У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ
Заказать диплом, курсовую, диссертацию


Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Понравилось
Не понравилось





Книга жалоб
и предложений

 





Название Метод редукции инвариантные поляризации и би-пуассоновы структуры на пространствах инвариантных функций
Количество страниц 256
ВУЗ МГИУ
Год сдачи 2010
Бесплатно Скачать 23567.doc 
Содержание Содержание
Оглавление

Введение 5

1 Кэлеровы структуры на кокасательных расслоениях симметрических пространств 34

1 G -инвариантные кэлеровы структуры на T{G/K) ... 34

1.1 Поляризации... 34

1.2 G -инвариантные комплексные структуры... 35

2 G -инвариантные кэлеровы структуры на касательных расслоениях римановых симметрических пространств...40

2.1 G -инвариантные комплексные структуры на касательных расслоениях симметрических пространств 40

2.2 Потенциальные функции... 44

3 Кэлеровы структуры на областях касательных расслоений симметрических пространств, инвариантные относительно

нормализованного геодезического потока... 47

3.1 Алгебраическое уравнение... 47

4 G -инвариантные метрически согласованные комплексные структуры на T{G/K) ... 56

4.1 Основная лемма... 56

4.2 Адаптированные комплексные структуры HaT(G/К). 59

5 Инвариантные кэлеровы структуры и тензор кривизны симметрического пространства... 63

5.1 Кэлеровы структуры и локальные диффеоморфизмы 63

5.2 Каноническая кэлерова структура и локальные диффеоморфизмы... 65

5.3 Тензор кривизны проективной плоскости Кэли ... 67

6 Инвариантные кэлеровы структуры на инвариантных областях касательных расслоений симметрических пространств

ранга один... 75

6.1 Инвариантные кэлеровы структуры на инвариантных областях D в касательных расслоениях пространств

SO{n + l)/SO{n) и SO0(l,n)/SO(n) (n > 2) . . . 77
6.2 К -эквивариантные отображения... 80

6.3 Нормирование... 84

6.4 Основная лемма... 87

6.5 Инвариантные кэлеровы структуры на инвариантных областях D ... 88

7 Редукция... 91

7.1 Редукция и поляризации... 91

7.2 Редуцированные кэлеровы структуры на ТСРП и ТШРП... 93

7.3 Редукция и адаптированные структуры... 98

2 Инвариантные гиперкэлеровы структуры на кокасатель-

ных расслоениях эрмитовых симметрических пространств 99

1 Антикоммутирующие комплексные структуры... 99

2 Инвариантные кэлеровы структуры на эрмитовых симметрических пространствах ... 102

2.1 G-инвариантные кэлеровы структуры (J(P), О,) . . 102

2.2 Гиперкомплексные структуры на касательных расслоениях эрмитовых симметрических пространств . 104

2.3 Гиперкэлеровы структуры на касательных расслоениях эрмитовых симметрических пространств ... 106

3 Гиперкэлеровы структуры на неприводимых эрмитовых симметрических пространствах...110

3.1 Системы корней эрмитовых симметрических пространств ...111

3.2 Инвариантные отображения и корневые системы эрмитовых симметрических пространств...113

3.3 Основная теорема...122

3 Инвариантные поляризации и частичные плоские связности 136

1 Продолжение частичных плоских связностей...136

1.1 Предварительные сведения...136

1.2 Дифференцирования...137

1.3 Плоские частичные связности и их продолжения. . 141

2 Структура гильбертова пространства на пространстве обобщенных сечений ...149

2.1 Строго допустимые поляризации...149

2.2 Структура гильбертова пространства...153

2.3 Гильбертово пространство...161
3 Гамильтоновы системы осцилляторного типа: инвариантные поляризации и их применение в геометрическом квантовании...163

3.1 Обобщенный п-мерный осциллятор: инвариантные поляризации и структуры Коши-Римана...163

3.2 Многомерная система Кеплера: инвариантная поляризация и ее применение в геометрическом квантовании ...175

3.3 Система MIC-Кеплера: инвариантная поляризация

и ее применение в геометрическом квантовании . . 187

4 Пуассоновы алгебры G-инвариантных функций

на T*(G/K) 200

1 Каноническая структура Пуассона на T*(G/K): структура алгебры G -инвариантных функций и действие подгрупп Бореля на однородном пространстве Gc/Kc... . 200

1.1 Отображение момента и гамильтоново действие . . 200

1.2 Пары редуктивных алгебр Ли...204

1.3 Пары редуктивных алгебраических алгебр Ли . . . 215

1.4 Каноническая пуассонова структура и почти-сферические однородные пространства...217

1.5 Действия подгрупп Бореля на однородных пространствах редуктивных алгебраических групп Ли . . . . 219

1.6 Почти сферические подалгебры простых алгебр Ли 225

2 Инвариантные би-пуассоновы структуры на Т* (G/K), пространство G -инвариантных функций и редукция ...231

2.1 Основные обозначение и определения...232

2.2 Би-пуассоновы структуры {г)*(а)} на Т*М...234

3 Редукция...240

3.1 Би-пуассонова структура {г)ь(шо)} в явных формулах240

3.2 Би-пуассоновы структуры {rffao)} '¦ максимальные инволютивные семейства функций...246

3.3 Би-пуассонова структура {rf{uiо)}: редукция. . . . 252 ЗА Интегрируемые геодезические потоки...253

Литература 256



Введение

Основным объектом исследования в работе являются комплексные G-инвариантные поляризации F на кокасательных расслоениях T*(G/K) редуктивных однородных пространств G/K редуктивных групп Ли G и пуассоновы алгебры G -инвариантных функций на T*(G/K). Среди поляризаций мы особо выделяем два типа:

(1) положительно определенные поляризации, т.е. кэлеровы структуры;

(2) поляризации, содержащие некоторую структуру Коши-Римана коразмерности два.

Основные применения в данной работе эти структуры имеют в теории геометрического квантования Костанта-Сурио. Основным методом, который используется в работе, есть метод редукции. С его помощью и ввиду инвариантности решение уравнений в частных производных, описывающих эти поляризации, сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений и к решению задач теории полупростых групп и алгебр Ли. Развитые в работе методы применены также к описанию инвариантных гиперкэлеровых структур на областях касательных расслоений эрмитовых симметрических пространств.

Группы симметрии и их свойства лежат в основе и квантовой и классической механики. Метод редукции первоначально возник как метод классической механики, позволяющий свести исходную (гамильтонову) динамическую систему на фазовом пространстве (X, О,), при наличии у нее коммутирующего семейства интегралов, к системе с меньшим числом степеней свободы. Позже этот метод (гамильтоновой редукции) был обобщен В.И. Арнольдом, Дж. Марсденом и А. Вейнстейном (см. [Арн79] и [MW74] ) на случай, когда динамическая система допускает и неком-
мутативную группу симметрии S (метод симплектической редукции). Было введено понятие отображения момента J : X —»• в* со значениями в дуальном пространстве алгебры Ли группы Ли S. Основное свойство этого отображения, используемое нами, - это эквивариантность относительно действия группы Ли S, приводящая к каноничности отображения момента J как отображения пуассоновых многообразий. В данной работе мы остановимся на обобщениях метода симплектической редукции, связанных со структурами геометрического квантования (поляризациями и кэлеровыми структурами, линейными расслоениями со связностями и частичными плоскими связностями) и с би-пуассоновыми структурами. Метод редукции был применен к кэлеровым структурам на кокасательных расслоениях В. Гийемином и С. Стернбергом [GS82] в связи с задачами геометрического квантования, потом обобщен на более широкие классы кэлеровых (комплексных) многообразий (см., например, П. Хайнцнер, А. Хаклберри и Ф. Лоос [HHL94]). Метод редукции был применен в теории геометрического квантования и к вещественным поляризациям, к металинейным и к метаплектическим структурам, связанных с соответствующими расслоениями реперов М. Готе [Got86], А. Снятицким [Sni80, Sni83], M. Путой [Put84, Put93], Дж. Раунсли и П. Робинсоном [RR89]. Н. Хитчин и др. применили метод редукции к ги-перкэлеровым структурам [Hit87] (см. также Н. Хитчин [Hit91], P. Беляв-ски [Bie97, Bie99], С. Дональдсон [Don88], О. Бикар [Biq96]) как в конечномерном так и в бесконечномерном случае. Эффективное применение отображения момента к действиям алгебраических групп на неприводимых алгебраических многообразиях было найдено Ф. Кирван [Kir84], a потом использовано и другими в этой же области: М. Брионом [Bri87b] для задач сферических (торических) вложений алгебраических многообразий, Ф. Кноппом [Кпо90] для введения понятия группы Вейля действия алгебраической группы на неприводимом алгебраическом многообразии X и эквивариантной теории компактификации X. Идеи этих алгебраических применений мы используем эффективно в четвертой главе диссертации.

Таким образом мы можем с уверенностью сказать, что метод редукции является одним из наиболее широко используемых методов построения геометрических и алгебраических структур, исходя из таких же структур на более простых многообразиях X. Факт усложнения описания этих структур на редуцированном многообразии J~1(^)/5P, ц G s*, S^ С S неоспорим. Поэтому естественно описывать такие структуры не на редуцированном многообразии, а на многообразии J~1(/^) с X, где их описание намного проще как из-за простоты геометрии пространства J~1(/z) так и из-за простоты описания структуры на J~x()u). Таким образом получается метод исследования, обратный методу редукции:

исходя из изучаемых структур на многообразии J~/ как исходном многообразии, найти соответствующую группу симметрии 5 и многообразие X и изучать соответствующие Sfj,-инвариантные структуры на многообразии J~1(/i).

Полезность метода (*) состоит еще и в том, что на многообразии J~l(fj) зачастую существуют глобальные структуры, которые не проектируются на J~l(fj,)/Sfl так как не являются 5М-инвариантными, но могут быть использованы для исследования других, проектируемых структур. Этот метод мы повсюдно применяем в диссертационной работе. Он был хорошо известен и ранее. М.А. Ольшанецкий и A.M. Переломов [ОП76] с помощью этого метода в гамильтоновой механике исследовали динамику движения гамильтоновых систем, Д. Каждан, Б. Костант, С. Стернберг [KKS78] исследовали динамику движения частиц: на прямой - под действием обратного квадратного потенциала, на окружности - под действием потенциала sin""2.

В работе исследуются геометрические структуры, возникающие в теории геометрического квантования Костанта-Сурио. Наибольшее внимание уделяется исследованию и построению комплексных поляризаций, инвариантных относительно потока гамильтоновой динамической системы на фазовом пространстве (X, О,). С вычислительной точки зрения (для геометрического квантования) наиболее предпочтительным является случай, когда такая комплексная поляризация F оказывается поло-
жительно-определенной, т.е. определяет кэлерову структуру на (Х,п) с кэлеровой формой п. Тогда, в частности, F П F = 0, т.е. F - комплексная структура на X. Очевидно, что если динамическая система допускает группу симметрии G, то естественно требовать такого же свойства инвариантности и от поляризации F. Существование таких кэлеро-вых поляризаций накладывает различные геометрические ограничения на характер движений динамической системы, так как соответствующий поток порождает однопараметрическую группу би-голоморфных преобразований, коммутирующую с G. Таковым является, например, нормализованный геодезический поток стандартной би-инвариантной метрики на компактных симметрических пространствах ранга один; все траектории этой динамической системы замкнуты и имеют постоянный период. Доказательство этих фактов имеет длинную историю, начавшуюся в 70-х годах. Остановимся на них более подробно.

Пусть М = G/K - симметрическое пространство с полупростой группой Ли G и компактной подгруппой К. Стандартная G -инвариантная риманова метрика gM на G/K определяет геодезический поток с гамильтонианом Н на касательном расслоении X = T(G/K), рассматриваемом как симплектическое многообразие с симплектической 2-формой п (индуцированной канонической симплектической структурой на ко-касательном расслоении после отождествления этих двух расслоений с помощью метрики).

Комплексные структуры, определенные на выколотом касательном расслоении T°(G/K) = T{G/K) — {нулевое сечение}, естественно возникают как результат геометрических конструкций метода геометрического квантования. Такую структуру Js для сферы Sn = SO{n-\-l)/SO{n) обнаружил Дж. Сурио в работе [Sou74]. Позже Дж. Раунсли [Raw77a] заметил, что функция длины \[Н является строго плюрисубгармонич-ной относительно упомянутой выше комплексной структуры Js и, таким образом, определяет кэлерову метрику на T°Sn с Q, как кэлеровой формой. Он также заметил, что Js инвариантна относительно гамильтоно-ва потока Х^щ функции длины \[Н (нормализованного геодезического потока) и использовал кэлерову структуру (Js, Q) для геометрического

9 квантования нормализованного геодезического потока [Raw77a, Raw79b].

Впоследствии К. Фурутани и Р. Танака [FT94] определили кэлеро-ву структуру (Js,ty с аналогичными свойствами на выколотых касательных расслоениях комплексного и кватернионного проективных пространств ?Рп, ШРп, а позже К. Фурутани и С. Йошизава [FY95] использовали ее для геометрического квантования на Т°(СРп). Только недавно в работе [FurO2] К. Фурутани применил метод геометрического квантования к этой положительно-определенной поляризации на выколотом касательном расслоении к проективному кватернионному пространству Т°(ШРп). В работе [IM99] К. Ии и Т. Морикава описали эту структуру на выколотых касательных расслоениях классических компактных симметрических пространств ранга один в терминах геометрических структур, ассоциированных с метрикой gM на М = G/K (связности Леви-Чевита, ассоциированной с метрикой). В работе [Szo99] P. Шоке исследовал связь между Js и так называемой адаптированной комплексной структурой За на соответствующем касательном расслоении T(G/K). Он показал, что для всех компактных симметрических пространств ранга один семейство комплексных структур, являющихся образами адаптированной комплексной структуры относительно подходящего семейства диффеоморфизмов, имеет границу и эта граничная комплексная структура совпадает с Js. В работе [Szo99], кроме всего прочего, Р. Шоке построил структуру (Js, О) на выколотом касательном расслоении проективной плоскости Кэли СаР2 = F^/Spin{^). Эту же структуру в других терминах описал К. Фурутани в работе [FurO4], которая вскоре должна выйти из печати; его подход основан на описании Фрейденталя проективной плоскости Кэли.

В диссертационной работе (глава 1) мы, используя методы теории алгебр Ли, описываем все G -инвариантные кэлеровы структуры (F, п) (с Q как кэлеровой формой) на выколотых касательных расслоениях T°(G/K) римановых симметрических пространств G/K, которые инвариантны относительно нормализованного геодезического потока Х^. Мы показываем, что такие кэлеровы структуры (F, ?1) существуют только на выколотых касательных расслоениях компактных симметрических
пространств ранга один. Они параметризуются одним функциональным параметром - комплекснозначной функцией Л : Ш+ —» С с положительной вещественной частью, причем найденная ранее структура Js соответствует параметру (функции) А(?) = t.

Но, как хорошо известно, T(G/K) = З^^/К, где J : TG -»¦ Г -отображение момента, ассоциированное с правым действием группы К на симплектическом многообразии T*G ~ TG = G х $. Тут g и I -алгебры Ли групп Ли G и К соответственно, д = тф!. Примененный нами метод (*) к многообразию уровня J~1(0) = G х m позволяет нам в главе 1 сделать большее:

(2) описать все G -инвариантные кэлеровы структуры (F, Q) на областях симплектических многообразий T{G/K), где G/K - риманово симметрическое пространство ранга один размерности > 3 с полупростой группой Ли G (не обязательно компактной);

(3) показать, что этот класс {(F, п)} кэлеровых структур инвариантен относительно процедуры кэлеровой редукции Гийемина-Стерн-6epra[GS82];

(4) найти Ли-алгебраический метод описания G -инвариантных кэлеровых структур (F, п) на касательных расслоениях симметрических пространств G/K - в терминах гомоморфизмов из алгебры Ли группы Ли G в конечномерную алгебру Ли комплексных векторных полей на J-1(0) =Gxm.

Этот Ли-алгебраический метод оказался эффективным и применительно к другой задаче: описания гиперкэлеровых структур специального вида на T*(G/K), где G/K - эрмитово симметрическое пространство компактного типа полупростой группы Ли G, которое, в частности, является орбитой присоединенного представления G в алгебре Ли g. Касательное пространство T{G/K) ~ T*(G/K) G-эквивариантно диффео-морфно комплексному фактор-многообразию Gc/Kc, благодаря диффеоморфизму Мостова [Mos55b, Mos55a], причем это верно для произвольной компактной подгруппы Ли К С G. Поэтому решенная нами задача является частью более общей задачи - описания гиперкэлеро-
вых структур на орбитах присоединенного представления комплексной полупростой группы Ли Gc, инвариантных относительно компактной формы G С Gc.

Напомним, что гиперкэлеровость многообразия X означает наличие на X трех попарно антикоммутирующих комплексных структур Ji, J2, J3 = J1J2 и римановой метрики g, которая является кэлеровой относительно этих трех комплексных структур одновременно. П. Кронхеймер в работе [КгоЭОа] доказал, что регулярные орбиты Ос = Gc/Kc присоединенного представления полупростой комплексной группы Ли Gc являются гиперкэлеровыми многообразиями, причем

1) эти структуры параметризуются "регулярной" тройкой элементов (7ьг2>7"з) подалгебры Картана \] компактной алгебры Ли q в том смысле, что этой тройке векторов соответствуют три класса кого-мологий трех фундаментальных (кэлеровых) форм;

2) если комплексный вектор Т2+гтз регулярен в f)c, то орбита Ос (как вещественное многообразие), снабженная комплексной структурой Ji, изоморфна комплексной орбите Ос со стандартной комплексной структурой.

Основная идея доказательства П. Кронхеймера состоит в отождествлении точек орбит присоединенного представления с некоторыми ограниченными решениями уравнений Нама (Nahm's equations). А.Г. Ковалев [Kov96] обобщил этот результат П. Кронхеймера на все полупростые орбиты полупростых комплексных групп Ли. П. Кронхеймер в следующей своей работе [Кго90Ь] доказал гиперкэлеровость нильпотентных орбит присоединенного представления полупростых комплексных групп Ли. О. Бигар [Biq96] и А.Г. Ковалев в работе [Kov96], упомянутой нами выше, одновременно доказали существование гиперкэлеровых структур на всех орбитах, используя для доказательства подход, связанный с уравнениями Нама. Но как мы уже отмечали выше, полупростые орбиты Gc/Kc диффеоморфны касательному расслоению T(G/K), причем однородное компактное пространство G/K является эрмитовым однородным пространством, т.е. его касательное расслоение наследует
некоторую комплексную структуру из G/K, а, значит, на комплексной орбите Ос уже существуют две существенно различные комплексные структуры: относительно первой, естественной, нулевое сечение G/K С T(G/K) является тотально вещественным подмногообразием в Ос ~ T(G/K), относительно второй многообразие G/K комплексно. Причем кокасательное (касательное) расслоение T*(G/K) является относительно второй структуры голоморфным симплектическим многообразием.

Ситуация, описанная выше, не оставалась незамеченной и рассматривалась разными математиками в более общем случае. Так Ф. Фейх [FeiOl] доказано, что в некоторой окрестности нулевого сечения М кокасатель-ного расслоения Т*М вещественно-аналитического кэлерова многообразия М существует гиперкэлерова структура, согласованная с каноничной голоморфно-симплектической структурой на Т*М. Этот же результат содержит и более ранняя работа (препринт) Д. Каледина [Ка197].

Но из этих работ нельзя получить явного описания ни тройки комплексных структур Ji, J2, J3, ни гиперкэлеровой метрики g. Такое описание для отдельных структур из найденных П. Кронхеймером, А. Ковалевым и О. Бигаром пока что известно только для тех полупростых орбит, которые являются (комплексными) симметрическими пространствами или же для орбит, которые можно приблизить такими "симметрическими" орбитами [BG98]. Нужно отметить, что все эти структуры глобальны, т.е. определены на всем (ко)касательном расслоении. Мы в главе 2 обобщаем эти результаты, рассматривая не только глобальные G-инвариантные гиперкэлеровы структуры. Чтобы перейти к описанию этих структур, конкретизируем задачу.

Пусть G/K - неприводимое эрмитово симметрическое пространство компактного типа с однородной метрикой gM • Так как G/K - однородное комплексное многообразие, то его кокасательное расслоение T*(G/K) имеет естественную комплексную структуру. Используя метрику gM мы можем отождествить кокасательное и касательное расслоения и таким образом получим комплексную структуру на T(G/K), относительно которой нулевое сечение G/K С T(G/K) комплексно. Эта комплексная
структура J~, как нетрудно проверить, отлична от стандартной комплексной структуры J+ на T(G/K), индуцированной исходной комплексной структурой на G/K. С другой стороны, кокасательное расслоение T*{G/K) ~ T(G/K) является симплектическим многообразием с канонической симплектической формой Q. В главе 2 явно описаны все G -инвариантные кэлеровы структуры (J, Q) (с кэлеровой формой Q) на (?-инвариантных областях D С T(G/K) антикоммутирующие с комплексной структурой J" . Фактически каждая полученная гиперкомплексная структура вместе с соответствующей метрикой g определяет гиперкэлерову структуру на D.

Если область D содержит нулевое сечение М = G/K, то ограничение гиперкэлеровой метрики g на М есть данная однородная метрика gM с точностью до постоянного множителя (можно сделать этот множитель равным 1, используя для отождествления T*(G/K) и T{GfK) однородную метрику на G/K пропорциональную к gM). Такие глобальные гиперкэлеровы структуры были построены: в работе [Bur86], используя твистор-метод и шаг за шагом классификацию симметрических пространств; в работе [Biq96], используя уравнения Нама, и в [DS97] (для пространств классических групп), используя деформацию так называемой адаптированной комплексной структуры на T(G/K). В работе [BG96] О. Бигар и П. Гадюшон нашли явную формулу для этих гиперкэлеровых метрик в терминах некоторых оператор-функций Р : m —> End(m) на пространстве m c± T0{G/K), о = {К}. Там же они доказали, что для метрики Киллинга gM на G/К существует единственная гиперкэлерова метрика g на всем T(G/K), совпадающая с gM на G/K с T{G/K) и такая, что J\ = J~, а фундаментальная (кэлерова) форма кэлеровой структуры (J2,g) совпадает с канонической 2-формой О,. Эти гиперкэлеровы структуры являются глобальными. Наши дополнительные гиперкэлеровы структуры не определены на нулевом сечении М = G/K. Так что мы не можем говорить об ограничении соответствующих гиперкэлеровых метрик на нулевое сечение G/K как в работе [BG96]. Тем не менее, полученные нами в главе 2 выражения для Р и потенциальных функций, обобщают соответствующие формулы ра-

14 бот [BG96, BG98].

Отметим также, что все цитированные выше авторы [DS97, BG96, BG98] для доказательств используют один и тот же стандартный геометрический прием: работают на многообразии T(G/K) с разложением векторного расслоения T(T(G/K)) в суму горизонтальной и вертикальной составляющих, индуцированным связностью Леви-Чивита на G/K. Мы же существенно упрощаем все вычисления, решая уравнения в частных производных, работая на тривиальном векторном расслоении G х т, которое является поверхностью уровня J-1(0) отображения момента J, и используя естественное однородное разложение векторного расслоения T(Gxm) ~Gxgxmxra, обычное для теории алгебр Ли. Как приложение, в главе 2 получено новое простое доказательство хорошо известной теоремы Хариш-Чандры-Мура об ограниченных системах корней эрмитовых симметрических пространств, а также описание этих корневых систем в терминах, адекватных поставленной задаче о ги-перкэлеровых структурах. Отметим, что теорема Хариш-Чандры-Мура достаточно груба, чтобы быть использованной для решения этой задачи в случае локальных гиперкэлеровых структур, в то время как для описания глобальных структур она являлась основным инструментом в доказательстве О. Бигара и П. Гадюшона [BG96].

В последние три десятилетия использование дифференциально-геометрических методов в математической физике постоянно возрастало. Возможно наиболее интенсивно развивались геометрические теории связанные с симплектической (или пуассоновой) формулировкой классической механики и с проблемами квантования. Так как основатели квантовой теории, к сожалению, не дали формального определения квантования, то параллельно возникло много геометрических, функционально-геометричеких и алгебраических теорий квантования. Среди них следует упомянуть геометрическое квантование (Дж. Сурио [Sou70], Б. Ко-стант [Kos70]), деформационное квантование (см. [Bat89, B-S78, Fed96]), асимптотическое квантование (М. Карасев, В. Маслов [КМ84]). Теория геометрического квантования стремительно развивалась до конца девяностых годов и наиболее значительные приложения она нашла в постро-
ении геометрических реализаций неприводимых унитарных представлений групп, встречающихся в физике. Нужно отметить, что эта сторона теории тесно примыкает к методу орбит Кириллова [Кир74]. В главе 3 работы рассмотрен метод геометрического квантования Костанта-Сурио применительно к динамическим системам классической механики. Предгильбертово пространство "Н!, конструируемое с помощью этого метода, состоит из F -горизонтальных сечений некоторого линейного расслоения; т.е. сечений, которые ковариантно постоянны вдоль векторных полей комплексной поляризации F. Причем, чтобы проквантовать заданную гамильтонову систему, необходимо, чтобы ее гамильтоново векторное поле сохраняло эту поляризацию. В противном случае квантовый оператор, действующий в пространстве всех сечений, не сохраняет подпространство И'. Чтобы обойти это препятствие, было построено множество модификаций теории геометрического квантования. Среди них укажем только две модификации, наиболее употребляемые в статьях: Чижа-Гесса [Czy77, Hes81] (вообще не использующей понятие поляризации) и использующую метаплектические структуры (см. Гийемин-Стернберг [ГС81], Робинсон-Раунсли [RR89]). В главе 3 мы предлагаем метод, который позволяет находить инвариантные поляризации относительно гамильтонова потока Xf с функцией Гамильтона / на сим-плектическом многообразии (X, Q). Метод состоит в следующем: мы рассматриваем поверхности уровня Ха = {х ? X : f(x) = а} гамильтониана / и ищем согласованные вложения (ра многообразий Ха в модельное симплектическое многообразие T*RN такие, что орбитам (траекториям) потока Xf\Xa соответствуют в <ра(Ха) орбиты гамильтонова потока некоторого гармонического осциллятора на T*M.N (здесь 2N > dimX). Так как гамильтонов поток гармонического осциллятора допускает существование инвариантной комплексной структуры, то последняя определяет стандартным образом, при ограничении на подмногообразие ра(Ха) С Т*ШМ, структуру Коши-Римана, а, значит, и структуру Коши-Римана Qa,Qa П Qa = О на Ха. Необходимо, чтобы полученное таким образом однопараметрическое семейство (Ха, Qa) вместе с гамильтоновым векторным полем Xf порождало поляризацию
F на (X, Q). Ее инвариантность относительно потока Xf следует из конструкции. Хотя, казалось бы, условие орбитного изоморфизма с од-нопараметрическим семейством гармонических осцилляторов довольно жестко, но это условие выполнено для некоторых гамильтоновых систем, для которых инвариантная поляризация другим методом не была построена. Таковыми гамильтоновыми системами, как показано в главе 3 работы, являются многомерная проблема Кеплера и проблема MIC-Кеплера. Сразу заметим, что для последней системы конструкция применяется не на прямую: она применяется к системе, которая редуцируется посредством гамильтоновой редукции к проблеме MIC-Кеплера. Тут также уместно отметить, что найденные поляризации и метод (*) позволяют нам эффективно исследовать все производные структуры геометрического квантования этих систем (голоморфные линейные комплексные расслоения, расслоения полу-форм), что как показывает практика, случается очень редко при использовании других методов.

Эти две гамильтоновы системы рассматривались разными авторами. Гамильтонова система, описывающая трехмерную проблему Кеплера, была проквантована Д. Симмсом ([Sim72]), который применил теорию геометрического квантования Костанта-Сурио к комплексному многообразию S2 х S2 орбит этой динамической системы, принадлежащих поверхности уровня гамильтониана. Он вычислил кратности собственных значений квантового оператора с помощью теоремы Римана-Роха-Хирцебруха для комплексных поверхностей. В ([М1а85]) И. Младенов применил модифицированную схему геометрического квантования Чижа [Czy77j и Гесса [Hes81] к многомерной проблеме Кеплера. Проблеме квантования системы MIC-Кеплера посвящены работы И. Младено-ва [М1а87, М1а89а, М1а89Ь], в которых он применил модифицированную схему Чижа-Гесса к расширенному фазовому пространству этой системы. Бейтс ([Bat89]) проквантовал эту систему используя алгебраическое представление системы, Одзиевич и др. ([OS96]), используя отображение когерентных состояний ([Odz88], [Odz92]); т.е. отображение из классического фазового пространства в комплексное проективное гильбертово пространство (квантовое фазовое пространство). Ни в одной из этих ра-

Список литературы
Цена, в рублях:

(при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)		 1425
Скачать бесплатно 23567.doc 





Найти готовую работу


ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:


Связаться

Доставка любой диссертации из России и Украины

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ


Ссылки:

Выполнение и продажа диссертаций, бесплатный каталог статей и авторефератов

Счетчики:

Besucherzahler
счетчик посещений

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.