Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Эллиптические алгебры

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Эллиптические алгебры

Количество страниц	116

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23604.doc

Содержание	Содержание Введение 3 §1. Алгебры с тремя образующими 14 §2. Алгебра Qn(5, ту) 23 1. Конструкция... 23 2. Основные свойства алгебры Qn(?,r)) ... 24 3. Бозонизация алгебры Qn(?,v)... 25 4. Представления алгебры Qn(?,rj)... 28 5. Симплектические листы ... 29 6. Свободные модули, образующие и соотношения... 30 §3.Основные свойства алгебр Qn,k(^iV) 32 §4.Эллиптическая Л-матрица Белавина и алгебра Qn,k(?,v) 34 §5. Алгебры Qn,k(?,v) и обменные алгебры 37 1. Гомоморфизмы алгебры Qn,k(?,v) B динамические обменные алгебры 37 2. Гомоморфизм обменной алгебры в алгебру Qn,k{?iV)... 41 Приложение А. Тэта-функции одной переменной 43 Приложение В. Некоторые тэта-функции нескольких переменных, ассоциированные со степенью эллиптической кривой 46 Приложение С. Сопряженность пространств вп/^(Г) и вп/п_^(Г) 52 Приложение D. 55 1. Интегрируемые системы, квантовые группы и Л-матрицы... 55 2. Деформационное квантование... 58 3. Многообразия модулей... 60 4. Некоммутативная алгебраическая геометрия... 61 5. Когомологии алгебр... 61 Приложение Е. Эллиптические Д-матрицы Белавина и обменные алгебры 62 1. Введение... 62 2. Л-матрица Белавина... 66 3. Динамические алгебры с обменными соотношениями... 68 4. Гомоморфизмы алгебры ?ГПДГ, rj) в динамические алгебры с обменными соотношениями... 71 5. Полиспектральные алгебры с обменными соотношениями... 74 6. Гомоморфизм полиспектральной алгебры с обменными соотношениями в алгебру Zntk(T, rj) ... 75 Приложение F. Случай точки конечного порядка 77 1. Введение... 77 2. Алгебры Qn,k(?,ri) ... 80 3. Случай точки конечного порядка... 85 4. Подкрученные алгебры Qn,k(?:V)... 95 Приложение G. Эллиптические деформации алгебр токов и их представления разностными операторами 98 1. Введение ... 98 2. Конструкция алгебр Qn,&(?,r))...105 3. Представления алгебры Qn%&{E,ii) ...108 4. Сплетающие операторы ...110 5. Центр алгебры <3п,д (?,??) ...116 Введение Актуальность исследования Один из основных методов при изучении точно решаемых моделей в квантовой и статистической физике это метод обратной задачи теории рассеяния. В основе этого метода лежит изучение представлений так называемой алгебры L-операторов, которая строится по каждому фиксированному решению квантового уравнения Янга-Бакстера (квантовой R-матрице). Известны различные классы решений этого уравнения, которые, в соотвествии с характером зависимости от спектральных параметров, называются рациональными, тригонометрическими и эллиптическими. Наиболее сложными и интересными являются эллиптические решения; рациональные и тригонометрические часто можно рассматривать как вырождения эллиптических. Изучение алгебраических структур, связанных с рациональными и тригонометрическими R-матрицами привело в 80-х годах к появлению бурно развивающейся области математики: теории квантовых групп. Эту теорию можно охарактеризовать как ^-аналог обычной теории групп и алгебр Ли и их представлений: используются аналогичные методы (подалгебра Картана, операторы рождения и уничтожения), но все формулы q-деформируются. При q —> 1 новая теория переходит в классическую теорию групп и алгебр Ли. Эллиптические решения уравнения Янга-Бакстера устроены сложнее тригонометрических и рациональных: кроме появления эллиптических функций, соответствующая R-матрица имеет гораздо больше ненулевых элементов. Последнее обстоятельство приводит к тому, что классические методы не работают и соответствующие алгебраические структуры имеют принципиально другое устройство. Первый шаг к пониманию этих структур был сделан Скляниным в начале 80-х годов. Он рассмотрел простейшую эллиптическую R-матрицу — так называемую R-матрицу Бакстера. Исследование соответствующей алгебры L-операторов привело к построению семейства ассоциативных алгебр, заданных 4 образующими и б квадратичными соотношениями. Алгебра этого семейства зависит от 2 комплексных параметров: гиг/, причем Imr > 0. При г\ = 0 алгебра вырождается в кольцо многочленов. Склянин предположил, что при любых т,77 алгебра имеет те же размеры, что и алгебра многочленов. Кроме того, алгебры, отвечающие 1 я парам (т,г/), (г, т] + 1), (т, 7/ + г), (г + 1,77), (--, —) изоморфны. Поэтому класс изоморфизма алгебры зависит от эллиптической кривой В = С/Гт (где Гг С С целочисленная решетка, порожденная 1 и т) и образа г/ G ?. В дальнейшем выяснилось, что более общие эллиптические R-матрицы приводят к аналогичным алгебрам с любым числом образующих. Эти алгебры получили название эллиптических, поскольку их структурные константы являются эллиптическими функциями параметра г] (с модулярным параметром г). Теория эллиптических алгебр тесно связана с различными областями математики и математической физики: интегрируемые системы, многообразия модулей расслоений на эллиптической кривой, некоммутативная геометрия и др. Настоящая работа посвящена теории эллиптических алгебр и ее приложениям. Цели работы Целью настоящей работы является построение и изучение эллиптических алгебр. Особое внимание уделяется описанию методов, которые используются при их изучении, поэтому мы начинали с простейшего нетривиального случая: алгебры с тремя образующими. Мы также строим и изучаем представления эллиптических алгебр. Другая важная задача: описание связей эллиптических алгебр с различными областями математики, в том числе описаны приложения к изучению эллиптических R-матриц. Научная новизна Построен широкий класс эллиптических алгебр с любым числом образующих. Развиты методы, позволяющие исследовать их структуру. В частности, гипотеза Склянина о размерах его алгебры с четырьмя образующими доказана для эллиптических алгебр с любым числом образующих. Описана структура симплектиче-ских листов эллиптических алгебр в квазиклассическом пределе. Также построены семейства бесконечномерных представлений «квантовых алгебр», отвечающие этим листам. Изучен случай, когда t] G ? — С/Г есть точка конечного порядка. Оказалось, что этот случай аналогичен случаю qN — 1 в теории квантовых групп. В качестве приложения к теории точно решаемых моделей построен аналог классического соответствия между XYZ и RSOS моделями (vertex-face correspondence) для произвольных эллиптических R-матриц. Практическая ценность О приложении к теории интегрируемых систем и точно решаемых моделей уже было сказано выше. Другая важная область: деформационное квантование, для которого эллиптические алгебры являются важным источником примеров. Упомянем также приложения к некоммутативной геометрии: явное построение широкого класса некоммутативных многообразий. Весьма интересными представляются связи с теорией многообразий модулей голоморфных расслоений на эллиптической кривой. Оказалось, что квазиклассический предел эллиптических алгебр и соответствующая структура симплектических листов имеет естественную интерпретацию в терминах многообразий модулей. Аппробация работы Результаты работы многократно докладывались на международных конференциях, в том числе: International NATO Conference "Integrable structures of exactly solvable two-dimensional models of quantum field theory", Kiev, 2000 Colloque-Workshop "Developpements recents en theorie de Lie et Poisson", Universite de Reims, 27-28 juin 2001 Workshop "Classification Problems in the theory of Integrable Systems", SISSA, Triest, October 1-5, 2002 Universite de Saint-Etienne, Journees d'algebre, 31 janvier-1 fevrier 2003 "Recent Advances in the Theory of Quantum Integrable System", International Workshop, 25-28 March 2003, LAPTH, Annecy-le-Vieux, France XV Coloquio Latinoamericano de Algebra, Ex-Hacienda Cocoyoc, Мог. Mexico, July 20-26, 2003 Colloque CNRS (GDR SG-MAT), Universite de Bourgogne, Universite Blaise Pascal (Clermont-Ferrand II) "Quantification par deformation et algebres elliptiques", Dijon, 8-12 mars 2004 Workshop "Hopf Algebras, Quantification (in the largest sense), bialgebras, associators, topological invariants", CIRM (Marseille, Luminy), March 29th- April 3rd, 2004, а также на семинарах и в университетах. Публикации По теме диссертации опубликован один обзор и двадцать одна статья (в том числе двадцать в рецензируемы, изданиях). Структура и объем работы Диссертация состоит из Введения, пяти глав, Приложений (А, В, С, D, E, F, G) и Заключения. Объем диссертации 126 страниц, список литературы содержит 56 наименований В работе [5], посвященной изучению XFZ-модели и представлениям соответствующей алгебры матриц монодромии, Е. К. Склянин ввел семейство ассоциативных алгебр с 4 образующими и 6 квадратичными соотношениями, которые теперь называются алгебрами Склянина (см. также Приложение D.1). Алгебры из этого семейства естественным образом нумеруются двумя непрерывными параметрами: эллиптической кривой и точкой на ней и представляют собой плоскую деформацию кольца многочленов от 4 переменных в классе Ж>0-градуированных ассоциативных алгебр. С другой стороны в работе [26] возникло семейство алгебр с 3 образующими (и 3 квадратичными соотношениями), обладающее теми же свойствами. В дальнейшем выяснилось (см. (см. [9-11,15-25]) что такие алгебры существуют для любого числа образующих. Алгебры о которых идет речь представляют собой ассоциативные алгебры следующего вида. Пусть V — линейное пространство над полем С размерности п. Пусть L С V (g> V подпространство размерности --. Построим алгебру А с пространством образующих V и про- странством определяющих соотношений L, т.е. А = TV/(L), где TV — тензорная алгебра пространства V, a (L) — двусторонний идеал, порожденный L. Ясно, что алгебра А является Ж>о-градуированой, поскольку идеал (L) однородный. Имеем: А = С е Ах е А2 Ф ..., где Аг = V, А2 = V ® V/L, А3 = V ® V ® V/V ®L + L®V и т.д. Определение. Будем говорить, что алгебра А является ПБВ-алгеброй (или удовлетворяет условию Пуанкаре-Биркгофа-Витта), если dimAa = п(п + 1)... {п + а - 1) Таким образом ПБВ-алгебра — это алгебра с п образующими,----- ква- дратичными соотношениями и имеющая такие же размерности градуированных компонент, как и кольцо многочленов от п переменных. Такие алгебры возникают в различных областях математики: теория интегрируемых систем [5,6,43,44], многообразия модулей [21], деформационное квантование [34], некоммутативная геометрия [26-32,45], когомологии алгебр [35-40], квантовые группы и Д-матрицы [5,6,41,46-48]. См. об этом Приложение D. Каких-то классификационных результатов в теории ПБВ-алгебр (при п > 3) не существует, поэтому мы будем заниматься конкретными примерами. Известные нам примеры можно условно разбить на 2 класса: рациональные и эллиптические алгебры. Приведем примеры рациональных алгебр: 1. Косые многочлены. Это алгебра с образующими {х^, % = 1,..., п} и соотношениями: XiXj = qijXjXi, где г < j, q^ ф 0. Легко проверить, что мономы {х"1 .. .х%п;а±,... ,ап е Z>0} составляют базис алгебры косых многочленов, отсюда следует условие ПБВ. Поскольку qij — п(п — 1) любые числа не равные 0, мы получили-------параметрическое семейство алгебр. 2. Проективизация алгебр Ли. Пусть g — алгебра Ли размерности п — 1 с базисом {xi,..., ?n_i}. Построим алгебру с п образующими {с, жь ..., :rn-i} и соотношениями: СХ( — XiC, XiXj — XjXi = c[Xi,Xj]. Условие ПБВ вытекает из теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта для алгебры д. 3. Алгебра Дринфельда. В [42] была предложена новая реализация квантовой алгебры токов Uq(sl2) (см. также [41]). Именно, были введены образующие хк ,hk (к € Z), аналогичные обычному базису алгебры Ли s^- При этом, элементы х~? удовлетворяют квадратичным соотношениям: Хк+1Х1 ~ Q Х1 Хк+1 — Я хк Х1+1 ~ Х1+1Хк ¦ (1) Аналогичным соотношениям удовлетворяют элементы хк . Алгебра Drn( В эллиптическом случае алгебра зависит от двух непрерывных параметров: эллиптической кривой ? и точки rj € ?. Именно такие алгебры и являются предметом обзора. Их структурные константы являются эллиптическими функциями от 7? с модулярным параметром т. Наш основной пример: алгебры Qn,k(?,v)- Здесь п > 3 — число образующих, к — натуральное число, взаимно простое с п, причем 1 < к < п. Определим алгебру Qn,k(?iV) образующими {xf,i G Z/nZ} и соотношениями: Структура этих алгебр зависит от разложения числа п/к в цепную дробь, поэтому вначале изучается простейший случай к = 1, а затем мы переходим к общему случаю. Заметим, что принадлежность алгебр Qn,k(?,v) K классу ПБВ-алгебр доказана лишь при общих параметрах S и г) (см. §2.6, §3). Мы предполагаем, однако, что это так при всех ? и г). Возможный путь доказательства этой гипотезы: построение аналога функциональной реализации (см. §2.1) при произвольном к, используя конструкции из §5. Алгебры Qn,k(?,v) являются, как нам кажется, типичным примером эллиптических алгебр, однако далеко не исчерпывают всего их запаса. Простейший пример алгебры, не принадлежащей к этому классу (и даже не являющейся деформацией кольца многочленов), строится так. Пусть группа (Z/2Z)2 с образую-щими <7i,<72 действует автоморфизмами на алгебре Q±{?,ri) следующим образом: 9\{хг) — xi+2, о i) \i 0) \i 0) ем действие на тензорном произведении ассоциативных алгебр Q±(?,r)) Mat2-Пусть Q\{E, т\) С Qa{?, ry)®Mat2 состоит из элементов, инвариантных относительно действия группы. Легко проверить, что Q/l(?,t]) имеет такие же размерности градуированных компонент, что и Q4(?,r]), и поэтому является ПБВ-алгеброй. Другой пример ПБВ-алгебры (с 3 образующими) см. в конце §1. Опишем теперь одну из основных конструкций ПБВ-алгебр. Пусть Х(х,у) — мероморфная функция 2 переменных. Построим ассоциативную градуированную алгебру Т\ следующим образом. Как линейное пространство Т\ = C0Fi 0F20..., где F\ = {/(и)} — пространство мероморфных функций 1 переменной, Fa = {/(щ,...,иа)} — пространство симметричных мероморфных функций а переменных. Пространство Fa является естественным расширением симметрической степени SaFi. Умножение в алгебре Т\ задается следующим образом: для / G Fa, д G Fp произведение / * д е Fa+p имеет вид: ^2 f()() Д X(uai,uaj). (3) В частности, для f,gEFi имеем: и и2) = f(ui)g(u2)X(ui, u2) + /(u2)p(mi)A(u2, «1). (4) Легко проверить, что умножение * ассоциативно при любом Х(х,у). Пусть теперь А (ж, у) = -——, где q Е С. Пусть F,(n) = {1, и,..., и""1} С Fx х -у — пространство многочленов степени меньше п. Пусть F« = SaFi с Fa — пространство симметричных полиномов а переменных степени меньше п по каждой переменной. Легко проверить, что Fa Fp С F^e. Поэтому Т^1 = ®aFa есть подалгебра в Т\. Кроме того, при q = 1 алгебра J7^1' есть кольцо полиномов SFi , поскольку в этом случае Х(х,у) = 1. Поэтому при общем q алгебра J7^1' есть ПБВ-алгебра. Эта алгебра изоморфна алгебре Дринфельда Dvn(q), причем изоморфизм имеет вид ик \-ь я?+1. Алгебра Qn(?, v) получается аналогично, только полиномы заменяются на тэта-функции (см. §2.1). Похожая конструкция [20,23] позволяет построить квантовые многообразия модулей М.(?,В) [49] (см. Приложение D.3) для любой Борелевской подгруппы В. Построение алгебр Qn,k(?,v) при к > 1 и вообще квантовых многообразий модулей А4(?,Р) для параболической подгруппы Р более сложно и использует обменные алгебры (см. §5 и [24]) или эллиптические .R-матрицы (см. §4). Содержание работы Опишем теперь содержание работы. В §1 описываются простейшие эллиптические ПБВ-алгебры: алгебры с тремя образующими. Эти алгебры изучались во многих работах, см., например, [26,27]. Этот параграф носит иллюстративный характер: мы хотим объяснить некоторые методы изучения эллиптических алгебр на простейшем примере. Основное внимание в обзоре уделено алгебрам Qn^iVi)- Им посвящен §2. Дана явная конструкция этих алгебр, построены естественные семейства представлений (подробнее эти представления изучаются в [22]), описаны симплектические листы соответствующей Пуассоновой алгебры (напомним, что Qn(?,0) есть кольцо многочленов п переменных). Алгебры Qn,k(?,v) ПРИ к > 1 устроены гораздо сложнее и подробное описание их свойств выходит за рамки работы (см. [11,21]). Их основные свойства описаны в §3. В §4 описана связь этих алгебр с эллиптическими .R-матрицами Белавина. В §5 установлена связь алгебр Qn,k(?, v) c так называемыми обменными алгебрами (см. (24), (25)). В Приложениях А,В,С приведены нужные нам обозначения и свойства ^-функций одного и нескольких переменных. В Приложении D дан краткий обзор связей эллиптических алгебр с другими областями математики. Мы постарались сделать эту часть независимой от основного текста. В приложении Е изучаются алгебры Замолодчикова для эллиптических R-матриц Белавина. Для них найдены гомоморфизмы в обменные алгебры и гомоморфизмы обменных алгебр в алгебры Замолодчикова. Формулы аналогичны результатам главы 5 для алгебр Qn,k(?,v)- В приложении F изучаются эллиптические алгебры более общего вида, чем Qntk(?,rj). Для системы корней А полупростой алгебры Ли и доминантного веса п строится семейство алгебр QnA^^)- Эти алгебры являются деформацией некоторой подалгебры универсальной обертывающей алгебры алгебры токов для алгебры Ли, отвечающей системе корней А. В приложении G изучаются алгебры Qп!к(?^ v) в случае, когда г\ — точка конечного порядка, т. е. Nrj Е Г для некоторого N €. N. В этом случае алгебра Qn,k(?, v) конечномерна как модуль над своим центром. Находятся образующие нового центра, а также Пуассонова структура на нем. Кроме того, строятся Д-матрицы, являющиеся эллиптическим аналогом Я-матриц киральной модели Потса. В Заключении сформулированы основные результаты диссертации. В заключение несколько слов о том, что не вошло в работу, но непосредственно связано с еч, темой. В [15] изучаются рациональные вырождения алгебр Qn,k(?, v), когда эллиптическая кривая ? вырождается в объединение нескольких экземпляров QP1 или в СР1 с двойной точкой. Алгебры Qn,k(?,v) получаются при квантовании тех компонент многообразий модулей Л4(Р,?) (см. Приложение D.3), которые изоморфны СР""1. Квантование других компонент приводит к эллиптическим алгебрам более общего вида. Эти алгебры построены в [20,23] для случая, когда Р — Борелевская подгруппа произвольной группы G (см. также приложение F). В [24] изучается случай, когда Р С GLm — произвольная параболическая подгруппа GLm. Симплектические листы Пуассонового многообразия, отвечающего алгебре Qn,k{^-,'n) в окрестности г] = 0, изучаются в [21]. Соответствующие Пуассоновы алгебры принадлежат к классу алгебр с регулярной структурой симплектических листов, изученных в [50]. §1. Алгебры с тремя образующими В этом параграфе мы рассмотрим простейший пример эллиптических ПБВ-алгебр: алгебры с тремя образующими. Посмотрим сначала, какие бывают квадратичные Пуассоновы структуры на С3. Пусть жо,жх,Ж2 — координаты на С3 и пусть имеется Пуассонова структура, квадратичная в этих координатах. Построим многочлен С = xo{xi, х2} + xi{x2, Хо} + х2{х0, х±}. Это однородный многочлен степени 3, поскольку Пуассонова структура квадратична. Ясно, что его вид не меняется при линейных заменах координат (с точностью до пропорциональности). Ограничимся невырожденным случаем, когда уравнение С = 0 определяет неособое проективное многообразие. Ясно, что это эллиптическая кривая. Кроме того, линейной заменой многочлен С можно привести к виду: С = xl+xl+x%+3kxoxix2, где к е С. Тогда, как легко проверить используя определение С и тождество Яко-би, Пуассонова структура с точностью до пропорциональности должна иметь вид: = х\ + kxoxi, {xix2} = xl + kxix2, {x2x0} — xf + kx2xo- (5) При этом {xi,C} — 0 и всякий центральный элемент есть многочлен от С. Напомним, что всякое Пуассоново многообразие разбивается на так называемые сим-плектические листы, представляющие собой Пуассоновы подмногообразия, ограничение на которые Пуассоновой структуры уже невырождено. Симплектические листы в нашем случае имеют вид: 1. Начало координат хо = Х\ = х2 = 0. 2. Однородное многообразие С = 0 без начала координат. 3. Многообразия С = А, где Л е С, А ф 0. Ясно, что наша Пуассонова структура допускает следующие автоморфизмы: Х{ н-> filXi, Xi I-)- Xi+i, где /j3 = 1, t ? Z/3Z. Естественно предположить, что квантованием Пуассоновой структуры (см. Приложение D.2) является семейство ассоциативных алгебр с образующими xo,Xi,x2 и тремя квадратичными соотношениями, допускающие те же автоморфизмы. Но всякое общее трехмерное пространство квадратичных соотношений, инвариантное относительно этих автоморфизмов имеет вид: где p,q E С — комплексные числа. Обозначим через Арл алгебру с образующими х§,Х\,х2 и определяющими соотношениями (6). Ясно, что алгебра APtQ является Z>0-градуированной, т.е. Арл = С ф F\ ф F2 ф ..., причем FaFp С Fa+/3. Здесь Fa — линейное пространство, натянутое на мономы (некоммутативные) от xq,Xi,x2 степени а. Естественно ожидать, что Fa имеет ту же размерность, что и много- q ,. „ (а + 1)(а + 2) члены от 3 переменных степени а, т.е. dimFQ =---------. Кроме того, Пуассонова алгебра (5) имеет центральную функцию: С — х\ + x\ +x\ + 3kxQXiX2 и центр порожден элементом С. Поэтому естественно ожидать, что алгебра Арл при общих р и q имеет центральный элемент вида Cp,q = (рх% + фх1+цх1 + Xx0Xix2, где ср, ф,(х,\ — функции от р и q (в существовании CVA можно убедится прямым вычислением), причем центр порожден CVA. Обычная техника доказательства таких утверждений (например, теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта для алгебр Ли) использует фильтрацию на алгебре и изучение градуированной присоединенной алгебры. В нашем случае алгебра уже градуирована и поэтому нельзя ввести обычную индукцию по членам меньшей фильтрации, поэтому мы используем другую технику. Именно, мы изучим некоторый класс модулей над алгеброй Арл и попытаемся из информации о модулях получить результаты об алгебре АРЛ. Для наших целей удобен следующий класс модулей. Определение. Модуль над й>о-градуированной алгеброй А называется линейным, если он Ж>0-градуирован как А-модуль, порожден пространством степени О и размерности всех компонент равны 1. Изучим линейные модули над алгеброй Арл. По определению, это модуль М с базисом {va,a > 0} и действием образующих: X0Va = XaVa+i, XiVa = yaVa+i, X2Va = ZaVa+i, где xa,ya, za — последовательности, причем ха,уа, za не равны нулю одновременно при всяком а (мы хотим, чтобы М был порожден vq). Замены базиса вида va —> XQva умножают тройку (ха, уа, za) G С3 на "+1, т.е. модуль М с точностью до изоморфизма градуированных модулей определен последовательностью точек (ха : уа : za) € СР2. Ясно, что последовательность точек (ха ' уа '¦ za) ? d2 определяет модуль над алгеброй AVA тогда и только тогда, когда выполняются

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23604.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.