Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Топология слоения Лиувилля для новын интегрируемый случаев на алгебре Ли so(4)

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Топология слоения Лиувилля для новын интегрируемый случаев на алгебре Ли so(4)

Количество страниц	86

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23587.doc

Содержание	Содержание Оглавление 1 Основные определения и постановка задачи 13 1.1 Уравнения Эйлера на алгебре Ли... 13 1.2 Описание новых интегрируемых случаев на алгебре so(4) . . 14 1.3 Изоэнергетические поверхности... 17 1.4 Отображение момента... 18 2 Топология изоэнергетических поверхностей 21 2.1 Бифуркации гамильтонианов и инвариантов алгебры Ли so(4) 21 2.1.1 Бифуркационные диаграммы для класса гамильтонианов На^с. 21 2.2 Индексы критических точек... 25 2.2.1 Критические точки гамильтониана случая Соколова и их индексы... 26 2.2.2 Критические точки гамильтониана случая Борисова-Мамаева и их индексы... 33 2.3 Топология изоэнергетических поверхностей... 36 2.3.1 Постановка задачи... 36 2.3.2 Описание изоэнергетических поверхностей для гамильтониана случая Соколова... 40 3 Бифуркационные диаграммы отображения момента для слу- чая Соколова 49 3.1 Критические точки ранга нуль... 49 3.2 Бифуркационная диаграмма отображения момента Н х К в случае, когда интеграл обобщенной постоянной площади принимает нулевое значение ... 51 3.3 Бифуркационная диаграмма отображения момента Н х К для произвольного значения обобщенной постоянной площадей д ... 55 4 Топологический анализ интегрируемого случая Соколова 69 4.1 Тип критических точек ранга нуль... 69 4.2 Слоение на критические окружности в прообразе бифуркационных кривых... 72 4.2.1 Прообраз бифуркационных кривых, составляющих бифуркационную диаграмму... 72 4.3 Перестройки Лиувиллевых торов... 78 4.4 Грубая топологическая классификация изоэнергетических поверхностей ... 80 Литература 86 ВВЕДЕНИЕ Актуальность темы. Задача о движении твердого тела вокруг неподвижной точки занимает исключительное место в динамике. В этой области работали такие выдающиеся ученые, как Л.Эйлер, Ж.Лагранж, С. Пуассон, Ж.Лиувилль, К.Якоби, Г.Дарбу и многие другие. Важные результаты в этой области были получены русскими учеными С.В.Ковалевской, Н.Е.Жуковским, С.А.Чаплыгиным, В.А.Стекловым, A.M. Ляпуновым и Основные их достижения относятся к концу 19-го и началу 20-го века. В настоящее время по-прежнему не ослабевает интерес к этой задаче, так как разработаны современные методы для явного интегрирования уравнений и их топологического анализа (см. [1], [5], [9], [12], [18], [20]). Задача о движении твердого тела привлекала внимание крупнейших математиков. Дело в том, что движение тела описывается системой обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, так называемыми уранениями Эйлера-Пуассона, для которой известны только три общих интеграла. Кроме того, Якоби доказана теорема, которая показывает, что для сведения задачи к квадратурам достаточно найти еще один новый первый интеграл, не зависящий от времени. На поиск этого дополнительного интеграла потрачено немало сил. В некоторых специальных случаях удалось найти дополнительный интеграл, но до сих пор исследования в этом направлении продолжаются. Наглядное представление о движении твердого тела с помощью решений уравнений Эйлера-Пуассона оказалось трудным, так как эти решения обычно выражаются достоточно сложно. Поэтому большое значение имеет качественное исследование задачи о движении твердого тела. Одним из основных результатов в этом направлении является теорема Лиувилля, согласно которой неособая компактная совместная поверхность уровня первых интегралов вполне интегрируемой гамильтоновой системы есть объединение торов, заполненных условно-периодическими траекториями. Аппарат дифференциальной топологии оказался важным предметом качественного исследования этой задачи. Один из результатов в этом направлении принадлежат С.Смейлу [18], в этой работе с топологической точки зрения изучена проблема трех тел и разработаны топологические методы для исследования классических механических систем. Идеи Смейла развиты другими авторами, в том числе М.П.Харламовым [28] и Я.В.Татариновым. Я.В.Татариновым исследованы бифуркации двух первых интегралов ( интеграла площадей и интеграла энергии [20]). В настоящее время топологический анализ интегрируемых гамильто-новых систем плодотворно развивается благодаря работам А.Т.Фоменко. В работах [23], [25] была построена теория типа Морса для интегрируемых гамильтоновых систем, и полностью исследован вопрос о том, как перестраиваются торы Лиувилля в окрестности критических поверхностей уровня первых интегралов вполне интегрируемой системы. А.Т.Фоменко и Х.Цишангом [23], [25] построен инвариант интегрируемого боттовского нерезонансного гамильтониана и дана топологическая классификация изо-энергетических поверхностей интегрируемых гамильтоновых систем. Классическими примерами интегрируемых гамильтоновых систем являются хорошо известные случаи интегрируемости в динамике твердого тела и других задачах физики и механики.Большинство из этих случаев интегрируемости исследовались с различных точек зрения многими авторами. В частности, топология таких систем изучалась методами теории тополо- гической классификации, развитой в работах Фоменко и его учеников [1]. Так, в работах [9], [12] были вычислены инварианты Фоменко- Цишанга для случаев Эйлера, Лагранжа, Ковалевской, Клебша, Стеклова, и некоторых других классических случаев интегрируемости уравнений Кирхгофа, (см. [4], [3], [10], [26], [16], [11], [13],[27], [28] [14], [2], [17], [21], [15] ). Как хорошо известно, уравнения Кирхгофа, описывающие различные задачи физики и механики( в том числе движение твердого тела), могут быть представлены в виде уравнений Эйлера на алгебре Ли е(3) группы изометрий трехмерного евклидова пространства. Различные обобщения классических случаев интегрируемости уравнений Эйлера для других алгебр Ли, в частности для алгебр Ли so(4), so(3,1) также хорошо известны. Дело в том, что имеется естественное однопара-метрическое семейство таких алгебр, содержащее и алгебру Ли е(3). Поэтому большинство классических случаев интегрируемости получаются как предельный случай этих обобщений. В работах [19], [6], [5] были описаны новые интегрируемые случаи уравнений Эйлера на алгебрах Ли so(4), so(3,1), е(3). Гамильтонианы всех этих случаев — квадратичные функции (на алгебре Ли), а интегралы — полиномы степени 4. Алгебраические свойства этих интегрируемых случаев пока не очень понятны, хотя похоже, что имеются качественные отличия от известных ранее случаев интегрируемости (например, от случая Ковалевской, где дополнительный интеграл также имеет степень 4). Поэтому интересно исследовать эти новые интегрируемые случаи с топологической точки зрения. Например, сравнить их топологические свойства с аналогичными свойствами классических интегрируемых случаев. Поскольку дополнительный интеграл имеет степень 4, вычисление раз- личных топологических характеристик для этих случаев интегрируемости сложнее, чем для большинства классических случаев интегрируемости, где дополнительный интеграл квадратичный. В настоящей диссертационной работе исследованы топологические свойства одного из указанных выше случаев интегрируемости, а именно, случая интегрируемости на алгебре Ли so(4). Для этого случая исследованы бифуркации инвариантов алгебры so(4) и гамильтониана. В частности, вычислены индексы критических точек гамильтониана (как функции на 4-мериых орбитах алгебры), а также описан топологический тип изоэнергетических поверхностей для всех значений энергии и параметров, задающих орбиту случая Соколова(См. рис.2.4). Полностью исследованы топологические свойства этого случая, вычислены все возможные молекулы (см.таблицу 4.1), т.е. найден инвариант Фоменко- Цишанга (с точностью до грубой эквивалентности) и дана грубая классификация изоэнергетических поверхностей для этого случая (см. рис. 4.2). Цель работы. Цель настоящей работы заключается в разработке метода описания изоэнергетических поверхностей гамильтоновых систем на алгебре Ли so(4), исследовании топологии слоения Лиувилля для интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(4) и в частности, вычислении инварианта Фоменко-Цишанга для этого случая. Методика исследования. Исследования, проводимые в диссертационной работе, основаны на методах дифференциальной геометрии и топологии. В работе используется теория классификации интегрируемых гамильтоновых систем, разработанная А.Т.Фоменко. Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и за- ключаются в следующем: — Полностью изучены бифуркации инвариантов алгебры Ли so(4) т.е. /ь/2 и гамильтонианов случая Борисова- Мамаева и случая Соколова. — Полностью описаны изоэнергетические поверхности для интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(4) с помощью разработанного в диссертации нового метода. — Определены типы особенностей ранга нуль отображения момента. — Определены перестройки торов Лиувилля в окрестности всех особых поверхностей уровня гамильтониана и интеграла. — Вычислен инвариант Фоменко-Цишанга для случая Соколова. Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы при изучении особенностей интегрируемых гамильтоновых систем, а также при топологическом анализе таких систем. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на: — Научно-исследовательском семинаре "Современные геометрические методы "под руководством академика РАН А.Т.Фоменко неоднократно. — семинаре "Topology and Geometry"Uni. Tarbiat-Moallem, Tabriz, Iran, 15-17 July, 2004. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [29]-[33]. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав, списка литературы, 7 рисунков и 1 таблицы. Благодарность. Автор выражает свои благодарности своему научному руководителю, Анатолию Тимофеевичу Фоменко за постановку задачи и научное руководство и Андрею Александровичу Ошемкову за многочис-леные обсуждения, советы и ценную помощь. Автор благодарен Алексею Викторовичу Болсинову за консультации, поддержку и помощь в течении моей учёбы. А также благодарен всем сотрудникам кафедры дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета Московского государственного университета. Краткое содержание работы Во введение обсуждается актуальность тематики, история вопроса, предмет и метод исследования. Глава 1 посвящена описанию новых интегрируемых случаев уравнении Эйлера на алгебре Ли so(4), которые недавно найдены А.В.Борисовым, И.С. Мамаевым и В.В. Соколовым. Рассмотрим на пространстве so(4), двойственном к алгебре so(4), линейные координаты Si, S2, S3, Ri, R2, Rs-Скобка Ли-Пуассона имеет вид : {Si, Sj} = CijkSk, {Si, Rj} — eijkRk, {Ri, Rj} = tijkSk- (1) /l23 где €ijk — знак перестановки I Гамильтонианы и первые интегралы новых интегрируемых случаев уравнений Эйлера на so(4), найденых Борисовым, Мама Sf + Si -R\-R22- +(1 - a2)(SiR2 - S2Rl)2 + (S3R1 - Si#3)2 - a2(S2R3 - S3R2)2 Случай Борисова-Мамаева: H2 = (a- -i-)S? + 2aS22 + aS2z + SXR2 - S2Ri (3) К2 = Aa2Sl{Sl + Si + Sf) + 4aS2(S2(SlR2 - S2Ri)- -SsiSA - 51Д3)) + (ЗД - 5^3)2 + (Si/fe - S2#i)2- (4) -Sf (Д? + Щ + Д2.) Гамильтонианы в этих случаях— квадратичные функции (на алгебре Ли), а интегралы— полиномы степени 4. С алгебраической точки зрения эти случаи качественно отличаются от известных ранее случаев интегрируемости, например, от случая Ковалевской, где дополнительный интеграл также имеет степень 4. Глава 2 посвящена описанию бифуркаций инвариантов /1, f2 и гамильтонианов Hi, Н2. Для этого во второй главе построена бифуркационная диаграмма Т,д^ для более общего класса гамильтонианов вида: На,ь,с = aS\ + bSl + cSl + SiR2 - S2Ri, (5) а, 6, с — некоторые вещественные параметры. Класс гамильтонианов На^с содержит и гамильтонианы интегрируемых случаев Борисова- Мамаева и Соколова. На рис.(2.1) изображены бифуркационные диаграммы для некоторых значений параметров а, Ь, с. Также во второй главе найдены индексы критических точек гамильтонианов Н\, Н2 как функций на многообразии Mfg. Топология изоэнергетических поверхностей Ql^ т.е. поверхностей постоянной энергии, является одной из важных характеристик при качественном исследовании интегрируемых гамильтоновых систем. Для описания изоэнергетических поверхностей в алгебре Ли е(3) группы движений пространстве R3 имеется так называемый метод Смейла-Татаринова. С помощью этого метода описана топология изоэнергетических поверхностей для основных классических интегрируемых случаев уравнений Эйлера на алгебре Ли е(3) (см. [1],[9], [12]). Этот метод, вообще говоря, для алгебры Ли so(4) не годится. Во второй главе изложен новый метод, разработанный автором совместно с А.А. Ошемковым для описания изоэнергетических поверхностей на алгебре Ли so(4) с гамильтонианом случая Соколова, и полностью описаны изоэнергетические поверхности для этого случая. Доказана следующая теорема: Теорема 1. Связные компоненты поверхностей постоянной энергии Q^ h при различных значениях д1 h для гамильтониана Н\ гомеоморфны либо т,рехмерной сфере §37 либо связной сумме нескольких экземпляров многообразий S1 х S2. Более точно, областям,, отмеченным на рис. (2.4) цифрами 1-5, соответствуют следующие многообразия Q^^-' Глава 3 работы содержит изучение бифуркаций гамильтониана и интеграла случая Соколова. Построена бифуркационная диаграмма для отображения момента при различных значениях инварианта fi (обобщенный интеграл площадей), а также описаны особые точки ранга нуль отображения момента. Бифуркационные диаграммы отображения момента зависят от параметра а и значения g интеграла /2. На Рис. (3.2), (3.3) и (3.1) изображены бифуркационные диаграммы отображения момента Н х К при различных значениях g и а. Глава 4, результаты которой были получены автором в сотрудничестве с А.А. Ошемковым, посвящена топологическому анализу случая Соколова. В ней полностью описано слоение Лиувилля, найдены инварианты Фоменко-Цишанга ( с точностью до грубой эквивалентности) для случая Соколова на алгебре Ли so(4)(cm. таблицу 4.1), исследованы перестройки торов Лиувилля (см. рис.4.1). Также дана грубая классификация изоэнер-гетических поверхностей случая Соколова (см. рис.4.2). Доказанные нами в четвертой главе теоремы подтверждают, что интегрируемый случай Соколова в алгебре Ли so(4) с интегралом степени 4 вида (1.3) является новым случаем на алгебре so(4), и этот случай качественно отличается от найденных ранее интегрируемых случаев. Глава 1 Основные определения и постановка задачи 1.1 Уравнения Эйлера на алгебре Ли Пусть G — конечномерная алгебра Ли, a G — соответствующая коалгебра (пространство линейных функций на G). Рассмотрим базис ei,...,ew в алгебре G. Пусть с^- — структурные константы алгебры G в этом базисе: ^ Пусть #i,..., xn — координаты на G, соответствующие базису ei,..., Определение 1.1.1. Скобка Пуассона на пространстве G, задаваемая формулой где f,g — гладкие функции на G, называется скобкой Ли-Пуассона для алгебры Ли G. Определение 1.1.2. Уравнения задающие динамическую систему па G; где Н — гладкая функция на G, называются уравнениями Эйлера для алгебры Ли G. Хорошо известно (см., например, [22]), что динамическая система, задаваемая уравнениями Эйлера, является гамильтоновой на орбитах коприсо-единенного представления алгебры Ли G. Динамические системы, описывающие некоторые задачи механики и физики, часто могут быть записаны в виде уравнений Эйлера для некоторой алгебры Ли. Например, различные задачи о движении твердого тела описываются уравнениями Эйлера для алгебры Ли е(3) (см. [22], [1], [5]). Эти системы являются гамильтоновыми системами с двумя степенями свободы на орбитах алгебры Ли е(3). Интегрируемость таких систем означает существование интеграла, функционально независимого с гамильтонианом Я на орбитах. Имеются различные обобщения этих задач для других алгебр Ли [24]. В следующем разделе описываются интегрируемые системы на алгебре Ли so(4) с квадратичным гамильтонианом и интегралом степени 4, найденные недавно А.В.Борисовым, И.С.мамаевом и В.В.Соколовым (см [19], [6], [5]). 1.2 Описание новых интегрируемых случаев на алгебре so(4) Рассмотрим на пространстве so(4), двойственном к алгебре Ли so(4), линейные координаты Si, S2-, S3, Ri, R2, Яз, в которых скобка Ли-Пуассона имеет вид {Si, Sj} = €ijkSk, {Si, Rj} = tijkRk, {Ri, Rj} = 4jhSh- (1-1) /l 23 где €ijk — знак перестановки I у i j к Координаты (Si, S2, S3) и (Ri, R2, R3) удобно рассматривать как компоненты двух трехмерных векторов S и R. где через ( , ) обозначено евклидово скалярное произведение в М3 (в частности, S2 и Я2 — скалярные квадраты векторов S и Я). Функции /i и /2 коммутируют (относительно скобки (1)) со всеми функциями, их градиенты порождают ядро скобки Ли-Пуассона, а их совместные поверхности уровня М^д = {(S,R)\fi = с, /2 = #} являются орбитами коприсоединенного представления. Ограничение скобки (1) на Мд невырождено, т.е. задает на орбитах симплектическую структуру. При \д\ < \|с\|/2 эти орбиты являются 4-мерными подмногообразиями в М6(5, Я), диффеоморфными S2 x S2, а при \д\ = \|с\|/2 (особые орбиты) они диффеоморфны S2. Пусть Н — некоторая гладкая функция (гамильтониан) на WL6(S,R). Один из способов топологического исследования системы с гамильтонианом Н заключается в рассмотрении отображения фазового пространства системы в пространство значений интегралов системы. В нашем случае это отображение Д х /г х Я : Е6 (5, Я) —У Е3. Можно зафиксировать значение интеграла /i и рассмотреть отображение /гхЯ: {(5, Я) \| /i(5, Я) = с} —> R2. Заменой координат (5, Я) —> y/c(S,R) случай произвольного с сводится к случаю с = 1. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать отображение f2xH:S5^ R2, где S5 = {(5, Я) \| /i(5, Я) = 1}. Рассмотрим на пространстве so(4), двойственном к алгебре so(4), линейные координаты Si, S2, S3, R\, Я2, Я3. Скобка Ли-Пуассона имеет вид (1.1). В работах [6], [5] и [19] представлены новые интегрируемые случаи уравнений Эйлера на so(4), которые найдены Борисовым, Мамаевым и Соколовым. Гамильтонианы и первые интегралы этих случаев имеют следующий вид: Случай Соколова: +(1 - Случай Борисова-Мамаева: = «si - a SiR2 — 52/?i (1 •2) 2 i c2 R\- p2 p2\ , /t2 — -TlgJ-r + (5ЗЙ ЙЗ)2 " "2(S2 i-^з — S$R2)2 (1 .3) Я2 = (о - J-)^!2 + 2a5\| + а5\| + 5^2 - ^i^i (1.4) 4а К2 = -S3(S3R! - S1R3)) + (S3R1 - SiRz)2 + (SXR2 - S2Rr)2- (1.5) Эти гамильтонианы и интегралы можно записать в более компактном виде, используя следующие обозначения. Пусть вектор Q = (Qi, Q2, Qz) — это векторное произвение двух вектров S и R, т.е. Q = S х Я, и пусть q = S2 - R2, где S2 = S? + 522 + 5\| и Д2 = Д2 + i?\| + Я2. 1.3 Изоэнергетические поверхности Система, задаваемая уравнениями Эйлера для алгебры so(4), является га-мильтоновой на 4-мерных орбитах алгебры. Важной характеристикой такой системы является топология поверхностей уровня гамильтониана Я. Она зависит от значения гамильтониана h и от параметров, задающих орбиту. Дадим следующее определение. Определение 1.3.1. Изоэнергетической 3-поверхностью Q? h называется совместная поверхность уровня инвариантов /i, /2 алгебры ли so(4) и гамильтониана Н', заданных на пространстве IR.6(S', R), т.е. ф?л = i^1 = lJ2 = g,H = h}. Для изучения изоэнергетических поверхностей мы рассмотрим отображение h х Я : {(S, R) \| Л(5, R) = 1} -> R2( заданное обычной формулой (/2 x H)(S, R) = (/2(3, R), H(S, R)). Образ множества критических точек отображения /2 х Н является би-фуркационой диаграммой ? в плоскости R2(g, h). Полный прообраз любой точки (д, К) $. Е является неособой изоэнергетической 3-поверхностью Q? h Определение 1.3.2. Критические точки отображения fi x H — это точки, где ранг этого отображения меньше 2. Это в точности те точки, в которых значение функции /i равно 1, а градиенты функций Я, /i, /2 линейно зависимы. Множество всех критических точек отображения /2хЯ обозначим через

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23587.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.