Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Спектр Галуа и генерирующие многочлены

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Спектр Галуа и генерирующие многочлены

Количество страниц	86

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23586.doc

Содержание	Содержание ОГЛАВЛЕНИЕ Введение... 4 Глава 1. Спектр Галуа многочленов...15 § 1. Факторизационный спектр многочлена...15 §2. Спектры Галуа многочленов... 20 § 3. Спектр Галуа и преобразование Чирнгаузена... 26 Глава 2. Обратная задача для спектров Галуа многочленов... 36 § 1. Теорема Гильберта о неприводимости... 36 § 2. Обратная задача для спектров Галуа многочленов третьей степени ...38 § 3. Обратная задача для спектров Галуа многочленов четвёртой степени...39 Глава 3. Генерирующие многочлены над полями характеристики два...58 § 1. Реализация групп Галуа над полями характеристики два...59 § 2. Циклические расширения 4-ой степени над полями ------------------_... характерИСТИКИ два...---¦...66 § 3. Циклические расширения 8-ой степени над полями характеристики два...69 § 4. Генерирующие многочлены для альтернативной группы А4 над полями характеристики нуль...73 § 5. Генерирующие многочлены для альтернативной группы А4 над полями характеристики два...'...80 Список литературы... 86 Введение СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ Sn - симметрическая группа степени п, порядка п\. Ап - знакопеременная группа степени п, порядка п!/2. Сп - циклическая группа порядка п. Dn - диэдральная группа порядка 2п. Fpi (р - простое число, I - делитель числа р — 1) - фробениусова группа порядка pi, т.е. полупрямое произведение циклической группы порядка р и подгруппы порядка I ее группы автоморфизмов. V4 - группа Клейна, то есть нециклическая группа порядка 4. QD2n-i - квазидиэдральная группа порядка 2П. Q2" ~ кватернионная группа порядка 2П. М2П+1 - модулярная группа порядка 2n+1, причём М2п+г = (а, Ь \| а2" = Ь2 = 1, Ьа = а2""1+1Ь>. Fg - конечное поле из q = рп элементов, где р - некоторое простое число. PSL2(?q) - проективная, специальная линейная группа 2x2 матриц над конечным полем Wq из q элементов. -PSL(2Tp)-=~PSL2(?p), где р - простое число. GLn(K) - общая линейная группа пхп матриц с элементами из К. p - группа автоморфизмов симплектического пространства размерности 2п над конечным полем из q элементов. CSpz^q) - фактор-группа группы SP2nq по её центру. Q - поле рациональных чисел. K(ti, 2j • • • > tn) - поле рациональных функций от переменных h,t2,..., tn над полем К. Ъ - кольцо целых чисел. K[s\, S2,..., sr] - кольцо многочленов от переменных s\, S2,.. •, sr над кольцом К. ВВЕДЕНИЕ В работе изучаются спектры и полные спектры Галуа параметрических многочленов и рассматривается построение генерирующих многочленов над различными полями. Понятие факторизационного спектра многочлена, спектра Галуа многочлена и полного спектра Галуа многочлена были введены впервые автором. Понятие спектра Галуа параметрического многочлена связано с теоремой Гильберта о неприводимости, изучением Гильбертовых множеств, со свойствами параметрических многочленов. Понятие факторизационного спектра параметрического многочлена связано с нахождением целых точек на эллиптических кривых. Факторизационный спектр используется также при нахождении полного спектра Галуа параметрического многочлена. В теории Галуа есть ряд известных задач, связанных с теоремой Гильберта о неприводимости, которые формулируются следующим образом: 1) Пусть f(x, у) неприводимый над Q многочлен с целыми коэффициентами. Нужно охарактеризовать множество целых специализаций х = а, ______для которых многочлен /(а, у) приводим над полем рациональных чисел (часто это множество оказывается конечным). Эту задачу изучали M.Fried [24] и P.Muller [50]. 2) Пусть д{х) - многочлен с коэффициентами из поля К. Надо охарактеризовать группу Галуа G многочлена вида д(х) — t над полем K(t). Эту группу G называют группой монодромии многочлена д{х). По задаче 2 имеются результаты P.Muller [51]. Понятие факторизационного спектра параметрического многочлена тесно связано с задачей 1, а понятие спектра Галуа параметрического многочлена с задачей 2. Так как, если К - Гильбертово поле и группа G есть группа монодромии многочлена д(х) (т.е. группа Галуа многочлена д{х) — t над полем K(t)), то по теореме Гильберта о неприводимости существует бесконечно много специализаций t = а, таких, что группа Галуа многочлена д(х) — а над полем К есть G. Таким образом, задача об 5 определении спектра Галуа параметрического многочлена обобщает и углубляет задачу 2. ¦ Дадим соответствующие определения и приведём полученные результаты. Пусть К - поле и дан многочлен / от г +1 переменной ti,t2,... ,tr,x,TO есть i2, • • -,tr)x + ... + an(ti,i2,- - .,tr)xn, Определение 1. Факторизационным спектром многочлена f(ti,...,ts', x) Е K[ti,..., ts][x] степени п относительно х называется набор разбиений (щ' > ..., > Пя ) числа п, где 1 < г < г, такой что: 1. Для любого г, 1 < г < s существуют такие элементы (специализации) ai.. ,,а3 Е К, что многочлен /(ai,..., аа, ж) раскладывается над /С в произведение неприводимых многочленов степеней щ ,..., ns* . 2. Если для некоторых ai,...,as Е К многочлен /(ai,... ,as,x) раскладывается над К в произведение неприводимых многочленов степеней n'x > ... > n's, то существует г, 1 < г < г, такое что (n'1?... n's) = (щ ,..., n8V). Напомним, что разбиением числа п называется набор натуральных чисел П1>П2>...>пр, сумма которых равна п. Рассмотрен пример: Пример 1. Многочлен вида f{x) = х5 + тх + п\ + п\ + п\ + п\ + 1 Е Q[m, пь п2, п3, п4, яг] имеет следующий факторизационный спектр над Q, состоящий из разбиений: (5), (4,1), (3,2), (3,1,1) и (2,2,1). Пример 1 уточняет результат Рабиновича [53] (он рассматривал лишь факторизации вида (1,4) и (2,3)). Приведем определение спектра Галуа параметрического многочлена. Определение 2. Пусть К - поле, А - некоторое подмножество из К. Назовём последовательность транзитивных неизоморфных между собой подгрупп G\,G2, ¦ ¦ ¦ ,GS группы Sn r-параметрическим спектром Галуа многочлена / G K[ti,t2,... ,tr,x] над К по отношению к множеству А, если при изменении параметров t\,t2,... ,tr в А группа Галуа многочлена / над К, в случае его неприводимости в if [#], принимает "значения" C?i, (?2, • • • , Gs. Этот факт будем обозначать так: Sp Gal(/; tu • • • , tr G A) = {Gu G2, • • • , G.}. Наряду с понятиями факторизационного спектра и спектра Галуа параметрических многочленов, вводится понятие полного спектра Галуа параметрического многочлена. Определение 3. Назовём последовательность неизоморфных между собой подгрупп Gi,G2,...,Gp группы Sn r-параметрическим полным спектром Галуа многочлена f G K[ti, ?г> • • •, tr, x] над К по отношению к множеству А С. К, если при изменении параметров t\,t2, -.. ,tr в А группа Галуа многочлена / над К принимает "значения" C?i, G2, • • • , Gp. Этот факт будем обозначать так: Spt Ga\K(f; tu ¦ • • , tr G А) = {Gu G2, • • ¦ , Gp]. В §2 приводятся примеры спектров и полных спектров Галуа параметриче- ских многочленов над полем рациональных чисел у. В общем случае нахождение спектров Галуа параметрических многочленов степени больше трёх затруднительно, так как связано с решением нетривиальных диофантовых уравнений. Исключение составляют генерирующие многочлены [22], для которых, при определенных условиях, связанных с ре- шением обратной задачи теорий Галуа полный спектр Галуа определяется сразу (см. следствие 2), благодаря результату Кемпера [35]. Понятие генерирующего многочлена впервые упоминается в работах [57],[22] и было связано с обратной проблемой теории Галуа, проблемой Нётер, генерирующими расширениями. В дальнейшем возникла следующая проблема: существует ли для данной конечной группы G над бесконечным полем К генерирующий С?-многочлен? Ниже приводится таблица, отражающая полученные результаты. Определение 4 (Кемпер). Пусть К - поле и G - конечная группа. Назовём нормированный, сепарабельный многочленg(ti,..., tm, X) ё K{t\,..., tm)[X генерирующим для группы G над К, если выполняются следующие два свойства: (1) Группа Галуа многочлена д (как многочлена от X над K(ti,... ,tm)) есть G. (2) Если L - бесконечное поле, содержащее К и N/L - расширение Галуа с группой G, тогда существуют Ai,..., Am G L, такие, что N является полем разложения многочлена g(Ai,..., Am, X) над L. Определение 5. (Kemper) Назовём многочлен д спускающимся генерирующим многочленом (descent-generic), если он удовлетворяет условию (1) определения 3. (см. выше), а также, кроме того, выполняется следующее свойство: (2') Если L - бесконечное поле, содержащее К и N/L - расширение Галуа с группой Н < G, тогда существуют Ai,..., Am G L, такие что N является полем разложения многочлена д(Хг,..., Am, X) над L. Имеет место следующая теорема [35]: ~~Теорема~1гКаждый генерирующий многочлен gfa,... ,tm,X) для группы G над бесконечным полем К является спускающимся генерирующим многочленом. Из этой теоремы вытекает следствие: Следствие 2. Если д{Х) - генерирующий многочлен для группы G над бесконечным полем К, то полный спектр Галуа многочлена д(Х) над полем К состоит из всех подгрупп группы G, для которых обратная задача теории Галуа имеет решение над полем К. Замечание 1. Спектр Галуа генерирующего для группы G многочлена состоит из транзитивных подгрупп группы G. В рассмотренных нами примерах (часть из них приведена чуть ниже, а также в конце второго параграфа первой главы) оказалось, что он состоит из всех транзитивных подгрупп группы G. Приведём теперь таблицу, связанную с генерирующими многочленами. Таблица генерирующих многочленов группа поле генерирующий многочлен ЯВНЫЙ ВИД С2,С± Q Существует Построен [32] с4 Существует Построен [10] С2хС2 Q Существует Построен [32] С2, хС2хС2 Q Существует Построен [54] С2, хС2 х С2 х с2 Q Существует Построен [54] Сп,п- нечётное c/iar/Г ^ 2 Существует Построен [32] Сп, п - нечётное charK - 2 Существует Построен для Ср, р -простое [36] С2«,е> 2 Q Не существует - С„, п = 5,7,8, ДЛ,12,13,14_ Q(Wn),Wn = Cn + Cn1 Существует Построен [54] р-группа char К = p Существует[49] Не построен $8 c/iarK # 2 Существует Построен [32] char К f 2n, a;n = Cn + Сп1, П € A" Существует Построен [36] Q2n, n = 6,8 Q(C») Существует Построен [54] Д», n—нечётное char К ф 2 Существует Построен для D5 над Q[32] Ds,QD8,Mi6 c/iar/r ф 2 Существует Построен [44] A» Q Существует Построен [54] Dn,n = 5,7,8 Q(Wn),Wn = Cn + Cn1 Существует Построен [54] c/ior/T ф 2 Существует, 8 \ 1 Построен для F20 [42] char К \ п Существует Построен [36] A4 charK ф2,3 Существует Построен [36] char К = 2 Существует Построен (гл.3, § 6) Q Существует Построен [32] с6 charK = 2 Существует Построен [5] с8 char К = 2 Существует Построен [10] С2 х С2 c/mrif = 2 Существует Построен [5] С2, хС2 х С2 c/mrif = 2 Существует Построен [5] SL2(3) char К ф 2,3, причём Существует Построен [36] PSL2(7) char К ф 2,3,7, причём V^Y <Е if Существует [36] Не построен Ср X Ст Fp Существует Построен [57] GLn(q),SLn(q) Fp Существует Построен [65] Sp2n(q) Fp Существует Не построен [17] CSp2n(q) Fp Не существует [36] - Приведём примеры нахождения спектров (и полных спектров) Галуа некоторых генерирующих многочленов. Пример 2. Многочлен д(Х) = X3 — tX2 + (t — 3)Х Ч- 1 - является генерирующим многочленом для группы Сз над полем Q, поэтому SpGalQ^X)) = Пример 3. Многочлен д(Х) = X4 + 2hX2 - 4t2t3X + (fa + t2)2 - 2t2t\) "являётсяТенерирующим многочленом для группы D4 над полем Q, поэтому Spt GalQfe(X)) = {D4, С4} С2 х С2, С2, е]. Как показывает таблица к настоящему времени построено над различными полями не много генерирующих многочленов даже для групп небольших порядков над полем Q. В §3 изучается влияние преобразования Чирнгаузена на спектр Галуа параметрического многочлена. В следующей теореме 3 будем рассматривать преобразования Чирнгаузена с коэффициентами из K[ti,...,tr]. Доказаны следующие теоремы: Теорема 3. Если неприводимые, нормированные многочлены степени п относительно X fi(X\ ti,...,tr) и f2(X; ti,..., tr) из кольца K\t\,..., tr][X] эквивалентны относительно преобразования Чирнгаузена над K[ti,... ,tr], то их спектры Галуа совпадают. Теорема 4. Пусть группа G реализуется как группа Галуа над полем К. Пусть также в группе G существуют две несопряжённые подгруппы Т и Н одинакового порядка такие, что выполняются следующие соотношения: 1 = {е}, П^стЯт"1 = {е}. Тогда существуют два неприводимых многочлена над полем К одинаковой степени, не эквивалентных относительно преобразования Чирнгаузена над полем К и имеющих одно и то же поле разложения. Доказано, что над полем Q свойством, описанном в теореме 3, обладают многочлены f(X) = X4 - 2 и д(Х) = X4 + 8. Одной из основных проблем теории Галуа является обратная проблема теории Галуа, которая для фиксированного поля К формулируется следующим образом: Какие группы G реализуются над полем К в качестве групп К-автоморфизмов расширений Галуа поля КЧ Для конечного поля К обратная проблема теории Галуа решена: циклические конечные группы и только они реализуются в качестве групп Галуа над К. Если К = Q - поле рациональных чисел, то полный ответ на эту проблему неизвестен. Аналогом обратной проблемы теории Галуа для параметрических многочленов над полем К является следующая проблема (обратная проблема для спектров Галуа параметрических многочленов): Проблема 1. Пусть {G\, С?2, • • • , Gs} - набор транзитивных подгрупп группы Sn и 1 < г < п. Существует ли многочлен / е K[t\,t2, • • • ,U,x], спектр Галуа которого над К в точности равен {C?i, С?2, • • • , GS}1 Теперь обратную проблему теории Галуа можно переформулировать так: Проблема 2. Для всякого ли натурального числа п существует параметрический многочлен степени п, полный спектр Галуа которого над полем Q совпадает (с точностью до изоморфизма групп) с множеством всех подгрупп симметрической группы 5П? Благодаря многим конкретным результатам разных авторов известно к настоящему времени, что проблема 2 имеет положительное решение для всех натуральных п < 15 [40]. Вторая глава посвящена обратной проблеме для спектров Галуа параметрических многочленов. Благодаря теореме Гильберта о неприводимости и теореме о группе Галуа многочлена, получающегося при помощи специализации, обратная проблема для спектров Галуа многочленов решена над полем Q для спектров Галуа многочленов третьей и четвёртой степеней. В рассматриваемых случаях удаётся найти Н - Гильбертовы множества для некоторых (¦^-параметрических многочленов, когда Н - транзитивная подгруппа группы Sn (n = 3, 4). Доказаны следующие теоремы: Теорема 5. Любой многочлен третьей степени, неприводимый над полем Q(?i,. ..,и), г € N с коэффициентами из Q[t\,..., tr], при целых специализациях, имеет один из следующих спектров Галуа: {5з}> {Аз} и {5з,Лз}. Теорема 6. Целочисленным спектром Галуа, неприводимого HadQ(ti,... ,tr) многочлена четвёртой степени с коэффициентами из Q[?i,... ,tr] может быть любой из следующих наборов подгрупп группы S4: {54}, {A4}, {D4}, {V4}, {Ca}; {S4, А4}, {S4, D4}, {S4, V4}, {S4, C4}, {A4, V4}, {D4, V4}, {D4, C4}; {S4,A4,D4}, {S4,A4,C4}, {S4,A4,V4}, {54,D4,V4}; {S4,D4,C4}, {S4,V4,C4}, {D4, V4, C4}; {54, Л4, JD4> V4}, {54, D4, V4, C4}, {S4, A4, D4, C4], {54, A4, V4, C4}; {S4,A4,D4,C4,V4}. Ни один из наборов подгрупп S4, не входящий в этот список, не может быть целочисленным спектром Галуа такого многочлена. В третьей главе для некоторых групп G небольших порядков рассматривается построение (^-параметрических и G-генерирующих многочленов в основном над полями характеристики два. Случай, когда charK = 2 - особый, но благодаря функции Берлекэмпа [14] (играющей в полях char К = 2 роль функции y/D(f) в полях char К = 0), в первом параграфе третьей главы сформулированы и доказаны теоремы, позволяющие находить группы Галуа неприводимых многочленов соответственно 3-ей и 4-ой степеней над полями характеристики два. Приводятся соответствующие примеры. О генерирующих многочленах над полями char К — 2 известно немного, так как большинство известных методов не работают над полями char К = 2. [61] упоминается многочлен f(x,t) = х3 — tx2 + (t — 3)#+1, являющийся генерирующим многочленом для циклической группы Сз над любым полем (в том числе и над полем char К = 2). Построенные далее генерирующие многочлены для групп С±, С§ и А± над полем char К — 2 приводятся впервые. Во втором и третьем параграфах, с помощью теоремы Витта [66], построены над полями характеристики два генерирующие многочлены для циклических групп С а и Се. В частности доказаны теоремы: Теорема 7. Пусть К - поле характеристики два. Тогда многочлен вида f(x; i, г) = ж4 + (1 + ti)x2 + t\x + 3 + 2 + tih из К[х, i, г] является С±-генерирующим многочленом над полем К. Явный вид генерирующего многочлена для группы С& над полем К = F2(t) приведён в §3. Рассмотренный приём позволяет последовательно строить генерирующие многочлены для циклических групп C\q, C32, В четвёртом параграфе для знакопеременной группы А± над Гильбертовым полем характеристики нуль строятся генерирующие многочлены шестой и четвёртой степеней над полем Q. В частности, доказаны теоремы: Теорема 8. Многочлен f(X;t,a,b,c) из кольца K(t,a,6,с)[Х] вида: f(X; t, а, Ъ) = Х6- Х4[3а2 + bc{t2 - St + 3) + 2abt + b2(t - 3)+ +c2(t2 - 4t + 9) + 2ac(t2 - 2t + 6)] + X2[4a3bt + ac3(t4 - 6t3 + 2St2 - 42t + 51)+ +a2bc(2t3 - t2 + Zt + 9) + a2b2(t2 + 3t - 9) + a2c2{t4 - 4t3 + 19t2 - 36t + 63)+ -3) + b2ac(2t3 - 8t2 + 12t - 18) + 263c(3 -t) + abc2(t4 - 4t3 + lit2 - 18* + 27)- -2b3c(t2 - 2t + 6) + b2c2(-t3 + t2-3t-3)- bc3(t3 - bt2 + 13* - 18)] - [ac2{t2- -4* + 9) + a2bt + c3 + ab2{t - 3) + abc(t2 - 3t + 3) + a2c(t2 - 2t + 6) - 63- -Ъ2сЬ + а3 + 6с2(3 - является А^-генерирующим многочленом над Гильбертовым полем К, где char К = 0. Теорема 9. Многочлен p(X;t, a, b, с) из кольца K(t, a, b, с)[Х] вида: р(Х; , а, Ъ) = ХА- 2Х2[Ъа2 + bc(t2 - 3t + 3) + 2abt + b2{t - 3)+ +c2(t2 - At + 9) + 2ac(t2 -2t + 6)] - 8X[ac2(t2 - At + 9) + a2bt + с3 + а(3 - )62+ +abc(t2 - 3t -f 3) + a2c(t2 - 2t + 6) - 63 - tb2c + 6c2(t - 3) + a3] + b2c2(t4- -3t2 + 3Qt - 45) + 6c3(2?4 - 10t3 + 28t2 - 3At - 18) - Aa?c{t2 - 2t + 6) - 4a36i- -6a2c2(i2 - 4t + 9) + 64(t2 - 2t + 9) + c4(t4 - 8t3 + Ж2 - 64* + 57)+ +63c(23 - 4t2 + 16 + 6) - 3a4 - 6bV(* - 3) - 6bca2{t2 - 3t + 3) - 12ac3+ +12acb2t + 12ab3 + 12abc(* - 3) является А^-генерирующим многочленом над Гильбертовым полем К, где char К = 0. Заметим, что Л едет в [46] построил генерирующий многочлен для группы А\ 4-ой степени с двумя параметрами над полем Q, но с дробно-рациональными коэффициентами. Полученный генерирующий многочлен для группы А^ 6-ой степени над полем Q является новым. В~пятом~параграфе для группы А± над Гильбертовым полем характеристики два построены генерирующие многочлены степени шесть и четыре. В частности, доказаны теоремы: Теорема 10. Пусть К - Гильбертово поле характеристики два. Тогда многочлен шестой степени F(X] t, и) вида F{X; t, и) = (X2 + Xf + u2{t2 + * + 1)2(Х2 + X) + u\t2 +1 + I)2 является Aj-генерирующим над полем К. Теорема 11. Пусть К - Гильбертово поле характеристики два. Тогда многочлен четвёртой степени G(X]t,u) вида: G{X; t, и) = X4 + (t2 +1 + 1)2Х2 + (t2 + * + 1)2Х + u2(2 + + I)4 является Aj-генерирующим многочленом над полем К характеристики два. Автор благодарен своему научному руководителю, профессору Яковлеву Анатолию Владимировичу за советы, беседы и помощь в работе по теме диссертации. ГЛАВА 1. СПЕКТР ГАЛУА МНОГОЧЛЕНОВ §1. Факторизационный спектр многочлена Пусть К - поле и дан многочлен / от г + 1 переменной ti,t2,...,tr,x} т.е. f = ao{ti,t2,..., tr) + a где ao(i, <2, • • •, r) ? ^Фъ h, ¦ ¦ •, r], on 7^ 0. С таким многочленом мы связываем три множества, которые называются его спектрами: 1) Факторизационный спектр. Факторизационным спектром многочлена f{t\,... ,ts;x) G K\t\,...,ts][x] степени n относительно х называется набор разбиений (nj > ... > тг??) числа п, где 1 < i < г, такой что: 1. Для любого г, 1 < г < s существуют такие элементы (специализации) ai...,as E К, что многочлен f(ai,...,as,x) раскладывается над К в произведение неприводимых многочленов степеней щ\..., щ{. 2. Если для некоторых ai,..., as G К многочлен /(ai,..., as, x) расклады-ваетсянад-jPC-B-произведение неприводимых многочленов степеней n'x > • • • > n's, то существует г, 1 < г < г, такое что (п[,... n's) = (щ\ ..., щ)). Напомним, что разбиением числа п называется набор натуральных чисел Щ > пг > . • • > tip, сумма которых равна п. 2) Спектр Галуа. Пусть К - поле, А - некоторое подмножество из К. Назовём последовательность транзитивных неизоморфных между собой подгрупп G\, G2, ¦. •, Gs группы Sn г-параметрическим спектром Галуа многочлена f E K\t\,..., tr, x] над К по отношению к множеству А, если при изменении параметров ti,...,tr в А группа Галуа многочлена / над К, в случае его неприводимости в К[х], принимает "значения" Gi,G2,...,Gs. Этот факт будем обозначать так: G2> ••-, Gs}. 3) Полный спектр Галуа. Назовём последовательность неизоморфных подгрупп G\y G2, •. •, Gp труп-" пы Sn г-параметрическим полным спектром Галуа многочлена f 6 K[ti, ?2, •. • ,tr,x] над К по отношению к множеству А С К, если при изменении параметров ?i,?2, ...,?г в А группа Галуа многочлена / над К принимает "значения" Gi,G2,...,Gp. Этот факт будем обозначать так: Spt Gal(/; th • • - , tr в А) = {Gu G2i • • • , Gp}. Замечание 1. В дальнейшем (в параграфе 2 главы 1 и в параграфах 2 и 3 главы 2) при нахождении спектров Галуа многочленов рассматриваются параметрические многочлены f(ti,t2,...7tk,X) с рациональными коэффициентами, неприводимые над полем Q(ti,t2,... ,?&), и в качестве множества А берётся кольцо целых чисел Z. Таким образом, параметры многочленов принимают всевозможные целые значения. В этом параграфе мы приведём примеры факторизационных спектров. Пример 1.1. Рассмотрим многочлен (1) f(x) = х5 + тх + п\ + п\ + п\ + п\ + 1 G Q[m, щ, п2, п3, п4, х], и покажем, что его факторизационный спектр состоит из разбиений: (5), (4,1), (3,2), (3,1,1) и (2,2,1). Действительно, все эти разбиения легко реализуются: хъ + х + Ь, хъ + 2х + 249 = {х4 - Зх3 + 9х2 - 27'х + 83) (ж + 3), х5 + ж + 1 = (я3 - х2 + 1)(ж2 + ж + 1), гс5 + 121ж + 120 = (х3 + Ах2 + 13а; + 40)(ж - 1){х - 3), ж5 + Иге + 12 = (ж2 + 2ж + 3)(ж2 - Зж + 4)(ж + 1). Остаются разбиения (2, 1, 1, 1) и (1, 1, 1, 1, 1). Покажем, что они не могут быть реализованы, т.е. что ни при каких рациональных значениях параметров многочлен (1) не может иметь трёх рационеальных корней. Предположим, что: тх п\-\-1 = (х2 + dx + е)(х — а)(х - Ь)(х - с). Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений: d — а — Ъ — с = О, е — cd — da — db + са + cb + ab = О, abd — cab — ae + acd — be + cdb — ce = 0, abe — abed + ace + free = m, abce = n = nj + n2 + 713 + n4 + 1. Из этой системы, выразив d и е через а, 6, с и подставив в третье уравнение системы, получим однородное диофантово уравнение третьей степени: (2) а3 + ab2 + Ъса + б3 + 6а2 4- с3 + ас2 + сб2 + Ьс2 + са2 = 0. Мы покажем далее, что единственными рациональными решениями этого уравнения являются такие: {а,Ь,с) = (А,0, —Л), (0, — А,А), (—А,А,0). Подставляя эти значения в последнее уравнение системы приходим к соотношению п\ + п\ + п\ 4- п\ + 1 = abce = 0, которое не может выполняться ни при каких рациональных щ, и потому разбиения (1,1,1,1,1) и (2,1,1,1) не могут быть реализованы. Поскольку уравнение (2) однородно, достаточно показать, что у него нет целых решений, кроме решений указанного выше вида. Этим мы и будем заниматься до конца рассмотрения примера. Уравнение (2) представляет собой эллиптическую кривую. Преобразуем её к виду Вейерштрасса. Будем использовать алгоритм, указанный в [2]: 1) Кубическая кривая F(a, b, с) вида (2) проходит через точку А(1, —1,0). 2) Рассмотрим проективное преобразование

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23586.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.