Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию О свободных (конформный) алгеБрак Ли

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	О свободных (конформный) алгеБрак Ли

Количество страниц	89

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23589.doc

Содержание	Содержание Введение 3 1 Правонормированный базис свободной алгебры Ли и слова Линдона-Ширшова 11 1.1 Основные определения и результаты... 11 1.2 Отображение, перерабатывающее базисные правонормированные слова в слова Линдона-Ширшова... 14 1.3 Правонормированный базис свободной алгебры Ли... 22 1.4 Новая расстановка скобок на ассоциативных словах Линдона-Ширшова 33 2 Правонормированный базис свободной супералгебры Ли 40 2.1 Основные определения ... 40 2.2 Отображение, перерабатывающее слова множества Qx в слова множества S'x ... 44 2.3 Формулировка и доказательство основной теоремы... 48 3 О свободных конформных алгебрах Ли 62 3.1 Лемма о композиции для модулей ... 62 3.2 Конформные и вертексные алгебры... 65 3.3 Порождающие свободной конформной алгебры Ли... 72 \ Список литературы 85 Работы автора по теме диссертации 89 Введение Впервые базис свободной алгебры Ли был найден М.Холлом [30] в 1950г. История возникновения этого базиса восходит к работам Ф.Холла [31] (1933), В.Магнуса [37] (1937) и Е.Витта [42] (1937)(см. об этом, например, в книгах В.Магнус, А.Каррас, Д.Солитер [9] и Н.Бурбаки [6]). В диссертации А.И.Ширшова [13] (1953, опубликовано в [15], 1962) была найдена более общая схема построения баз свободной алгебры Ли, включающая базу Холла. Схема Ширшова была переоткрыта значительно позднее в работе [41] (см. также книгу Х.Рейтенауера [39]). Частным случаем схемы Ширшова является база, построенная в 1958 г. А.И.Ширшовым [14] и Р.Линдоном [28], состоящая из правильных (по Ширшову) или стандартных (по Линдону) неассоциативных слов. В работах, опубликованных до появления книги М.Лотера [35], эти слова назывались правильными (ассоциативными и неассоциативными) словами (Ширшова) (см., например, П.Кон [7], Ю.А.Бахтурин [1]). В книге М.Лотера [35] эти слова названы словами Линдона, так лее они называются и в книге Х.Рейтенауера [39]. Мы будем называть их словами Линдона-Ширшова, следуя, например, [18]. А.И.Ширшов в работе [16] (1962) применил свои правильные слова для построения теории базисов Гребнера-Ширшова (подробнее об этом будет сказано ниже). Одно из первых применений общей базисной схемы Ширшова было дано Л.А.Бокутем [2] (1962), который построил базы свободной алгебры Ли L, совместимые с рядами степеней этой алгебры: L Э Lni Э (L711)"2 D ...(... (L711)"2).. .) где rii > 2, г > 1. В частности, при щ = 2, г > 1, получаем базу свободной алгебры Ли, совместимую с производным рядом. Начальные куски этой базы дают базы свободных разрешимых алгебр Ли, переоткрытые позднее Х.Рейтенауером [38] (см. также его книгу [39]). Слова Линдона-Ширшова нашли многочисленные применения и в теории супералгебр Ли. Так, например, А.А.Михалев [10] и А.С.Штерн [12] показали, что базис свободной супералгебры Ли состоит из неассоциативных слов Линдона-Ширшова и квадратов неассоциативных нечетных слов Линдона-Ширшова (см. также [17]). Г.П.Кукин [8] нашел более общую, чем схема Ширшова, схему построения баз свободных алгебр Ли. Часть этой работы была посвящена левонормированной базе, но в этой части имеются ошибки. Укажем их в явном виде. Будем следовать обозначениям работы [8]. Правонормированные слова строятся в примере 3 работы [8], там же приведено доказательство. Возьмем X = {х\, х2}, где xi > х2. Тогда Со = {xi,x2}; Pi = {zi}, Аг = {х2} и Сх{1) = {хг, ххх\ \ г = 0,1,...}. Следовательно, Р^ — {xiX2}, Ai2 = {xi}; Р13 = {^1^2}) -^гз = {^ь а^г}- Откуда мы получаем, что Сг(1,2) = {(xix2)x\ \| г — 0,1,...}, С2(1,3) — {(xixf)xi,...}. Из С2(1,2) мы получим, что Рх22 = {{xix2)xi}, Л122 = {^1^2}- Поэтому С3(1,2,2) = {(xiX2)xi(xix2y \| г = 0,1,...} (все слова ассоциативные). Здесь мы выписали только те множества Ск(т\,... ,rfc), из которых нам потребуется выбрать некоторые элементы. Построение множеств Ск(т\,... ,7) описано в [8], отметим только, что на каждом новом шаге этого построения длина слов увеличивается. Множества Со, С\(1), Сг(1,2), С2(1,3), С3(1,2,2) содержатся в множестве ассоциативных слов F. На всех словах из F скобки расставляются левонормированным образом [... [[[rr^ZjJrrjj] • ¦ ¦], полученное множество обозначается через F. В [8] утверждается, что множество F является базисом свободной алгебры Ли. При доказательстве линейной независимости автор пишет: "Запишем элемент / € F в алгебре UL[xa]. Очевидно, в его запись входит ровно один элемент из F - это / с коэффициентом 1." Здесь UL[xa] — свободная ассоциативная алгебра, порожденная множеством {ха} и / — слово, получающееся из / снятием всех скобок. Рассмотрим слово х\х\х\ € Сг(1,3). Тогда [[[[ж^г]^]^] = -2(x2xi)2 + х\х\ - х\х\ + 2(х1х2)2. Мы видим, что слово х\х\х\ вообще не входит в эту запись. Поскольку доказательство линейной независимости строится на этом ошибочном утверждении, оно не может быть исправлено. Кроме того, в доказательстве того, что F порождает свободную алгебру Ли, существенно используется следующий факт: если Д ? F и х$ > ха, где хр - первая буква в слове /i, а ха - любая буква исходного алфавита, то fixa € F. Это утверждения также не верно, поскольку если рассмотреть слово Д = {х\Х2)х\{х\Х2) € Сз(1,2,2), то легко можно заметить, что слова f\X\ и f\x2 не принадлежат множеству F . В работах Д.Блессенохла, Х.Лауе [24], Р.Брайента, Л.Ковача, Р.Штёра [26] и С.Гуилфойла, Р.Штёра [32] построены базисы свободной алгебры Ли, состоящие из многочленов. В упомянутой выше работе [16] 1962 года А.И.Ширшов ввел понятие композиции для лиевских многочленов (на самом деле, неявно, композиция включения была определена в 1958 году в [14]), а Б.Бухбергер [27] в 1965г. - аналогичное понятие для коммутативных многочленов (s-многочлены). Эти понятия тесно связаны с понятиями множеств (коммутативных и лиевских) многочленов, замкнутых относительно взятия композиции (для лиевских полиномов эта терминалогия была введена Л.А.Бокутем в [3]). Лемма Ширшова о композиции [16] и теорема Бухбергера [27] утверждают, что если множество S замкнуто относительно композиции (взятия s-многочленов), и / € Id(S), то старшее слово / содержит старшее слово многочлена из S, т.е. / = usv для некоторого s E S. Замкнутые относительно композиции множества в случае коммутативных алгебр Б.Бухбергер назвал базисами Гребнера. В последнее десятилетие эти множества для алгебр Ли и ассоциативных алгебр стали называть базисами Гребнера-Ширшова. Важным следствием леммы о композиции является Composition-Diamond лемма (CD-лемма), которая утверждает, что множество S (унитарных лиевских или ассоциативных многочленов) является базисом Гребнера-Ширшова тогда и только тогда, когда S'-редуцированные слова образуют линейный базис соответствующей алгебры с определяющими соотношениями S. Для ассоциативных алгебр последнее утверждение содержится в работах Л.А.Бокутя [4] и Дж.Бергмана [23]. В восьмидесятых годах А.А.Михалев [11] распространил технику композиций на случай супералгебр, доказав лемму о композиции для цветных супералгебр. С-Дж.Канг и К.Х.Ли [34] доказали аналог леммы Ширшова о композиции для модулей. Теория базисов Гребнера-Ширшова построена и для конформных алгебр (см. следующий абзац). Понятие конформных алгебр появилось в теории вертексных алгебр, которая, в свою очередь, возникла в середине 80-х годов из математической физики (релятивистской квантовой теории поля и теории струн). Впервые вертексные алгебры были введены (неформально) в работе А.А.Белявина, А.М.Полякова, А.Б.Замолодчикова [22], формальное определение было дано Р.Борчердсом [25]. В.Кац в книге [33] дал формальное определение конформной алгебры и использовал его для изучения вертексных алгебр. Вертексные алгебры нашли применение и в теории представлений простых конечных групп, а именно, в построении Moonshine представления Монстра (см. работы [25], [29]). В работе [25] Р.Борчердс анонсировал существование свободных вертексных алгебр (их существование не следует из общих теорем универсальной алгебры, так как класс вертексных алгебр не образует многообразия). Этот результат был получен М.Ройтманом [40]. В той же работе М.Ройтман доказал существование свободных ассоциативных конформных алгебр (другое доказательство см. в [20]). Л.А.Бокуть, И.Фонг и В.-Ф.Ке [21] распространили идеи и технику базисов Гребнера-Ширшова на случай ассоциативных конформных алгебр. Настоящая работа посвящена построению правонормированных базисов свободной алгебры Ли и свободной супералгебры Ли (главы 1 и 2). Кроме того строится базис подпространства свободной конформной алгебры Ли, натянутого на слова длины два от свободных порождающих (глава 3). Методы исследования. В работе используются методы комбинаторной теории колец, структурной и комбинаторной теорий конформных и вертексных алгебр. Основные результаты. 1) Построен правонормированный базис свободной алгебры Ли. 2) Определена новая расстановка скобок на ассоциативных словах Линдона-Ширшова. Доказано, что полученные лиевские слова образуют базис свободной алгебры Ли. Для этого базиса доказан вариант CD-леммы. 3) Построен правонормированный базис свободной супералгебры Ли. 4) Найден базис подпространства свободной конформной алгебры Ли, натянутого на слова длины два от свободных порождающих. Все полученные результаты являются новыми, снабжены полными доказательствами и могут быть использованы для дальнейшего развития теории (супер)алгебр Ли, теории конформных и вертексных алгебр. Апробация работы. Результаты диссертации были представленны на Международной алгебраической конференции памяти З.И.Боревича (Санкт-Петербург, 2002), на XXXIV Региональной молодежной школе-конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики"(Екатеринбург, 2003), на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения."(Тула, 2003), на Международной алгебраической конференции (Москва, 2004). Результаты также докладывались на семинаре им. А.И.Ширшова "Теория колец" ИМ СО РАН, семинаре "Алгебра и логика" в Новосибирском государственном университете. Публикации. Все основные результаты опубликованы в [43] — [49]. Структура и объем работы. Диссертация изложена на 89 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы из 49 наименований. Содержание диссертации. Первая глава диссертации посвящена линейным базисам алгебр Ли. В §1.1 приведены необходимые определения и результаты. Основная часть данной главы посвящена построению базиса свободной алгебры Ли, состоящего из правонормированных слов [а»1[а^[... [сц4-1а^]...]]], где а^. - свободные порождающие. Существенное применение здесь нашли слова Линдона-Ширшова. А именно, для доказательства линейной независимости построенного множества правонормированных слов в §1.2 определяется биективное отображение, которое перерабатывает (с сохранением состава) базисные правонормированные слова в (неассоциативные) слова Линдона-Ширшова. При этом важную роль играет найденное представление слов Линдона-Ширшова с выделенными старшими буквами. Это представление и связанные с ним свойства приводятся в начале параграфа. В §1.3 доказывается, что определенные в §1.2 правонормированные слова порождают свободную алгебру Ли как векторное пространство, т.е. являются ее базисом. В заключительном §1.4 этой главы мы определяем новую расстановку скобок [[w]] на ассоциативных словах Линдона-Ширшова w. Новая расстановка скобок (как и расстановка скобок Линдона-Ширшова) удовлетворяет следующему свойству: старшее слово ассоциативного многочлена [[w]] совпадает с w. Мы доказываем, что множество всех слов Линдона-Ширшова с новой расстановкой скобок образует базис свободной алгебры Ли. Использование здесь правонормированных базисных слов из предыдущего параграфа дает возможность доказать эту теорему для любой алгебры Ли над ассоциативным коммутативным кольцом с единицей. Это в свою очередь позволяет доказать, что правонормированные слова из §1.3 являются базисом также для любой алгебры Ли над ассоциативным коммутативным кольцом с единицей. В конце §1.4 мы доказываем аналог CD-леммы для новой расстановки скобок. Во второй главе на основе тех же идей мы строим правонормированный базис свободной супералгебры Ли над полем характеристики отличной от двух и трех. Этот базис устроен заметно сложнее, чем правонормированный базис свободной алгебры Ли, и доказательства многих необходимых лемм стали более сложными. Как и в случае обычных алгебр Ли, для доказательства линейной независимости выбранных правонормированных слов мы строим отображение, образом которого являются слова Линдона-Ширшова и квадраты нечетных слов Линдона-Ширшова, т.е. базисные слова свободной супералгебры Ли из [10] и [12]. В этой главе мы используем вспомогательные результаты из предыдущей главы, в частности, представление слов Линдона-Ширшова с выделенными старшими буквами. Третья глава диссертации посвящена свободным конформным алгебрам Ли. В §3.1 приводится новая формулировка леммы о композиции для модулей, что дает новые основания для теории базисов Гребнера-Ширшова для модулей. В §3.2 мы даем определения конформной и вертексной алгебр, и выписываем соотношения свободной вертексной алгебры $n{B), используя которые можно быстрее, чем это было у М.Ройтмана [40], получать представление любого элемента из $n{B) через базис. Также в этой части мы доказываем, что kerD1 = kl, г > 1, в $n(B) и kerD1 = 0 в свободной конформной алгебре Ли C(N,B). В §3.3 мы находим множество линейных порождающих свободной конформной алгебры Ли C(N, В) с постоянной функцией локальности N(a, b) = N, a,b G В. Мы доказываем, что соотношения (47), (48), (49) образуют базис Гребнера-Ширшова к(Х+)-модуля C'(N,B), который является прообразом свободной конформной алгебры Ли относительно некоторого гомоморфизма k(X+)-модулей. В качестве следствия мы получаем базис к(Х+)-модуля C'{N, В). В заключительной части этого параграфа найден базис подпространства в C(N, В), натянутого на слова длины два, он совпадает с базисными словами длины два к(Х+)-модуля C'(N,B). Последнее утверждение не справедливо для слов большей длины. Автор глубоко признателен своему научному руководителю Л.А.Бокутю за постановку вопросов, плодотворные дискуссии и поддержку. 1 Правонормированный базис свободной алгебры Ли и слова Линдона-Ширшова 1.1 Основные определения и результаты Пусть X = {пг\г G /} - линейно упорядоченное множество, к - поле, Ые(Х)-свободная алгебра Ли над полем к, порожденная множеством X. Обозначим через (X) свободный моноид всех ассоциативных слов в алфавите X (включая пустое слово Пусть w = а^а^ .. .a,it - элемент свободного моноида (X). Тогда неупорядоченный набор Oix, Oi2,..., u{t называется составом слова го. Буква а является старшей буквой слова го, если а > a,is для всех s — 1,..., t и а = aip для некоторого р € {1,...,?}. Через го = a,it.. -а^а^ будем обозначать инверсию слова го, а через \|го\| его длину t. Введем два способа линейного упорядочения множества (X): (i) (лексикографический порядок) и < 1 для любого непустого слова и и, по индукции, и < v, если и = uiu'', v = ujv', где (ц < cij или Oj = а,- и и' < v'\ (ii) (deg-lex порядок) и « v, если \|u\| < \v\ или \|it\| = \v\ и и < v. Будем называть слово и строго лексикографически меньшим слова v, в обозначениях и 1. Если и < v, то либо и <<, v, либо слово v является собственным началом слова щ 2. Если и < v, то zuw < zv для любых z,w € (X); 3. ЕСЛИ U 4. Если и < v, где и = ua,i для некоторого слова й > v л некоторой буквы а^, то й является началом (возможно, несобственным) слова v. Алгебру Ли Ые(Х) отождествим с подпространством свободной ассоциативной алгебры к(Х), порожденном X и замкнутом относительно операции [ху] — ху — ух. Для / € к(Х) обозначим через / максимальное ассоциативное слово полинома / относительно порядка deg-lex. Полином / называется нормированным, если / = / + Y^i OLiVi, ГДе «i e k, Vi € {X) И Vi « f. Определение 1.1 ([15], [36]) Ассоциативное слово w называется ассоциативным словом Линдона-Ширшова, если для любых непустых слов и, v таких, что w = uv, справедливо w > vu. Если / 6 Ые(Х), то / - ассоциативное слово Линдона-Ширшова. На каждом ассоциативном слове Линдона-Ширшова w по индукции молено расставить скобки, пользуясь следующим правилом: И = [ММ], где v - самое длинное собственное ассоциативное подслово, являющееся словом Линдона-Ширшова (в этом случае и - также ассоциативное слово Линдона-Ширшова). Тогда слово [w] называется (неассоциативным) словом Линдона-Ширшова. В работе А.И.Ширшова [14] и Р.Линдона [28] было доказано, что множество всех слов Линдона-Ширшова в алфавите X образует линейный базис свободной алгебры Ли Ые(Х). Пусть w = uhv, где w и h - ассоциативные слова Линдона-Ширшова. Из [14] следует, что минимальное неассоциативное подслово слова [w], накрывающее h, имеет вид [he], где с G {X). Пусть с = С\с^ ¦ ¦ ¦ От, т > 1, где каждое q - ассоциативное слово Линдона-Ширшова и с\ < сг < ... < Ст. Обозначим через [uhv]h неассоциативное слово, полученное из [w] заменой послова [he] на (... (([^][ci])[c2])... [cm]). Для данного слова имеем [uhv]h — w. Пусть / - нормированный л невский полином, такой что / = h - ассоциативное слово Линдона-Ширшова, и / является подсловом w, w — ufv. Обозначим через [ufv]j лиевский полином, полученный из [uhv]h заменой [h] на /. Определение 1.2 Пусть fug нормированные лиевские полиномы, и пусть слово w такое, что w — fu = vg, где и,v G (X) и \f\ + \g\ > \w\ (в этом случае w автоматически будет ассоциативным словом Линдона-Ширшова). Композиция пересечения полиномов fug относительно w определяется следующим образом: Определение 1.3 Пусть fug- нормированные лиевские полиномы и пусть слово w такое, что w = f = ugv, где и, v G (X). Композиция включения полиномов f, g относительно w определяется как Любая композиция обладает следующими свойствами: {f,g)w € Id(f,g) и (f,g)w«w. Определение 1.4 (fSj) Если дано множество нормированных лиевских полиномов S, то композиция (/,g)w двух полиномов f,g€.S называется тривиальной относительно S, если (f,g)w = J2iai[uisivi]si, где cti G к, щ,у^ G (X), Si G S и и « w. Определение 1.5 Пусть S-множество нормированных лиевских полиномов. S называется базисом Гребнера-Ширшова, если любая композиция двух элементов из S является тривиальной относительно S. Слово Линдона-Ширшова [w] называется ^-редуцированным, если w Ф usv для любого s G S и и, v e (X). Важным результатом является лемма Ширшова о композиции. Напомним ее в том виде, в котором она была приведена в [3]: Лемма о композиции Если множество S замкнуто относительно композиции и f € Id(S), то /= usv для некоторого s б S и u,v 6 Основным следствием этой леммы является следующее утверждение: Composition-Diamond лемма Пусть S- множество нормированных лиевских полиномов. Тогда S является базисом Гребнера-Ширшова тогда и только тогда, когда множество всех S-редуцированных слов Линдона-Ширшова образует линейный базис алгебры Lie(X)/Id{S) = Lie(X\S). 1.2 Отображение, перерабатывающее базисные правонормированные слова в слова Линдона-Ширшова Определение 1.6 Будем говорить, что ассоциативное слово и (строго) почти больше или равно ассоциативному слову v, в обозначениях и >- v (и >~s v), если и < v (и v и некоторой буквы п{. Заметим, что если и у v, то й - (возможно, несобственное) начало слова v (см. §1.1, свойство 4.). Если и ys v, где и — йа^ то й является собственным началом слова v, т.е. й > v. Лемма 1.1 Пусть v - некоторое ассоциативное слово и Wi — (av)miaui, w2 = (av)m2au2 - ассоциативные слова с общей старшей буквой а, причем v,ui,u2 не содержат букву a, m,j > 0, Uj >- v. Тогда из условия w2 < w\ следует, что слово и>г строго лексикографически меньше слова W\. Доказательство. Если w2 < го15 то (см. §1.1, свойства 1.) либо w2 v (и2 — U2ui2, щ2 € X). Поскольку Mi является началом (возможно уже несобственным) слова й2, то щ > й2. Это противоречит тому, что щ < v. Если mi < т2, то и\ является началом слова v и следовательно U\ > v. Мы снова получили противоречие с неравенством щ < v. Случай гп\ > т2 невозможен. П Множество всех слов Линдона-Ширшова в алфавите X будем обозначать через Sx- Лемма 1.2 (i) Каждое ассоциативное слово Линдона-Ширшова w можно единственным способом представить в следующем виде: w = (av)(av)niauiu[(av)n2au2U2 ... (av)ntautu't, (1) где Uj >- v, слова v, UjUj не содержат старшей буквы а слова w для всех 1 < j' < t. (И) Пусть слово гу(1) = ^4(a«)"i+ioUlwi(1)>l(aU)'i2aU2U2(1) ¦ ¦ ¦ A(av)ntautu'tW (2) получено заменой в представлении (1) всех подслое [av)njauj на буквы А^ауучаи1 (здесь щ := П\ + I) и в каждом непустом слове Ц = а^ .. -о^0), заменой букв ujs на буквы Aajs (т.е. г' = Aaj .. .Aaj ). Упорядочим множество Y = {Az \ z e {(av) ni auj, aja} } no правилу: AZ1 > AZ2 <==> z\ > z2. 15 Тогда слово w^1' является ассоциативным словом Линдона-Ширшова в алфавите У. (in) Пусть и^ = АХ1АХ2...АХк - ассоциативное слово Линдона-Ширшова в алфавите Y, определенном в пункте (И). Тогда слово и = х\х2 ¦ ¦ ¦ х^ - ассоциативное слово Линдона-Ширшова в алфавите X. Доказательство. Если слово w € Sx имеет одну старшую букву а в своем составе, то из определения 1.1 мы получаем, что w — av и ? = 0 в (1). Пусть w - слово из Sx, в котором старшая буква а встречается более одного раза. Тогда w = (av)(av)niawx(av)n2aw2 ... (av)ntawt, (3) где v, Wj не содержат букву а, щ > 0 и Wj ф v. В (3) слово v может быть пустым, a Wj - непустые слова. Так как слова v и го, находятся между вхождениями старшей буквой а, то они определены однозначно. Заметим, что в (3) все Wj < v. Действительно, если wp > v для некоторого р, то ava w < awp(av)np+1 awp+i... (av)ntawt(av)ni+1awi... awp-\(av)np. Это противоречит тому, что w слово Линдона-Ширшова. Если в (3) v является началом слова Wj, то Wj — va^u'j, где Ц G (X), а^ € X и мы полагаем Uj = va^, т.е. Wj = Uju'j (ср. (1)). Если же Wj air В этом случае Uj = za^, т.е. Wj = Uju'y Следовательно, во всех случаях слово Wj можно единственным способом представить в виде Wj = Uju'j, где щ >- v. Таким образом, мы получаем представление (1) для слова w. Единственность этого представления следует из предыдущего. Докажем пункт (И) леммы. Пусть w^ = AZlAZ2 .. .AZd. Если w^ $ 5у, то it/1) < AZq ...AZdAZl ...Л2д_1 для некоторого 2 < q < k. Из леммы 1.1 мы получаем, что условие AZi < Az. влечет неравенство Zi W < Zg.. .ZdZx . . .Zq_x. Противоречие. Докажем теперь пункт (iii) леммы. Из определения 1.1 следует, что буква АХ1 -старшая буква слова и^. Если х\ является буквой алфавита X, то и G Sx, так как в этом случае х2, ¦ ¦ ¦, х/. тоже буквы. Предположим, что х\ = (av)njauj для некоторого 1 < j < t (щ := Hi + 1)- Так как u(1) € SY, то ?/(!) > д Л А А для всех 2 < p < к. Как и выше из леммы 1.1 следует, что U > Хр...XkXi...Жр_1 для всех 2 < р < к. Так как х\ > Хг для всех 1 < г < к, то Х\ строго лексикографически больше любого собственного суффикса слова Хг- Поэтому для любых непустых слов zx и z2 таких, что и = zxz2^ мы имеем неравенство и > z2zi. Следовательно и € Sx- ? Определение 1.7 Ассоциативное слово w € (X) будем называть регулярным словом, если w > w для четного \w\ и w* > w для нечетного \w\ (напомним, что w*-инверсия слова w). Предложение 1.1 Пусть w € (X) регулярное слово. Тогда это эквивалентно тому, что слово w может быть представленно в виде

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23589.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.