Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию О числах с заданными диофантовыми свойствами и выигрышный множествах

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	О числах с заданными диофантовыми свойствами и выигрышный множествах

Количество страниц	21

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23572.doc

Содержание	Содержание ОГЛАВЛЕНИЕ Перечень условных обозначений...4 ВВЕДЕНИЕ...5 Содержание работы...10 ГЛАВА 1. ОБ АНОРМАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ И СУБЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ...15 1.1.0 лакунарных и сублакунарных последовательностях...15 1.2. О метрических результатах...16 1.3. Новые результаты об анормальных числах и лакунарных последовательностях...18 1.4. Общие результаты о субэкспоненциальных последовательностях...19 1.5. Частные результаты о субэкспоненциальных последовательностях...21 1.6. О хаусдорфовой размерности...24 1.7. О выигрышных множествах...24 1.8. О вложении непересекающихся арифметических прогрессий в натуральный ряд...30 1.9. Доказательство теорем 1.1 и 1.2...31 1.10. Доказательство теорем 1.3 и 1.4...33 1.11. Доказательство утверждений из параграфа 1.5...36 ГЛАВА 2. О ПЛОХО ПРИБЛИЖАЕМЫХ ЧИСЛАХ...42 2.1. О результатах Дж. Касселса, Г. Давенпорта и В. Шмидта...42 2.2. Формулировки новых результатов...42 2.3. Вспомогательные результаты...44 2.4. Доказательство теоремы 2.1...47 ГЛАВА 3. О ВЕКТОРАХ ЗАДАННОГО ДИОФАНТОВА ТИПА.. .50 Л. ^ 3.1. О векторах с заданным порядком аппроксимации...50 3.2. Формулировки и результаты...51 3.3. Лучи и цилиндры...53 3.4. Вспомогательные утверждения...54 3.5. Специальная последовательность цилиндров...55 3.6. Доказательство теоремы 3.1...65 Список литературы...67 ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ N — множество натуральных чисел No — множество натуральных чисел с нулем Z — множество целых чисел Q — множество рациональных чисел R — множество действительных чисел 11 • 11 — расстояние до ближайшего целого {•} — дробная доля числа [•] — ближайшее целое сверху [•J — ближайшее целое снизу А х В - декартово произведение множеств А и В НОД(<21,... ,ап) — наибольший общий делитель целых чисел ai,... ,ап С„ - биномиальные коэффициенты Сп—Щп-к)\ {tn)^=i — последовательность действительных чисел t\, ti, • • •, tn ... к — обозначение max{3, к} f(x) ~ g(x) — существует предел lim 7^7!=1 f(x) х g(x) - существуют положительные константы Pi и Рг» такие что Pl9(x)^f(x)^P2g(x) ХА(Х) ~ характеристическая функция множества А HD(A) — хаусдорфова размерность множества А ND((^n)^=1) — множество действительных чисел а, таких что последовательность дробных долей {tno;} n=l, 2,... не всюду плотна на отрезке [0,1] ВВЕДЕНИЕ Диссертация подготовлена на кафедре теории чисел Московского государственного университета и затрагивает ряд вопросов, относящихся к теории диофантовых приближений. Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена исследованию классических объектов, возникающих в теории диофантовых приближений: множеств плохо приближаемых чисел и векторов, векторов заданного диофантового типа и множеств связанных с нормальными числами. Постановки задач связанных с этими объектами восходят к Л. Дирихле, Л. Кронекеру, Э. Борелю, Г. Минковскому и другим классикам. Ими занимались такие известные математики как А.Я. Хинчин, В. Яр-ник, Дж. Касселс, Г. Давенпорт, П. Эрдеш, В. Шмидт, Н.М. Коробов. Исследованию свойств плохо приближаемых чисел, нормальных чисел, а также чисел, не являющихся нормальными, посвящено много работ как в России так и за рубежом. Классическим и новым результатам, связанным с этими вопросами, а также с приложениями уделено внимание в монографиях Дж. Касселса [6], В. Шмидта [14], Л. Кейперса и Д. Нидеррейтера [7], Р. Тихого и М. Дрмоты [21] и других. С одной стороны, для исследования многомерных задач, связанных с линейными диофантовыми приближениями, в подобного рода вопросах естественно использовать восходящие к Г. Минковскому и Г.Ф. Вороному методы геометрии чисел (см. монографию [28]). С другой стороны, в 1966 году В. Шмидтом [36], [37] был разработан новый метод исследования плохо приближаемых и анормальных чисел связанный с использованием метрической модификации игры Банаха-Мазура, который позволил получить ряд фундаментальных результатов. В настоящей диссертации мы продолжаем исследование плохо приближаемых чисел и множеств анормальных чисел с использованием указанных выше геометрического метода и метода выигрышных множеств В. Шмидта. Отметим, что результаты В. Шмидта, связанные с выигрышностью множеств анормальных и плохо приближаемых чисел, носили, в основном, качественный характер. В настоящей диссертации мы разрабатываем количественный вариант метода В. Шмидта, а также получаем оценки для хаусдорфовой размерности возникающих у нас множеств. Помимо этого, мы устанавливаем ряд новых результатов, связанных с существованием наборов вещественных чисел, обладающих совместными диофантовыми приближениями специального вида. Отметим, что вопросам метрической теории диофантовых приближений, связанных с рассматриваемыми нами задачами, посвящена книга В.Г. Спринджука [10], а вопросам, связанным с размерностью Хаусдор-фа — книга В.И. Берника и В.Ю. Мельничука [5]. Также отметим, что в последнее время к подобного рода вопросам вновь проявился интерес в связи с теорией динамических систем (см. монографию А.Н. Старкова [11] и серию работ Д. Клейнбока [30], [31], [32]). Результаты настоящей диссертации также связаны с исследованиями распределения лакунарных и сублакунарных последовательностей, проводившимися в работах П. Эрдеша [24], А.Д. Поллингтона [34] и Д. де Матана [33], и с некоторыми эргодическими теоремами Г. Фюрсте- берга [27] и М. Бошерницана [15], [16]. Особо отметим, что совсем недавно задачи, связанные с исследованием лакунарных последовательно- стей, изучающиеся в диссертации, оказались полезными при исследовании хроматических чисел некоторых множеств. В связи с этим мы упомянем И. Ружи и др. [35]. Цель работы. 1. Построение чисел, не являющихся нормальными ни по какому основанию, и получение количественных оценок, построение множеств действительных чисел полной хаусдорфовой размерности, плохо приближаемых рациональными числами со знаменателями вида 2n3m, и получение общих количественных результатов методом выигрышных множеств В. Шмидта. 2. Получение результатов о наборах действительных чисел, которые являются плохо приближаемыми одновременно со всеми своими подна-борами (теоремы существования и оценки хаусдорфовой размерности). 3. Доказательство теорем существования векторов заданного дио-фантового типа. Методика исследования. Основными инструментами при исследовании рассматриваемых задач являются метод выигрышных множеств В. Шмидта, конструкции де Матана-Поллингтона и их обобщения. В многомерных задачах активно используется соображения геометрии чисел, точнее, геометрической теории диофантовых приближений, некоторые из которых развивались Н.Г. Мощевитиным. Научная новизна. Основные результаты полученные в диссертации являются новыми и состоят в следующем. 1. Количественная теорема о числах, не являющихся нормальными \|»\ ни по какому основанию. 2. Результат о существовании множества действительных чисел а таких, что \|\|2n3ma\|\| отделено от нуля медленно убывающей функцией. 3. Теорема о существовании и хаусдорфовой размерности множества плохо приближаемых векторов, все проекции которых также плохо приближаемы. 4. Доказательство существования 5-мерных векторов, допускающих бесконечно много (p(q)(l + е)-приближений, но не допускающих ни одного Достоверность результатов. Решения всех задач получены с помощью строго обоснованных математических методов и снабжены доказательствами и необходимыми ссылками на литературу. Отмечается согласованность полученных результатов с результатами других авторов. Достоверность результатов также основывается на строгости и подробности приведенных в диссертации доказательств. Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при исследовании кан-торовых множеств, возникающих в теории диофантовых приближений и оценках хаусдорфовой размерности. Они могут быть полезными при исследовании распределения по модулю 1 дробных долей быстро растущих последовательностей. Также результаты могут иметь приложения в некоторых вопросах приближенного анализа, теории динамических систем, теории функций, и в вопросах, связанных с хроматическими числами дистанционных графов. Апробация работы. Результаты автора неоднократно докладывались на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ: 1. Научно-исследовательский семинар по теории чисел под руководством Ю.В. Нестеренко, Н.Г. Мощевитина, А.Б. Шидловского, 2. "Тригонометрические суммы и их приложения" под руководством Н.Г. Мощевитина, А.В. Устинова, 3. "Арифметика и геометрия" под руководством Н.Г. Мощевитина, A.M. Райгородского, 4. "Дискретная геометрия и геометрия чисел" под руководством С.С. Рышкова. Также автор выступал с докладом на международном семинаре по дискретной математике, проводившемся в январе 2004 года на механико-математическом факультете МГУ, и участвовал в работе VIII Международной конференции, "Образование, экология, экономика, информатика", проводившейся в городе Астрахань в сентябре 2003 года. Публикации автора по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1], [2], [3], [4]. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы включающего 37 наименований. Общий объем диссертации 70 страниц. Содержание работы. В главе 1 изучаются анормальные числа и субэкспоненциальные последовательности. Вещественное число а называется нормальным по основанию q если дробные доли {qna} равномерно распределены на отрезке [0,1]. Хорошо известно, что почти все (в смысле меры Лебега) вещественные числа нормальны по каждому натуральному основанию большему единицы. С другой стороны, В. Шмидт [36] доказал, что множество чисел не нормальных ни по какому основанию имеет хаусдор-фову размерность 1. Один из результатов главы 1, представляющий собой количественную модификацию результатов В. Шмидта, выглядит следующим образом: Пусть е>0, х^хо=1п (21832) и А= Y^ I; i+?. Тогда существует множество Рн вещественных чисел х такое, что для любого целого I, для любого х^.Рус, для любого n?No выполнена оценка Другая серия результатов главы 1 связана с поведением последовательности (2n3ma:)^m=0. Г. Фюрстенберг [27] доказал, что для иррационального а дробные доли {2n3ma:} всюду плотны. Мы же с помощью метода В. Шмидта выигрышных множеств устанавливаем следующий результат. °° Пусть е>0, х^хо=1п (21832) и А— У) I 1+е. Тогда существует множество Рх вещественных чисел х таких, что для любого целого неотрицательного числа п и любого натурального числа j выполнена оценка \\2n3jx\\^exp {-ЪАхэ (lnJ)1+?) Упорядочим теперь множество чисел вида 2n3m (n,ra?No) в порядке возрастания Si=l,S2=2,S3=3,54=4,55=6... Получившаяся последовательность является (в терминологии Дж. Касселса [17]) ^-последовательностью и для нее справедлив результат Дж. Касселса из той же работы, утверждающий, что если ф(п) — положитель-нозначная монотонно убывающая к нулю функция, то для почти всех а неравенство имеет бесконечно много решений в натуральных п, если ряд ^ расходится, а в случае, если этот ряд сходится для почти всех а, указанное неравенство имеет не более конечного числа решений. Одним из результатов главы 1 является следующее утверждение. Множество вещественных чисел а таких, что с некоторой положительной константой С(а) и для любого натурального п выполнено неравенство \\snot\\>^=, имеет размерность Хаусдорфа 1. Замечание. Поскольку ряд ^ ^= расходится, указанное множе- п=1 ство имеет меру нуль. Глава 1 содержит также некоторые другие результаты. Более подробный обзор результатов предшественников имеется в параграфах 1.1 и 1.2 главы 1. Глава 2 посвящена плохо приближаемым (в смысле сов- . местных диофантовых приближений) n-мерным векторам. Вектор а= (ai, «2,.. •, an) ?Rn называется плохо приближаемым п-мернъш вектором, если существует такая положительная константа С=С(а), что при любом натуральном q выполнено неравенство max HH^ Дж. Касселс в работе [18] доказал, что существует континуальное множество плохо приближаемых n-мерных векторов, при С (а) ^Сп>0 (здесь Сп — константа, зависящая только от размерности п). Теорема Дж. Касселса была усилена и упрощена Г. Давенпор-том [20]. Несколько позднее В. Шмидт [37], используя технику выиг- рышных множеств, установил, что множество плохо приближаемых п- мерных векторов имеет хаусдорфову размерность п. Основной результат главы 2 состоит в следующем. Пусть /={1,2,..., 5} и дан набор A={5j}jci Зф<г> из 2s—1 положительных констант. В пространстве Ж8 рассмотрим множество Г ,, ,, 6, , Л Р&= \ xGRs I VgEN VJC/, J^0 : max \\qxiW^—rj-, где n=\J\ > . { i?J qVn J Пусть t — натуральное число, такое что выполняется нера- венство t>M=4 ^ С™ {\/п)п, и пусть n=l JCI,J^0 4(ч/в+Т) s t (здесь n=\J\), тогда множество Рд не пусто и имеет хаусдорфову размерность Таким образом, мы устанавливаем существование достаточно большого множества таких плохо приближаемых наборов, что все их подна- боры тоже являются плохо приближаемыми, причем в полученной нами теореме все константы эффективно вычислены. Аналогичный качественный результат можно получить методом выигрышных множеств В. Шмидта. Особо отметим, что похожие плохо приближаемые наборы рациональных чисел нашли свое применение в вопросах приближенного анализа. Н.М. Коробовым [8] они использовались при построении оптимальных коэффициентов для так называемых комбинированных сеток приближенного интегрирования, являющихся обобщением пара-пипедальных сеток. В главе 3 устанавливается существование векторов заданного дио-фантового типа. Пусть ip(y) — некоторая вещественнозначная функция вещественного аргумента. Натуральное число р называется совместным <р-приближением к вектору а=(а\,..., as)€Ms, если max \|1ра7\|\|= max minlpo;,— i Н.Г. Мощевитин в работе [9] (обобщая теоремы Дж. Касселса [18] и В. Ярника [25], [26] и отвечая на вопрос СБ. Стечкина) доказал, что если (p{y)=O(y~^s), у—>ею, то найдется континуальное семейство векторов aGMs, допускающих бесконечно много совместных «^приближений, но не допускающих ни одного совместного о"5 Одним из результатов главы 3 является следующее утверждение. Пусть "0(р) — монотонно убывающая положительная функция, ф(р)=о(1) при р—»оо и ip(l)^A=A(s). Тогда найдется континуальное семейство векторов a?=(ai,. ..,as)GRs, таких что каждый из них для любого е допускает бесконечно много ^г (1+?) -приближений, но не допускает ни одного Ц^? -приближения. Этот результат нетривиален в размерности з>1. В размерности 5=1, как известно, имеются результаты подобного рода и для функций ф(р)=О(1) — теоремы о луче Холла. Обзор результатов на эту тему можно найти в монографии Т. Кузика и М. Флахив [19]. Особо отметим, что наши методы не устраняют зазор в константу в случае Отметим, что в начале каждой главы мы напоминаем основные определения и даем краткий обзор результатов предшественников. Сделаем еще одно замечание. Для оценки снизу хаусдорфовой размерности интересующих нас множеств мы в главах 1 и 2 будем применять известную теорему Эглестона [23]. Эта теорема достаточно громоздка и ее формулировка весьма обща. Нам понадобятся частные случаи этой теоремы и ее следствия. Поэтому при доказательстве каждого из наших результатов мы каждый раз будем формулировать соответствующее следствие из теоремы Эглестона и называть это следствие просто теоремой Эглестона. Глава 1. Об анормальных числах и субэкспоненциальных последовательностях §1.1. О лакунарных и сублакунарных последовательностях. Пусть ф(х) — положительнозначная функция натурального аргумента х, монотонно убывающая к нулю при х—кэо, Q= (tn)^li ~ некоторая достаточно быстро растущая монотонная последовательность положительных (целых) чисел, а — некоторое вещественное число и \|\|-\|\| — расстояние до ближайшего целого. В настоящей главе исследуется разрешимость в натуральных п диофантового неравенства \\гпа\\<ф(п). (1) Напомним, что через ND(Q) мы обозначаем множество таких вещественных а для которых последовательность дробных долей {tna}, 7i=l, 2,3,... не всюду плотна на отрезке [0,1]. А через HD(P) мы будем обозначать хаусдорфову размерность множества Р действительных чисел. П. Эрдеш в работе [24] поставил следующий вопрос: верно ли, что если Q={tn \| 71=1,2,3,...} — последовательность натуральных чисел, такая что при любом натуральном п выполнены неравенства (такого вида последовательности называются лакунарными), то )? Положительный ответ на этот вопрос был дан де Мата- ном [33] и Поллингтоном [34]. Они доказали, что если Q — последовательность неотрицательных действительных чисел, такая что выполняется (2), то HD(ND(Q))=1. Отметим, что М. Бошерницан в работе [16] доказал, что если lim %ti=l, то HD(ND(Q)W0. С другой стороны, В. Шмидт в работе [36], рассматривая множество чисел, не являющихся нормальными ни по какому целому основанию, точнее, множество T={xER \| {gnx},nEN не всюду плотна для любого целого 1}, используя технику выигрышных множеств, доказал, что HD (Т) =1. В настоящей главе мы обобщим некоторые из этих результатов, а также получим их количественные аналоги. В параграфе 1.3 мы сформулируем результаты обобщающие и усиливающие подход В. Шмидта, а в параграфе 1.4 сформулируем результаты об субэкспоненциальных последовательностях (о неразрешимости в натуральных п неравенства (1) для нелакунарных последовательностей (?n)^Li субэкспоненциального роста, аналогичные теоремам де Матана-Поллингтона; в частности, наши результаты оказываются применимыми для последовательности (sn)^ состоящей из всех чисел n3m, n,meN0). §1.2. О метрических результатах. Прежде, чем переходить к формулировке доказанных нами теорем, сделаем несколько замечаний о метрических результатах касающихся того случая, когда tn являются целыми числами. Общеизвестно (см. [17]), что если ряд ]Р ip(ri) сходится, то для по- чти всех (в смысле меры Лебега) действительных чисел а существует положительная константа К{а) такая, что при всех п будет выполняться неравенство С другой стороны, в случае расходимости ряда ^ ^(n) типичной является ситуация, когда неравенство (1) для почти всех а имеет бесконечно много решений в натуральных п. Процитируем, например, соответствующий результат Дж. Касселса из работы [17]. Напомним, что возрастающая последовательность (?n)^Li целых чисел называется S-последовательностью, если имеет место соотношение j^ (З) где ап обозначает количество дробей вида ^-,0 Теорема Дж. Касселса [17] утверждает, что если (tn)'^L1 является Е-последовательностью, то в случае расходимости ряда Yl VK77-) неРа~ венство (1) имеет для почти всех а бесконечно много решений в натуральных п. Отметим, что, как показали Р. Дуффин и А. Шеффер [22], в случае расходимости ряда Yl ^in) не Для всякой целочисленной последова- тельности (in)^i неравенство (1) имеет для почти всех а бесконечно много решений в натуральных п. Примеры последовательностей, не являющихся S-последовательностями, были построены Дж. Касселсом в той же работе [17].

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23572.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.