Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Глобальная разрешимость краевых задач для квазилинейный неравномерно параболический и эллиптических уравнений

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Глобальная разрешимость краевых задач для квазилинейный неравномерно параболический и эллиптических уравнений

Количество страниц	194

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23564.doc

Содержание	Содержание ВВЕДЕНИЕ...3 Г Л А В А I. Оценка решения и теорема единственности для задачи Дирихле...35 § 1 О превентивной роли градиентного члена...36 § 2 О стационарной задаче ...43 § 3 О превентивной роли диффузии...46 § 4 Стационарный случай...52 § 5 Примеры...54 § 6 Теорема единственности для параболических уравнений...58 § 7 Теорема единственности для эллиптических уравнений...63 Г Л А В А П. Квазилинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными ...65 § 1 Оценка градиента решения задачи Неймана и третьей краевой задачи ...66 § 2 Оценка градиента решения задачи Дирихле ...74 § 3 Теоремы существования ...80 § 4 Примеры...84 § 5 Примеры неравномерно параболических и вырождающихся уравнений ...88 § 6 Поведение решения при неограниченном возрастании времени ...90 ГЛАВА III. Радиально симметричный случай ...94 § 1 Сведение к одномерной задаче ...94 § 2 Оценка градиента...96 § 3 Теоремы существования ...105 § 4 Примеры...110 Г Л А В А IV. Многомерные квазилинейные параболические и эллиптические уравнения ...111 § 1 Гельдерова непрерывность решения по времени ...112 § 2 Граничная оценка градиента решения задачи Дирихле ...117 § 3 Глобальная оценка градиента ...122 § 4 Другие краевые задачи и задача Коши ...131 § 5 Оценка градиента в норме Са/2'а ...133 § 6 Примеры...136 § 7 О несуществовании нетривиальных решений для одной задачи Неймана ...139 § 8 Эллиптические уравнения, двумерный случай ...144 § 9 Об уравнениях Гамильтона - Якоби ...149 Г Л А В А V. Задача Дирихле для эллиптических и параболических уравнений в невыпуклых областях...152 § 1 Оценка градиента ...153 § 2 Теоремы существования и единственности ...166 § 3 Двумерный случай ...169 § 4 Некоторые замечания ...171 Г Л А В А VI. Начально краевые задачи для ультрапараболических уравнений...172 § 1 Параболическая регуляризация ...172 § 2 Априорные оценки и, их и иу...173 § 3 Априорные оценки щ и иуу...181 § 4 Теорема существования и единственности...183 § 5 Другие краевые задачи ...186 § 6 Краевая задача в неограниченной области ...188 ЛИТЕРАТУРА...194 ВВЕДЕНИЕ Уравнения в частных производных первого и второго порядков лежат в основе математических моделей самых разнообразных явлений в механике, физике, гидродинамике, биологии и других областях знаний. Например, квазилинейное параболическое уравнение описывает нестационарные процессы теплопроводности, движения жидкостей и газов, оно возникает при математическом моделировании процессов химической кинетики, пограничного слоя, процессов роста и сосуществования популяций и т. п. Такое широкое распространение этих уравнений объясняется тем, что выводятся они из фундаментальных законов сохранения (материи, импульса, энергии). В настоящей диссертации рассматриваются квазилинейные эллиптические, параболические и ультрапараболические уравнения второго порядка, а также уравнения Гамильтона-Якоби. Параболическим и эллиптическим уравнениям второго порядка посвящено огромное количество статей и книг. Упомянем лишь некоторые наиболее известные монографии. По параболическим уравнениям - это книги О.А.Ладыженской, В.А.Солонникова, Н.Н.Уральцевой [44], В.С.Белоносо-ва, Т.И.Зеленяка [7] и, сравнительно недавно вышедшая, книга Г.Либерма-на [54], по эллиптическим уравнениям книги О.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой [45] и Д.Гилбарга, Н.Трудингера [14]. Также отметим монографию Н.В.Крылова [40] по нелинейным параболическим и эллиптическим уравнениям. Уравнениям Гамильтона-Якоби также посвящено большое число публикаций, упомянем монографии А.И.Субботина [64], П.-Л.Лионса [55] и Г.Барлеса [8]. Ультрапараболические уравнения изучены значительно хуже, поэтому остановимся на них несколько подробнее. Такие уравнения описыва- ют нестационарные процессы переноса (тепла, массы, импульса), когда в одном направлении конвекция существенно превосходит диффузию и членом, отвечающим за диффузию в этом направлении, можно пренебречь. Впервые ультрапараболические уравнения были введены А.Н.Колмогоровым [43] для описания некоторых диффузионных процессов (см. также [44]). Ультрапараболические уравнения возникают также в теории теплопередачи в движущейся среде при большом числе Пекле. Рассмотрим течение в трубе радиуса R. Известно (см. [49, параграф 35]), что если число Пекле Ре = RePr (здесь Re - число Рейнольдса, а Рг - число Прандт-ля) велико по сравнению с 1, тогда конвективный перенос тепла в продольном направлении гс существенно превосходит молекулярный перенос (диффузию) и членом ихх можно пренебречь. Если трактовать и как концентрацию смеси, то член ихх (продольная диффузия) пренебрежимо мал при условии, что коэффициент диффузии мал по сравнению с dR, где а -средняя по у скорость в направлении х (см. [49, параграф 21]). Ультрапараболические уравнения возникают при изучении нестационарного пограничного слоя (см. [53], [80]), где вдоль обтекаемого тела диффузия пренебрежимо мала в сравнении с конвекцией. Такие уравнения описывают динамику развития популяции с учетом возраста как независимой переменной [38]. Также эти уравнения описывают процесс рассеивания электронов (см., например, [89]), где возникает уравнение Фоккера-Планка. Интересно отметить следующий факт. Асимптотическое поведение положительного решения задачи Коши для параболического уравнения щ + (uq)x = ихх + иуу, 1 < q < \| дается в терминах решения ультрапараболического уравнения щ + (ич)х¦= иуу (см. [26] - [28]). Таким образом, эффект диффузии в направлении х для больших значений времени "исчезает". Бблыдая часть диссертации (главы 1-5) посвящена вопросу глобаль- ной классической разрешимости краевых задач для квазилинейных неравномерно параболических и эллиптических уравнений. Ультрапараболическим уравнениям посвящена заключительная, шестая, глава. Хорошо известны классические результаты Шаудера-Каччиопполли о разрешимости краевых задач в пространствах Гельдера С2+а для линейных строго эллиптических уравнений с коэффициентами и правой частью из Са. Они гарантируют разрешимость краевых задач для уравнений, коэффициенты и правая часть которых - непрерывные по Гельдеру функции. Эти результаты неулучшаемы и все предположения в них вызваны существом дела. Аналогичная ситуация имеет место и для линейных параболических уравнений. Отметим здесь следующий результат М.Д.Ивановича: Как известно, просто непрерывности коэффициентов и правой части уравнения не достаточно для ограниченности вторых производных решения. В! [25], [26] было показано, что если в линейном параболическом (или эллиптическом) уравнении модуль непрерывности коэффициентов и правой части удовлетворяет условию Дини, то старшие производные также равномерно непрерывны, но с "худшим"(не удовлетворяющем условию Дини) модулем непрерывности. С.Н.Кружковым [36] было показано, что для любого заданного модуля непрерывности, не удовлетворяющего условию Дини, можно указать пример линейного уравнения, один из коэффициентов (или правая часть) которого имеет заданный модуль непрерывности (остальные коэффициенты можно полагать равными константе) и которое имеет решение с неограниченными старшими производными. В отличие от линейных задач существование глобального решения в квазилинейном случае не является простым следствием гладкости- данных задачи. Принципиальную роль здесь играет характер нелинейности. Остановимся на параболических уравнениях. В зависимости от характера нелинейности классическое решение может либо существовать для любых значении времени (глобальное решение), либо разрушаться за конечный промежуток времени (локальное решение). Под разрушением решения мы понимаем обращение в бесконечность максимума модуля решения или максимума модуля градиента решения. Причем при разрушении градиента решения само решение может оставаться ограниченным. Кроме того, вообще говоря, для доказательства глобальной разрешимости в квазилинейном случае приходится требовать непрерывной дифференцируемости коэффициентов и правой части уравнения. Отметим, что локальная разрешимость краевых задач и задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений имеет место без каких-либо существенных ограничений на характер нелинейности (см., например, [54], [ 63]). Аналогичная ситуация имеет место и для квазилинейных эллиптических уравнений. Здесь под глобальной разрешимостью подразумеваем разрешимость краевых задач без условий на малость области. Одной из основных задач диссертации является обобщение известных результатов, гарантирующих глобальную разрешимость краевых задач для квазилинейных уравнений. Как известно, различные теоремы функционального анализа о непо-движной точке сводят вопрос о разрешимости краевых задач к получению априорной оценки в подходящей норме. Т. е. необходимо переформулировать нашу задачу в терминах отображения Т подходящего банахова пространства В в себя так, чтобы неподвижная точка и отображения Т (т. е. и = Ти) была решением этой задачи. Мы будем пользоваться теоремой Лерэ - Шаудёра [51], а точнее, ее частным случаем (см. [14], теорема 11.3). Для удобства дадим формулировку этого частного случая. ТЕОРЕМА. Пусть Т. - компактное отображение банахова пространства В в себя. Предположим, что существует постоянная С такая, что для всех, и G В и A G [0,1], удовлетворяющих уравнению и = ХТи, справедливо неравенство (1) 1М1в:<С. Тогда отображение Т имеет неподвижную точку. В данной теореме неравенство (1) и есть требуемая априорная оценка. Априорная оценка - это оценка всех возможных решений задачи, в предположении их существования, через данные этой задачи. Под данными задачи понимаются коэффициенты уравнения, его правая часть, начальные и краевые условия, а также область, в которой ищется решение. В настоящее время не существует общего метода получения априорных оценок. Основными инструментами являются принцип максимума и метод домножения уравнения, которое мы решаем, на линейные комбинации неизвестных функций и последующего интегрирования по частям. Априорные оценки не только являются средством, при помощи которого доказывается разрешимость задачи, но и представляют самостоятельный интерес, поскольку возможность получить оценку какой-либо нормы решения, не находя решение в явном виде и даже не доказывая его существование, несомненно важна" для приложений, особенно если константа в оценке находится явно (как, например, в принципе максимума). Общая процедура получения требуемой в теореме Лерэ - Шаудера априорной оценки решения u(t, x) является четырехшаговым процессом, состоящим из последовательных оценок следующих величин: (I) sup\|u(?, х)\| во всей области, (II) sup \|Vu(t, x)\| на границе области ( в случае задачи Дирихле), (III) sup\|Vu(t,x)\| во всей области, (IV) оценка \|Vu(?,x)\| в норме пространства Са во всей области. Каждая из этих оценок использует предыдущую, а последняя оценка используется в доказательстве существования решения, основанном на теореме Лерэ-Шаудера, где в качестве пространства В берется пространство с1+а. Остановимся подробнее на этих шагах. Существует ряд достаточных условий, обеспечивающих ограниченность максимума модуля решения как для неравномерно, так и для равномерно параболических и эллиптических уравнений, (см., например, [14], [44], [45], [54], [71]). Сформулируем два наиболее часто встречающихся в литературе условия, каждое из которых обеспечивает глобальную ограниченность решения. Рассмотрим задачу Дирихле: (2) щ = аф, х, и, Vu)uXiXj + f(t, х, и, Vu) в QT = (О, Г) х U, П С Rn, (3) u(0,x) = ф(х) в ft, и =x(«). ST = (O,T)xd?l, ST где dij > 0. Если выполнено одно из следующих двух условий: (4) uf(t, х, и, 0) < aiu2 + а2 при (?, х, и) е Qt x R-, либо aii(tX^P)PiPi при (t,x,u,p)6QTxR»«, где ai, ot2 - положительные постоянные, то решение задачи (2),(3) ограничено в Qt при всех Т > 0. Отметим, что ни одно из этих условии не обеспечивает ограниченность решения задачи Дирихле, например, для уравнения (2) с f(t,x,u,p) = (6) щ + Ci(t, x)uXi = Ki(t, 3t)uXiXi + \um + fo(t, x), m ни при каких значениях acj>O,A>Ohcj. Хорошо известно (см., например, [61], [52]), что решение задачи Дирихле для уравнения щ = Аи + Хит, где постоянная Л > 0, а т > 1, вообще говоря, разрушается за конечный промежуток времени. Т. е. существует t* (0 < ?* < +оо) такое, что тах\|«(?,х)\| —» +оо при ? —> f по крайней мере для одной точки х. Задача (6), (3) изучалась в [2], [7], [53], где были рассмотрены различные случаи разрушения решения за конечный промежуток времени. М.Шипо и Ф.Вейсслер в [19] рассмотрели уравнение щ + /i\|Vu\r = Аи + Aum, ц = const > О с целью исследовать влияние члена \| Vzz\|r на поведение решения задачи Дирихле. Затем последовали публикации ряда авторов (М.Члебик, М.Фила, П.Куитнер, Б.Каволь, Л.Пелетье, Ф.Супле, Ф.Вейсслер [20], [29], [42], [68], [69], [75] - [77] и др.) посвященных этому уравнению, где основной целью было определить для каких гит решение может разрушиться за конечный промежуток времени, а для каких существует глобальная оценка решения. Главным результатом этих исследований стало установление следующего факта: если т < г, то положительное решение остаётся ограниченным для всех значений t > 0, разрушение решения может наступать лишь в случае т > г. Отметим, что в случае задачи Дирихле для эллиптического уравнения условия, аналогичные условиям (4) и (5), выглядят следующим образом: (4)* и/(х, и, 0) < 0 при (х, u) e Q х R, (5)* \|/(х>Ц,р)\| < uij{X^plf)PiPi(аг\р\ +а2) при (х,«>Р) G П х Второй шаг - получение граничной оценки градиента. Именно здесь проявляется принципиальное отличие неравномерно параболических и эллиптических уравнений от равномерно параболических и эллиптических. Напомним, что уравнение (2) называется равномерно параболическим, если отношение ограничено в Qt x Rn+1. Здесь О < A(*,x,u,p)\|?\|2 < аф,х,и,р)?& < A(i,x,u,p)\|?\|2,V? eRn\O. Для равномерно параболических и эллиптических уравнений граничная оценка получается для широкого класса областей с единственным ограничением на структуру оператора - выполнение условия Бернштейна. В случае неравномерно эллиптических уравнений такая оценка имеет место лишь при дополнительных ограничениях на геометрию границы, а именно для областей с неотрицательной средней кривизной границы (критерий Дженкинса - Серрина [39]). В двумерном случае это условие означает выпуклость области. Для областей с положительной средней кривизной границы (невыпуклых, в двумерном случае) можно подобрать краевое условие (причем сколь угодно гладкое) так, что решение существовать не будет. Фактически решение само определяет свое поведение на границе. Аналогичные результаты имеют место и для неравномерно параболических уравнений (см. [54]). В этом смысле неравномерно параболические и эллиптические уравнения сродни вырождающимся линейным уравнениям, где в определенных случаях часть границы освобождается от краевого условия, поскольку решение само вырабатывает краевое значение (см.,,например, монографию О.А.Олейник и Е.И.Радкевича [55] по линейным вырождающимся уравнениям). Обычно граничная оценка получается на основе теорем сравнения построением подходящих барьеров. Этот подход был заложен в пионерских работах российского математика С.Н.Бернштейна в начале прошлого века [10]-[12] (см. также [8]). Методы получения оценки в третьем шаге также восходят к С.Н.Берн-штейну. Уравнение дифференцируется по пространственным переменным Хк, к = 1,...,п, получающиеся уравнения умножаются на иХк и суммируются по &/Итоговое уравнение записывается для функции v = \|Vu\|2, либо для вспомогательной функции w = w{v). Затем оценка получается на основе принципа максимума с учетом полученной граничной оценки. Таким образом, приходится требовать дифференцируемость коэффициентов и правой части уравнения. В этом заключается еще одно отличие от линейных уравнений, где для получения классического решения требуется лишь гельдеровость коэффициентов и правой части. Кроме того, в силу нелинейности появляется ряд ограничении на производные коэффициентов и правой части. Этот подход был развит О.А.Ладыженской и Н.Н.Уральцевой [44] - [48]. По многомерным квазилинейным эллиптическим и параболическим уравнениям отметим результаты Д.Е.Апушинской и А.И.Назарова [2], А.А.Архи-повой [3], И.Я.Бакельмана [4], М.П.Вишневского, Т.И.Зеленякаи М.М.Лаврентьева [10], А.В.Иванова [23], [24], Н.М.Ивочкиной и А.П.Осколкова [28], Л.И.Камынина и Б.Н.Химченко [33], О.А.Олейник и С.Н.Кружкова [54], Н.В.Крылова [38], Д.Серрина [72], Г.Либермана [54], а также Н.Трудингера [88]. Глобальная оценка модуля градиента решения является основной в том смысле, что после ее получения существование решения краевых задач доказывается без дополнительных предположений о структуре уравнения. Как при оценке градиента на границе, так и при получении глобальной оценки необходимо требовать выполнения условия Бернштейна. Напомним, что условием Берншнейна или Бернштейна - Нагумо называется условие на структуру нелинейного оператора, ограничивающее рост по градиенту. Оно заключается в том, что скорость роста функции /(?, х,«, р) по р при \|р\| —> +оо не должна превышать скорость роста главной части уравнения по р более чем на \|р\|2. Исторически условие Бернштейна возникло при изучении краевых задач для уравнения У"{х) = f(x,y(x),y'(x)) при \х\<1. С.Н.Бернштейн [10] сформулировал условия, обеспечивающие априорную оценку max\|j/'(a;)\| : \/(х,У,р)\<А где А(х, у) и В(х, у) - ограниченные на множестве [—/, /] х [—М, М] функции. Спустя четверть века М.Нагумо [61] предложил более слабое ограничение Шу,р)\<Ф(\р\), ^+0°!^ = +оо. А.Гранас, Р.Гюнтер и Д.Ли [37] обобщили результат М.Нагумо, ослабив условие на ф : pdp (7) Г Jo >2М. ф(р) По поводу разрешимости краевых задач для обыкновенных уравнений см. также [22], [32]. В.Л.Камынин в [31], [32], изучая квазилинейные параболические, уравнения с двумя независимыми переменными a{t,x,u,ux)uxx-ut = f(t,x,u,ux), где \f(t,x,u,p)\ < а(г,х,и,р)ф(р), показал, что для разрешимости краевых задач условие Бернштейна может быть заменено следующим: Jk где \и\ < М, \|иох\| < К. Отметим, что аналогичный результат имеет место и для нелинейных параболических уравнений с двумя независимыми переменными [5]. Фактически условие (8) является аналогом условия (7) для параболических уравнений. В книге В.С.Белоносова и Т.И.Зеленяка [7] оценка максимума модуля градиента решения краевых задач для автономного уравнения (9) а(х, и, их)ихх — щ — f(x, и, их) доказывается посредством построения функционала Ляпунова. Условия на f(x,u,ux) формулируются в терминах продолжимости решений задачи Коши (10) а{х, у, у')у" = /(х, у, у'), у{х0) = у0, у'{х0) = ух на весь промежуток изменения х при любых хо, уо, yi. М.М.Лаврентьев [42], изучая задачу Дирихле для уравнения (9), выделил множество начальных данных, при которых задача Дирихле разрешима для всех t > 0 без предположения о возможности продолжения решений задачи Коши (10) на весь отрезок изменения переменной х или, другими словами, без предположения о скорости роста отношения f(x,y,p)/a(x,y,p) по р. Отметим следующий факт. Известно (см., например, [3]), что для уравнения Аи = /(х, и, Vu) в случае непрерывной функции /(х, и, р) выполнения условия Бернштейна достаточно для того, чтобы из оценки max\|u\| вытекала оценка max\|Vu\|. С.И.Похожаев [58] показал, что если вместо непрерывности функции / потребовать выполнение более слабого условия: / е L9(Q), q > п при и G Wq(u),?l С Rn, то условие Бернштейна уже не будет достаточным для получения оценки max\|Vtt\| из оценки max\|it\|. В [58] сформулировано условие на рост функции /(х, и, р) по р, при котором оценка тах\|гх\| влечет оценку max\|Vu\|. Это условие зависит от q и переходит в условие Бернштейна при q = +оо. Последний шаг - получение оценки градиента решения в норме пространства Са - также требует дифференцируемость коэффициентов уравнения, но не требует дифференцируемости правой части. Здесь основные результаты были получены О.А.Ладыженской и Н.Н.Уральцевой [45] - [47] и Н.В.Крыловым [39], [40]. Особое положение занимают уравнения с двумя независимыми переменными. В случае эллиптических уравнений это обусловлено существованием методов, работающих исключительно в двумерном случае, результаты получаемые этими методами присущи только уравнениям с двумя независимыми переменными и не имеют аналогов для уравнений с числом переменных большим двух. В первую очередь следует упомянуть метод квазиконформных отображений, который сравнительно легко дает априорную оценку в норме С1+а для (квазилинейных) равномерно эллиптических уравнений [31], [65]. Отметим здесь, что априорная оценка в С1+а решения квазилинейных равномерно эллиптических уравнений с двумя независимыми переменными зависит лишь от постоянной эллиптичности и верхних граней модулей коэффициентов, и получается эта оценка без каких-либо предположений о гладкости коэффициентов и правой части уравнения. Упомянем также геометрический метод, основанный на свойствах касательных плоскостей для седловых поверхностей. Из этих свойств следует существование априорной оценки в С1 для решений как равномерно, так и неравномерно эллиптических уравнений вида а(х, у, и,их, иу)ихх + 2Ь(х, у, и, иХ1 иу)иху + с(х, у, и, их, иу)иуу = О в предположении выпуклости области [64]. По многомерным уравнениям следует также отметить результат, принадлежащий О.Кордесу [23]. Для квазилинейных равномерно эллиптических уравнений имеет место априорная оценка решения в норме С1+а, не зависящая от гладкости коэффициентов и правой части уравнения, если выполнено условие Кордеса, которое заключается в том, что предполагается малый разброс собственных чисел матрицы старших коэффициентов. В 60-х годах С.Н.Кружков [34] предложил метод введения дополнительной пространственной переменной для исследования квазилинейных параболических уравнений с одной пространственной переменной (см., также, [35]). При помощи этого метода им была получена априорная оценка решения в С1+а без предположения о гладкости коэффициентов и правой части уравнения. Единственным структурным ограничением было условие Берн-штейна. На основе этой оценки Кружковым была доказана разрешимость краевых задач при минимальных, соответствующих линейному случаю, предположениях о гладкости коэффициентов. Вопрос о возможности построения классического решения без предположения дифференцируемости коэффициентов в многомерном случае остался открытым. Значительная часть настоящей диссертации (главы 2 - 5) посвящена модификации метода Кружкова с целью ослабления структурных ограничений, гарантирующих классическую разрешимость краевых задач, и распространения этого метода на многомерные уравнения. В последнее время появилось значительное число работ, посвященных ультрапараболическим уравнениям, где изучаются различные свойства решений таких уравнений. Среди них статьи В.С.Владимирова и Ю.Н.Дрож-жинова [12], С.Д.Ивасишена, Л.М.Тычинской и С.Д.Эйдельмана [27], A.M. Ильина [29],.С.Г.Пяткова [60], С.А.Терсенова [71] - [73], Д.Р.Ахметова, М.М.Лаврентьева и Р.Шпиглера [1], М.Эскобедо, Х.Васкеса и Е.Зуазуа [27], Н.Гарофало и Е.Ланконелли [34], Ф.Ласчиалфари, Д.Морбиделли [49], М.Манфредини [57], С.Полидоро и М.Рагуса [67] (см. также [13], [16], [18], [19], [43], [51], [56], [62], [76], [79], [14], [48], [58], [60], [66], [78]). В то же время вопросу разрешимости краевых задач посвящено сравнительно немного статей. Для коэффициента с\, зависящего лишь от t и х и / = f(t,x,y), разрешимость краевых задач следует из [73], в случае, когда с\ = Ь\х-\-Ь2У, где 61,62 - постоянные, разрешимость задачи Дирихле доказана в [49], [57]. Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Первая глава посвящена оценке максимума модуля классического решения задачи Дирихле для квазилинейных параболических и эллиптических уравнений. В первом параграфе исследуется влияние градиентного члена на поведение решения. Рассмотрены уравнения (11) щ + ф,х)игх\ =eAu + Xum + f(t,x), в QT = Qx(0,T), (12) ut + c{t,x)\Vu\r = eAu + \um + f(t,x), в QT = ux(0,T), с условиями (13) и(0,х) = щ(х), и = 0, ST = д?1 х (0,Г). Отметим, что проблема глобальной разрешимости задач (11), (13) и (12), (13) при гладких q,c, / и Г{ < 2, г < 2 эквивалентна установлению глобальной ограниченности решения. Полагаем, не ограничивая общности, что область Q лежит в полосе —1\ < х\ < 1\, кроме того предполагаем, что l^ox^x)! < K\. Для простоты изложения сформулируем здесь результат в случае /(t,x) = 0. Остановимся сначала на задаче (11), (13). Если ri либо ci(i,x)<-A(2/i)mX1m-ri, то VT > 0 имеет место оценка Если, дополнительно, г\ > т, то эта оценка имеет место при с\ (t, x) > 0 либо ci(t,x) < 0. Сформулируем теперь результат для задачи (12), (13). Если и т - четное,то VT > 0 в Qt имеет место оценка

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23564.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.