Cg) {ji® //), удовлетворяет (0.1),(0.2). Из единственности такого оператора вытекает свойство кратного перемешивания: ^Т^АПТ^+^ВПС) -> (Р(ха®Хв) ,Хс) = /i(A)/i(5)/i(C). Тензорная простота динамической системы. По ана- логии со свойством 5(2,3) определим свойства S(n,n + 1): существует единственный оператор Q, удовлетворяющий условиям T(2)®...®T(n)), (n>2) Q(h ® • • • <8> /n-i) = Cons = //1 //2 • • • J fn-i если одна из функций /ь/г, • • •, /n-i является постоянной. Для групповых действий определения свойств S(n,n + 1) аналогичны. Если (п — 1)-кратно перемешивающий автоморфизм Т удовлетворяет свойству S(n,n + 1), то Т будет обладать кратным перемешиванием порядка п. Тензорно простым называется действие класса nn>2»S(n — показано, свойство 5(3,4) влечет за собой каждое из свойств S(n, п + 1) и, следовательно, свойство пе-ремешивания всех порядков для произвольного перемешивающего коммутативного действия. Поэтому в диссертации тензорно простым также называется действие класса 5(3,4). Отметим, что оно эквивалентно следующему свойству: множество самосопряженных бистохастических операторов J, коммутирующих с Т 0 T и удовлетворяющих условию J(I ® 0) = J(0 о /) = G ® 9, одноэлементно, т.е. является множеством {в О в}. В терминах джойнингов свойство тензорной простоты ввели в рассмотрение Д.Рудольф и А. дель Юнко [64]. Говорим, что мера и, заданная на X", принадлежит классу М(т,п), п > т > 1, если проекции v на m-мерные грани декартова n-куба совпадают с мерой \х®т. Если для действия {Тд} мера ц®п является единственной мерой класса М(т, п), инвариантной относительно Тд ... (g) Tg, говорим, что действие принадлежит классу ID(m,n). Авторы [64] ввели в рассмотрение класс PID = f]n>2lD(2,n) (их резуль-\Щ тат: класс PID замкнут относительно декартовых произ- ведений). В [68] доказано, что свойство ID(2,4) влечет ID(2, n) для всех п > 4. Этот результат стимулировал некоторые обобщения. Как будет видно, ID(2p- l,2p) = iX)(2,4) для всех р > 1, а класс тензорно простых действий совпадает с классом PID. Открыты вопросы о совпадении классов ID(2,3) и /D(3,4) и о существовании слабо перемешивающего Z-действия с нулевой энтропией, не принадлежащего классу Обозначение PID использовано Рудольфом и дель Юнко [64] как аббревиатура от pairwise independently determined action. В диссертации отдается предпочтение операторной терминологии, в которой словосочетание "тензорная простота" подчеркивает, что система и ее тензорная степень не имеют нетривиальных марковских сплетений. Придадим этому высказыванию формальный смысл. Внутренние операторы. Пусть марковский оператор Р (здесь его уместнее назвать бистохастическим) действует из пространства L®m в L®n, где L = L,2{X, //), т + п > 2. Пусть ImP С Н®п 0 {Const}, ImP* С Н®т 0 {Const}, где Н - пространство функций из I с нулевым средним. Такой бистохастический оператор назовем внутренним. Система (Т, X, ц) называется тензорно простой, если для всех m,n, m + n > 2, степени Т®т и Т®п имеют единственное (тривиальное) внутреннее сплетение: PL®m — {Const} (что равносильно РН®т = 0). Оказывается, чтобы установить свойство тензорной простоты, достаточно проверить случай т = п = 2 (т.е. свойство S(3,4)). Доказательство этого факта см. в главе 1.

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23560.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.