Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию О позитивной обратимости одной разнопорядковой краевой задачи на графе

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	О позитивной обратимости одной разнопорядковой краевой задачи на графе

Количество страниц	97

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23597.doc

Содержание	ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ...3 ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОБЩИЕ ФАКТЫ § 1.1. ОБОСНОВАНИЕ ЗАДАЧИ 1.1.1. Основные понятия...14 1.1.2. Вариационное обоснование задачи...17 1.1.3. Условия трансмиссии...22 § 1.2. КОРРЕКТНАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ 1.2.1. Постановка задачи...24 1.2.2. Невырожденность задачи...25 1.2.3. Корректность...28 § 13. ФУНКЦИЯ ГРИНА 1.3.1. Существование функции Грина...34 1.3.2. Основные свойства функции Грина...39 ГЛАВА 2. ЗНАКОРЕГУЛЯРНЫЕ СВОЙСТВА ЗАДАЧИ §2.1. ПОЗИТИВНАЯ ОБРАТИМОСТЬ ЗАДАЧИ...46 § 2.2. ЗНАКОРЕГУЛЯРНОСТЬ ФУНКЦИИ ГРИНА 2.2.1. Отсутствие внутренних нулей...52 2.2.2. Простота нулей на границе...63 §23. СВОЙСТВА ПОЗИТИВНОГО СПЕКТРА...86 2.3.1. Теорема о главном собственном значении...88 2.3.2. Теорема о собственной ветви для задачи с вогнутой нелинейностью...— 2.3.3. Знакорегулярные оценки функции Грина...89 2.3.4. Вспомогательные фрагменты из теории конусов...91 2.3.5. Завершение доказательства теорем 2.3.1 и 2.3.2...95 ЛИТЕРАТУРА...97 ВВЕДЕНИЕ Обыкновенные дифференциальные уравнения на графах - новое научное направление, возникшее около двух десятилетий назад и привлекшее активный интерес многих исследователей во всем мире. Качественный анализ краевых задач с внутренними особенностями начался уже в ЗО-е годы XX в. в работах М.Г. Крейна и Ф.Р. Гантмахера, изучивших гармонические колебания многоопорной балки. И хотя свое зарождение теория краевых задач ведет от работ Л. Эйлера, математической моделью у Гантмахера — Крейна служило интегральное уравнение, порождаемое функцией влияния, а классическое уравнение прогиба стержня (EJu")" =f (0.1) выступало лишь как локальный ( между опорами ) фрагмент, использовавшийся как вспомогательная информация при анализе формы прогиба. С помощью достаточно тонкой теории ядер Келлога для многоопорного стержня (заодно с обычным) удалось объяснить математическую природу гармонических свойств спектра собственных колебаний. С этих результатов началась геометрическая теория М.Г. Крейна пространств с конусами и осцилляционная спектральная теория, как развитие теории Штурма-Лиувиля. Для двухточечных краевых задач завершаюпще результаты подобного типа были получены в работах С. Карлина, А.Ю. Левина, Г.Д. Степанова и др. Нестандартный характер задачи о многоопорном стержне, связанный с внутренними особенностями соответствующих решений уравнения (0.1), стали предметом анализа в работах Ю.В. Покорного ( 70-80 годы ), изучавшего многоточечные краевые задачи с дефектами гладкости решений. В этой связи следует отметить работы В.Я. Дерра. Методы Ю.В. Покорного нашли развитие при анализе математической модели цепочки упруго-сочлененных континуумов, а затем - на нестандартных задачах, возникающих при описании сетеобразных систем. С начала 80-х годов спонтанно в разных странах началось активное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (метрических сетях), породившее многие сотни работ [18, 30, 40, 41, 42, 46, 51, 53, 54, 56, 59]. Наиболее изученными здесь оказываются уравнения 2-го порядка. Воронежское направление характеризуется развитием идей и методов М.Г. Крейна и М.А. Красносельского применительно к знакорегулярным свойствам линейных и нелинейных краевых задач, связанных со знакопостоянством и специальными оценками функции Грина. В 90-е годы начали появляться работы для уравнений 4-го порядка на графах, связанные с описанием решеток из стержней ( Ю.В.Покорный, Р. Мустафокулов, А.В. Боровских [15, 33, 36] ). Несколько лет назад появились работы для разнопорядковых задач на графах, где на разных ребрах задавались уравнения четвертого и второго порядков. Детальному анализу здесь подвергнут случай простого креста и элементарный случай простейшего присутствия цикла ( Ю.В. Покорный, Т.В. Белоглазова, К.П. Лазарев [38]). Следует отметить, что даже в случае уже основательно изученной задачи Штурма-Лиувиля на графе присутствие цикла влечет нарушение ряда основополагающих свойств - от простоты точек спектра до корректности самой задачи. Поэтому для разнопорядкового уравнения наличие у графа хотя бы даже одного цикла означало присутствие принципиально новой трудности в условиях полного отсутствия каких-либо стандартных наработок- В диссертации изучается разнопорядковая задача на графе при наличии целой серии циклов, что означает заведомое присутствие качественно новых трудностей. Для этой задачи устанавливается ее интегральная обратимость, строгая положительность соответствующей функции влияния, называемой функцией Грина. Доказательство точных двухсторонних оценок функции Грина обеспечивает применение общих теорем М.А. Красносельского и М.Г. Крейна для сильно-положительных операторов и теорем М.А. Красносельского и И.А. Бахтина о непрерывных ветвях собственных векторов для нелинейных операторов, что определяет актуальность и значимость работы. Существенной особенностью работы является описание условий трансмиссии, т.е. условий « склейки » решений в узлах графа, на основе вариационных соображений исходя из физической природы прототипа задачи. Именно « натуральная природа » этих условий позволяет развить специальную технику анализа распределения нулей у решений « дифференциальных » неравенств. Целью работы является корректная постановка разнопорядковой задачи на графе с многими циклами, анализ функции влияния краевой задачи, возникающей при моделировании канатного моста. Доказательство знакорегулярных оценок функции Грина. Доказательство простоты ведущего собственного значения для линейной спектральной задачи и существование неограниченной собственной ветви собственных функций для задачи с вогнутой нелинейностью. В работе используются качественные методы анализа дифференциальных уравнений на пространственных сетях, соответствующие методы анализа функции Грина, а также методы теории операторных и интегральных уравнений в полуупорядоченных пространствах. В настоящей работе исследуется, если употреблять традиционную терминологию, система обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых задано на своем ребре пространственной сети ( геометрическом графе ) Г. Каждое уравнение имеет второй или четвертый порядок, соответствуя математической модели струны или стержня. Рассматриваемая геометрическая сеть Г имеет форму, фигурально выражаясь, как бы положенной на бок ( в вертикальной плоскости ) лестницы, являясь аналогом формы канатного моста. Точнее, Г соответствует двум горизонтальным упругим континуумам над отрезком [0,1], соединенным вертикальными перемычками. На каждом куске верхнего континуума и на каждой вертикальной перемычке задается уравнение определяющее деформацию классической струны, а на каждом куске нижнего континуума задается уравнение четвертого порядка соответствующее деформации упругого стержня. Производные здесь берутся по направленному параметру ( вдоль соответствующего ребра ). В четырех концевых точках предполагается условие обычного закрепления, в концах каждого стержня - условие шарнира ( т.е. цепочка стержней сочленена шарнирно и концы ее закреплены шарнирно ). В точках стыковки ребер решения предполагаются связанными непрерывно. В этих точках присутствуют также естественные условия связи, называемые обычно условиями трансмиссии и порождаемые физическими условиями баланса напряжения. Мы всюду далее в работе используем термины из теории дифференциальных уравнений на графах [3]. Первая глава диссертации посвящена постановке задачи и анализу общих свойств. В §1.1 дается вариационное обоснование исследуемой задачи, в том числе в точках ?,х < ?2 < --- ")'(аО - (qzf)(at+O) = 0 (0.4) и для верхних узлов bi вид A(qz')(bt) + (qz')(b,+O) = 0. (0.5) Здесь нами, как это принято в теории уравнений на графах, через zt '(^k +0) обозначена крайняя производная в точке ?к сужения решения z(x) : Г —> R на /-е ребро уг. Через А^>(?) обозначен скачок <р(? + 0) - <р{? - 0). Обозначая в целом решение задачи через z(x) при 0 <х < I мы для удобства применяем разные обозначения для сужения z(x) на верхние, вертикальные и нижние звенья Г. Деформацию верхнего континуума мы обозначим через v(x) : [ 0,1 ] —> R, деформацию нижнего континуума ( цепочки стержней ) обозначим через и(х) : [ 0,1 ] -> R. Вертикальные ребра нашей лестницы Г, « лежащей на боку », соответствующие точкам ?1,?2,—»?,-i отрезка [ 0,1 ], мы будем обозначать отрезками /a,, bj, приписывая at нижним концам, a bt верхним концам. На каждой такой перемычке сужение решения z(x) на [ah bj мы обозначим через ht(x). При разговоре о « верхней » функции v(x) мы точки ?• будем отождествлять с точками Ь{. В этих точках, согласно § 1.1 диссертации, должны быть заданы условия трансмиссии вида ЦЯУ')(Ьг) + (qMOii+O) = 0. (0.6) В узлах нижней цепочки условия трансмиссии приобретают вид А(ри")'(а{) - (яМХч+О) = 0. (0,7) Кроме этого, для « нижнего » решения и(х) должны выполняться условия шарнира 'Шг 0) = (риЖ+О) = 0 (i=0, ],..., п). (0.8) Систему уравнений (0.2), (0.3) мы записываем в виде единого уравнения )' = / (0.9) где функции р(х), q(x) заданы на всем графе так, что q(x) = 0 на нижнем континууме, а р(х) = 0 на вертикальных ребрах и верхнем континууме. При этом р(х) и q(x) положительные и достаточно гладкие на тех ребрах, где они не принимают нулевых значений. Условия трансмиссии и условия шарнира мы относим к определению решения вновь заданного уравнения (0.9). Мы предполагаем выполнение условия непрерывности во всех внутренних вершинах. Определенное таким образом на Г разнопорядковое дифференциальное уравнение мы дополним условиями типа Дирихле \дг = 0, (0.10) где дГ состоит из четырех точек — концов нашей системы. В § 1.2 установлена корректность описанной задачи, а именно, доказано, что для любой непрерывной на Г правой части уравнения (0.9) рассматриваемая задача однозначно разрешима и, более того, что решение мало меняется при малом изменении правой части. § 1.3 посвящен построению функции Грина исследуемой задачи. Мы используем концепцию Вейля, называя функцией Грина ядро интегрального оператора, обращающего исходную задачу. Таким образом, мы строим функцию двух переменных G(x,s), позволяющую выразить решение исходной задачи в виде z(x) = \G{x,s)f{s)ds. (0.11) Построение G(x,s) осуществляется опорой на локальные функции Грина, определенные уравнением (0.9) на каждом ребре Г при каких-либо краевых условиях на этом ребре, с последующим конечномерным возмущением этой функции так, чтобы определенное формулой (0.11) решение удовлетворяло всем условиям - краевым и условиям связи во внутренних узлах. В рамках этой конструкции удается проследить за свойствами типа регулярности G(x,s). А именно, в работе показано, что: 1) функция G(x,s) непрерывна по совокупности переменных на ГхГ; 2) функция Грина G(x,s) при каждом х Ф s удовлетворяет по х однородному уравнению Lz = 0 и краевым условиям и условиям трансмиссии во внутренних узлах; 3) если s принадлежит одному из « струнных ребер », то производная G'(xts) в точке х = s имеет единичный скачок G'(s + 0,s)- G'(s - 0, s> = -7; 4) если s принадлежит нижнему континууму, то G'"(s + 0,s)- G'"(s -0,s) = L В § 2.1 второй главы изучаются знаковые свойства решений дифференциального неравенства Lz >0, (0J2) где под неравенством (0.12) мы понимаем уравнение (0.9) при / > 0 и всех необходимых условиях (0.6), (0.7), (0.8), (0.10). Устанавливаются следующие факты. ТЕОРЕМА 2.1 Любое решение дифференциального неравенства Lz > 0 неотрицательно на Г, Лемма 23 Производная нетривиального решения неравенства не имеет нулей в обоих концах верхнего континуума. Лемма 2.4 На границе нижнего континуума производная z'(x) не обращается в нуль. Лемма 2.5 Функция z(x) не имеет нулей внутри Г. В § 2.2 изучены знаковые свойства функции Грина. ТЕОРЕМА 2.2 Функция Грина G(x,s) рассматриваемой задачи строго положительна внутри своей области определения. Доказано, что производная по х функции G(x,s) не обращается в нуль на границе Г. В § 2.3 устанавливаются оценки функции Грина. ТЕОРЕМА 2.7 Пусть z0 (х) - решение нашей задачи для уравнения Lz = 1. Тогда для каждого s существуют числа a(s) > 0 и /?0) < оо такие, что равномерно по х справедливы неравенства zo(x) a(s) < G(x, s) < zo(x) p(s), (0.13) причем a (s), /3 (s) суммируемы на Г. Из оценок (0.13) вытекает, что интегральный оператор (Gz)(x) = JG(x,s)z(s)ds (0.14) является и о - положительным в смысле М.А. Красносельского. Далее рассматривается спектральная задача Lz = Xm(x)z, z\dr =0. (0.15) Она эквивалентна уравнению z(x) = Я JG(x,s)m(s)z(s)ds. ( 0.16) Так как интегральный оператор G является м0- положительным, то к уравнению (0.16) применима теорема М.А. Красносельского и М.Г. Крейна. Поэтому ведущее собственное значение задачи (0.15) обладает следующими свойствами. ТЕОРЕМА 2.5 Пусть функция т(х) суммируема и неотрицательна ( т(х)фО ) . Тогда для задачи (0.15) справедливы следующие свойства: а) существует позитивное собственное значение Я 0; б) это собственное значение является вещественным, строго положительным и простым, т.е. корневое пространство, соответствующее Я 0, одномерно; в) Я о строго меньше модулей остальных точек спектра; г) соответствующая Я 0 собственная функция z0 (x) не имеет нулей в Г; д) для любой знакопостоянной на Г собственной функции задачи (0.15) соответствующее собственное значение совпадает с Я 0, а сама собственная функция должна быть коллинеарна zo(x). В § 2.3 изучается также нелинейная краевая задача Lz = Zf(x,z), z\dr =0. (0.17) Она эквивалентна уравнению z(x) = A г В силу м0- положительности интегрального оператора G мы можем использовать теорему М.А. Красносельского и И.А. Бахтина о вогнутых операторах. ТЕОРЕМА 2.6 Пусть f(x, z) при х^Г строго возрастает по z и строго вогнутая, т.е. f(x, Xz) > Xf(x,z) Тогда существует интервал ( Ло,А» ) ( ПРИ 0 < Х$ < Хж <<х> ) такой, что каждому X из этого интервала отвечает единственное нетривиальное решение z(x, X ) задачи (0.17). При этом а) z(x, X ) строго возрастает по X; б) \|\|z(,A)\|\| -> оо при Х-ьХъ и \|\|z(x,/l)\|-»0 при X-+Xq. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1, 14, 23-27]. Они докладывались на Воронежских весенних математических школах в 2003г., 2004г., на научных семинарах проф. Ю.В. Покорного, проф. А.И. Перова, проф. А.Г. Баскакова. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Ю.В. Покорному за постоянное внимание и помощь в работе. ГЛАВА 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОБЩИЕ ФАКТЫ §1.1. ОБОСНОВАНИЕ ЗАДАЧИ 1.1.1. Основные понятия. Напомним необходимые для дальнейшего термины из теории краевых задач на графах [3]. Геометрическим графом Г в R3 называется объединение непересекающихся интервалов^, = {ai_x,ai), i=l,2,..,m (называемых ребрами) и некоторой совокупности их концов. Множество этих концов обозначается через ./(Г), каждая точка из У(Г) называется внутренней вершиной графа Г. Концы интервалов yti не включенные в ДГ), называются граничными вершинами Г, их множество обозначается через д Г. Обозначим множество всех вершин графа Г через У(Г), а объединение всех ребер - R(T). Тогда V(T) = ЩГ) u J(T). Будем говорить, что вершины а{_х и at примыкают к ребру Yi~(.ai-\->ai\ а ребро Yi примыкает к вершинам at_x и at. Топологией на Г будем считать индуцированную из R3 топологию. Изучать в дальнейшем будем лишь связные графы. Для вещественнозначной функции г : Г —>R сужение на ребро yt будем обозначать через zy. (x). Для каждого ребра /, можно ввести натуральную параметризацию по формуле х = q>i(t), где tp,(t) - at_x + t(at - а^)/dt, где te(0,df) и dj - длина ребра yt. При выбранной параметризации Иногда нам будет удобно рассматривать замкнутое ребро /, = [a,_i,tf,] и считать его параметризацией х = каждом ребре можно ввести две натуральные параметризации с противоположной ориентацией. Производная функции z : Г -R на графе определяется следующим образом. Если для данной параметризациих = фг(1) ребра yt при t е[ 0, dt ] оказывается, что для функции z при всех г и t существует производная —z((Pi(t)), то будем говорить, что на Г определена производная z'(x). При dt этом на ребре у{ и в вершинах из д Г имеем z'(x) = —z(^>,(r)), если dt х = (pf( t), а в каждой вершине яе J(T) имеем набор производных z'y.(a) для ребер ys, примыкающих к а. Аналогично определяются производные dk высших порядков zKK) (x) = -^rz(g>i(t)). Естественно, производные dt" нечетного порядка зависят от ориентации ребра, а производные четного порядка — нет. При формулировании условий согласования, содержащих производные нечетного порядка, нам удобнее пользоваться локальной ориентацией и говорить о производных по направлению « от вершины », которые будем обозначать z^ (a + 0). Через С"(у.) обозначим множество определенных на ребре yt равномерно непрерывных в индуцированной из R3 топологии функций, для которых существуют равномерно непрерывные производные до порядка п. Легко видеть, что функцию z(-)z С (у.) можно доопределить предельными в концах Yj значениями до функции из С {у.), за доопределенной функцией сохраним прежнее обозначение. Это замечание будет использоваться в дальнейшем при исследовании краевых задач на графе. Будем писать /еС(Г), если /(•) : Г -+R и сужение /Г(.^еС(у,) при всех / = 1, 2,..., г. Пусть множество R(V) представимо в виде объединения двух множеств Г\ и Г2, состоящих из ребер графа Г. Определим класс функций Q = {z(-):zr. С)еС\п\Ъ еГ1; zy. С)еС2(п)>Ъ 2/ Пусть функция р(х) задана в точках хеГ{, a q(x) - в точках хеГ2. Удобно считать, что р(х), q(x) заданы на всем графе так, что qTi(x) есть тождественный нуль вне Г2 и inf {qr.(x)} > 0, a pY.(x) есть тождественный нуль вне Г, и inf { pY.(x)} > 0. При этом qv.(x)& С1 (у.) xeyi п /г ' при п<=Г2 и pr. (x)eC2(rt) при ytс: Г^ Нами будут рассматриваться уравнения вида которые на Fj принимают вид Г =/ а на Г 2 принимают вид Таким образом, рассматриваемые уравнения являются разнопорядковыми в целом на Г. Далее, мы будем предполагать у графа Г специальную структуру так, что, например, Г{ будет иметь вид цепочки, моделируя цепочку шарнирно сочлененных стержней. 1.1.2. Вариационное обоснование задачи. Рассматриваемая система аналогична канатному мосту. Будем считать, что система состоит из двух горизонтальных континуумов, расположенных вдоль отрезка [0,1]. В точках ?,,?2,...,?,_,, внутренних для отрезка (?_, < ?), оба континуума связаны линейными перемычками ( отрезками ), которые будем обозначать в дальнейшем через е, . Мы полагаем ?о=О,?„=1 и различаем отрезки нижнего и верхнего континуумов, расположенные «над [?., ?+,]>>. Первые обозначим через у,, а вторые - через кг. Мы рассматриваем физическую систему, у которой нижний континуум составлен из последовательно сочлененных стержней. Сочленения будем считать шарнирными. Стержни будем ассоциировать с отрезками yt. Все остальные сегменты нашей системы s, и лг, являются упругими тросами и их деформации мы будем считать определяющимися, как у обычных струн. Будем полагать, что множество стержней совпадает с множеством Fj, a множество струн совпадает с множеством Г2. Мы предполагаем, что система закреплена в граничных вершинах. Для большей четкости изложения мы будем обозначать через и(х) при х е [0,1] деформации цепочки стержней, соответствующих нижнему континууму. Через v(x) будем обозначать деформации точек верхнего троса. Обе функции и(х) и v(x) скалярнозначные на отрезке [0,1]. Условие закрепления концов верхнего троса

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23597.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.