Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Проблема изотопической реализации

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Проблема изотопической реализации

Количество страниц	150

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23606.doc

Содержание	Содержание Введение I. Дискретная реализуемость не влечёт изотопическую П. Об отображениях дуг в R3 III. О ручных отображениях и модификациях определений IV. Отображения в подпространство коразмерности к V. О дискретной реализуемости VI. Отображения Sn -> Sn С R2n VII. Общее отображение в метастабильном ранге 1. Отображения Sn -> R2n~k С Е2п 1.1. Первое препятствие к изотопической реализуемости 1.2. Отображения в гиперплоскость 1.3. Немного вычислений 2. Доказательство теоремы 2 2.1. Отображения Sn -* Sn С М2п 2.2. Нерасщепимость на бесконечности 2.3. Отображение, пропущенное через коразмерность к 3. Отображения Sn ->Rm,m> ^il^til 3.1. Критерий непрерывной реализуемости 3.2. Подтаскивание по остовам 3.3. Неполнота первого препятствия Приложение. Гомологии Стинрода-Ситникова (Бореля-Мура) и бордизмы Кошорке-Ахметьева ВВЕДЕНИЕ Напомним, что под вложением понимается отображение, являющееся гомеоморфизмом на свой образ, а под изотопией - гомотопия в классе гомеоморфизмов, тождественная при нулевом значении параметра. Непрерывное отображение / компактного полиэдра X в PL-многообразие Q (без края) называется дискретно реализуемым [Si], если для каждого е > О оно е-аппроксимируемо вложением, и изотонически реализуемым [ЩШ], если существует псевдоизотопия Щ: Q —+ Q, t 6 / = [0,1] (т.е. изотопия с параметром t € [0,1), Hq = idQ, продолжающаяся до непрерывного отображения при t —> 1), переводящая в / некоторое вложение g (т.е. Hi о g = /). Очевидно, изотопическая реализуемость влечёт дискретную. Вопрос о справедливости обратной импликации был поднят Е. В. Щепиным в 1993 году (см. [А1; проблема 2]) и известен как проблема изотопической реализации. Истоки этого вопроса восходят к проблеме Л. В. Келдыш о реализуемости дико вложенных полиэдров псевдоизотопией подполиэдров, которая была сформулирована в 1966 году (см. [К1]) и решена в последующее десятилетие положительно для диких поверхностей в 3-многообразиях (см. [К1] и обобщение в [Сг]) и диких вложений в коразмерности > 3 [Ed] (см. [Ml; Theorem 3.5]), и отрицательно для некоторых диких узлов в R3 [Sik], [К 2]. Также следует отметить, что в силу теоремы Чернавского о локальной стягиваемости группы гомеоморфизмов многообразия [Че], [ЕК] дискретно реализуемые отображения замкнутого компактного многообразия на себя реализуемы изотопически. Связь с контролируемой топологией может быть описана следующим образом. Из теоремы /?, сформулированной далее во введении, вытекает, что в условиях коразмерности > 3 отображение компактного полиэдра X в PL-многообразие Q изотопически реализуемо, если и только если оно лежит в образе канонического отображения1 e:holink(jVf,X>) -> V, где М - пространство отображений X —> Q (в компактно-открытой топологии), V - «дискриминант», т.е. дополнение в М к множеству вложений, holink - гомотопический линк в смысле Квинна [Qu], т.е. пространство путей у?: / —» Л4у таких что Легко строятся отображения компактов, реализуемые дискретно, но не изотопически (интересный пример - композиция проекции двух псевдодуг на одну и некоторого вложения последней в плоскость [Ml; Example 1.1]). Однако в случае, когда X - полиэдр, вопрос о существовании таких отображений, особенно в коразмерности > 3, оказался непростым. Замечание. В этой связи может быть интересен следующий пример. Рассмотрим последовательность отображений /: S1 — Е2 \ {О}, таких что /» индуцирует на 7Г! умножение на г и совпадает с /i_i вне 2~г-окрестности северного полюса N, которую переводит в 2~1-окрестность начала координат О. Прообраз хНапомним, что значение этой конструкции основано на теореме Фаделла (см. [HR]), согласно которой для произвольного локально-плоского топологического подмногообразия Nn топологического многообразия Мт отображение е: holink( M,N) —» N есть расслоение Гу-ревича со слоем 5'm~n~1, причём в гладком случае е послойно гомотопически эквивалентно сферизации нормального расслоения. О при предельном отображении /: S1 —> R2 есть N; образ / можно описать как объединение двух спиралей, закрученных вокруг О в противоположных направлениях. Может показаться «очевидным», что / не допускает мгновенного снятия с начала координат, т.е. не существует гомотопии ht: Sl —¦> R2, такой что ho = f и образ ht не содержит О при t > 0. Но это неверно, в чём несложно убедиться, заметив, что / является также равномерным пределом нульгомотопных отображений /,-: S1 —¦ R2 \ {О}, где f[ совпадает с fi вне 4~-окрестности N, которую переводит в 4~-окрестность О. I. Дискретная реализуемость не влечёт изотопическую Лишь недавно выяснилось, что отображение полиэдра в многообразие, реализуемое дискретно, но не изотопически, существует. А именно, автором было построено такое отображение дизъюнктного объединения 3-мерного шара и полнотория в R6 [Ml; Example 1.9]. Пример Ао» Построим сначала отображение /: S1 х В2 — R3, снимающееся с начала координат сколь угодно малым е-сдвигом (т.е. аппроксимирующееся в С°-топологии отображениями со значениями в R3 \ 0), но не мгновенно (т.е. такое, что не существует гомотопии ht, такой что hi = f и образ ht не содержит начала координат при t < 1). В полнотории Tq = S1 х В2 рассмотрим бесконечную цепочку полноториев ... С Т2 С Т[ С Тх с Tq С То, пересечение которых гомеоморфно 3-адическому соленоиду ?з, причём каждый Tj+i закручен в Т/ три раза (т.е. включение Tj+1 С Т/ индуцирует умножение на 3 в одномерных гомологиях), но каждый Т[ закручен в Ti только один раз: Т/ = S1 х \В2 С S1 х В2 = Тг. Толстый тор Тг \ Т( = S1 х дВ2 х I сначала спроектируем на кольцо дВ2 х /, которое затем профакторизуем по основаниям, так что внешний край дВ2 х 0, являющийся образом тора dTi, целиком сожмётся на северный полюс п полученной 2-сферы, а внутренний край — на южный полюс. После этого сферу S2 вложим в R3 \ 0 таким вложением Si, чтобы при г > 0 её южный полюс перешёл в Si-i(n) — предыдущий образ северного полюса, а все остальные точки - в ограниченную компоненту дополнения до Si_i(52) в R3. При этом требуется дополнительно, чтобы каждый образ Si(S2) попадал в ^--окрестность начала координат. Этим отображение / определено на всех толстых торах Т* \ TV, которые переводятся им в сферы Si(S2), причём внешние края dTi переходят в точки Si(n), а внутренние &Т[ — в точки Si+i(ri). Положим / на каждом изгрызенном полнотории Т/ \Ti+i равным Si+i(n), и продолжим его но непрерывности на предельный соленоид Ез, который тем самым попадёт в начало координат. Отображение / аппроксимируется отображениями fi со значениями в R3 \ 0, где fi совпадает с / вне T}+i, который переводит в Si+i(n). Покажем, что не существует мгновенного снятия / с начала координат. Пусть р - образ южного полюса при so- Достаточно показать, что для любого отображения у?: (Т0,дТ0) —> (R3 \ 0,р), достаточно близкого к /, абсолютная величина различающей d(ip, /о) 6 Н2(То, дТо; ^(R3 \0)) сколь угодно велика. В самом деле, поскольку каждый гомоморфизм в строчке ••• -> Я2(То,То \Т2) - Я2(То,То\Г1) есть умножение на 3 в группе Z, несложно видеть, что, во-первых, d(/t,/o) = 1+3-1---(-З"1 = 3-^L для каждого г > 0 и, во-вторых, d(ip,ip) G 3lZ для любых двух отображений (р,1р: {Т0,дТ0) —> (R3\0,p), совпадающих с / на T0\Ti. Если задано г > О, выберем ^ Пример А. Перейдём к построению отображения F, реализуемого дискретно, но не изотопически. С помощью / и стандартного включения В3 «—» R3 определим F: To U В3 —»• R3 х О U 0 х R3 ^- R6. Оно дискретно реализуемо: вложения Fi\ TUB3 —> R6 могут быть определены формулами ^\|то(р) = (fi(p)i9i(p)), где gii To t—* В3 С R3 - произвольные вложения, и F^b* = -F\|b3- С другой стороны, если бы F реализовалось изотопически, согласно [Ml; Remark 6.1] без ограничения общности можно было бы предположить, что образ В3 неподвижен при псевдоизотопии, откуда следовала бы мгновенная снимаемость / с начала координат. Возможно альтернативное доказательство изотопической нереализуемости F, без использования [Ml; Remark 6.1]. Изотопическая реализуемость F влекла бы существование гомотопии Щ: То хВ3 —» R6, такой что Hi (p, q) = F(p)—F(q) для каждой пары (р,q) € Tq х В3, и im Щ С Кб\0 при t < 1; а именно, Ht определяется как произведение ограничений псевдоизотопии на вложения То и В3, скомпонированное с проекцией R6 x R6 на антидиагональ. Это приводит к противоречию как в вышеприведённом рассуждении. Определение. Отображение f:X—Q непрерывно реализуемо [Ml], если оно реализуемо дискретно, и Ve > 0 35 > 0 так что любое вложение, 5-близкое к /, переводится на / некоторой е-псевдоизотопией. Пример А'. Несложно видеть, что если отображение (дВ2 х /, д) — (S2,S°) степени 1, использованное выше, заменить на отображение степени к ф 1 mod 3, или если 3-адический соленоид заменить на 2-адический, полученное отображение F будет реализуемо изотопически, но не непрерывно. П. Об отображениях дуг в R3 Согласно [Ml; Corollary 1.8] (см. также §1.1 ниже) при п > 1 любое отображение компактного n-мерного полиэдра в кусочно-линейное (2п + 1)-мерное многообразие реализуемо изотонически и даже непрерывно (дискретная реализуемость здесь выполнена по общему положению). Непрерывная реализуемость не имеет места уже для произвольного кусочно-линейного вложения S1 С R3 [Ml; Example 1.4], [МЗ] (локальных узелков для этого, однако, недостаточно). Вопрос об изотопической реализуемости отображений 1-многообразий в R3 оказался весьма сложным. Особо интересен случай локально-плоского топологического погружения, т.е. отображения, в окрестности каждой точки прообраза являющегося ручным вложением. Замечание. В диссертации (см. пример 1 в §1.2) построено дискретно, но не изотопически реализуемое локально-плоское топологическое погружение в коразмерности 3. Пример Б. Локально-плоское топологическое погружение f:lUl-+IVl<-+ R3, образ которого показан на рис. 1, не реализуется псевдоизотопией никакого кусочно-линейного вложения. Под струнным зацеплением будем понимать PL-вложение L: (1+ L) 7_, д) «—> (I хМ?,д), такое что L(i, ±) = (г, ±р) для г = 0,1 и некоторой фиксированной р € R2 \ {0}. Струнные зацепления рассматриваются с точностью до объем-лемой изотопии, неподвижной на Ы х R2, и их связная сумма доставляется склейкой двух экземпляров (7+,7_,7). Предположим, что задано PL-вложение g: IU / <—> R3, достаточно близкое к /. Если взять PL-вложение h: I х R2 «—> R3, такое что д = hL для некоторого струнного зацепления L и h(dl xR2) удалено на достаточное расстояние от /(/ U 7), за исключением малой окрестности концов, легко видеть, что L представимо в виде связной суммы W#... #H/'#L/ сколь угодно многих экземпляров струнного зацепления Уайтхеда W (показанного трижды на рис. 1), и некоторого дополнительного струнного зацепления V. Следовательно, достаточно найти инвариант v струнных зацеплений со значениями в неотрицательных целых числах, такой что г;(И^) > 0 и v(Li#L,2) > v(Li) + г>(7/2) для любых L\ и Z/2. Такой инвариант доставляется родом «знаменателя» струнного зацепления, т.е. узла, полученного из струнного зацепления добавлением двух дуг в 81 х R2. ? Замечание. На рис. 2 ниже уже каждая из двух диких дуг по отдельности не реализуется псевдоизотопией никакой кусочно-линейной дуги [К2], [Sik] (ср. [Ml; Example 1.2]). Пример В. В [Ml; Example 1.3] утверждалось, что отображение /: 7 U 7 —»¦ 7 V 7 <^-» R3, образ которого показан на рис. 2, не реализуемо изотопически. Однако, в доказательстве недавно была найдена ошибка; на данный момент известно лишь, что утверждение вытекает из гипотезы ниже. Ввиду принципиальности вопроса приведём указанную редукцию. Для этого нам понадобится инвариант PL-зацеплений. Для зацепления /: SllAS^ —* S3 с нулевым коэффициентом зацепления рассмотрим разложение первой компоненты К := l(S\) в связную сумму простых узлов. Другими словами, фиксируются PL-шары Bi,...,Bp С S3, высекающие из К по дуге, так что при добавлении к любой паре шаров (Bi,Kr\B{) незаузленной пары (73, {^, \|} х /) получается простой узел К\ С S3, и при одновременной замене всех этих пар на тривиальные получается тривиальный узел Ко С S3. По теореме Шуберта семейство шаров Д С S3 единственно с точностью до изотопии пары (S3,K) и перенумерации шаров. По теореме Зайферта-ван Кампена фундаментальная группа тг(К) := ni(S3 \ К) является свободным произведением групп TTi(Bi \К) = ¦п(Кг) с объединённой подгруппой Z = ni(S3 \ (К U \|J J3;)). Поскольку перенумерация (ij) реализуется протаскиванием В{ сквозь Bj вдоль К П Bj (при условии, что Bi и Bj — соседние), это разложение единственно с точностью до замены подгрупп 7r(Ki) на сопряжённые. Поэтому для каждого г эпиморфизм Назовём Ki несущественным, если гомотопический класс К' := 1{S\) в S3 \ К, рассмотренный как класс сопряжённости в тг(Х), лежит в ядре гомоморфизма Гипотеза. Значения а(1) стабилизируются для PL-зацеплений I, достаточно близких к заданному топологическому зацеплению д. Возвращаясь к отображению /, предположим, что существует (возможно дикое) вложение д: I\ LJ /г — ^3 и псевдоизотопия Ht: Ш3 —> R3, такая что Но = id и Hi о д = /. Доопределим д, добавив две дуги, до (возможно дикого) зацепления д: S\ LJ Sj •—* Е3 с нулевым коэффициентом зацепления. Можно считать, что дуги Ht о g(S} \ Ц), i = 1,2, достаточно далеки от f{[\, \|] U [j, \|]) для всех t G /. Легко видеть, что для любого п € N найдётся е > 0, такое что для любого PL-зацепления /, достаточно близкого к Н\-?од, инвариант а(1) > п. Таким образом, изотопическая реализуемость / противоречит гипотезе. ? Опишем вкратце алгебраический подход к вопросу об изотопической реализуемости отображений 1-многообразия в R3. Два PL-зацепления S1US1 «—> R3 называются к-квазиизотопными [MR1], если они соединяются PL-гомотопией общего положения, все сингулярные уровни которой являются fc-квазивложениями. PL-отображение /: S\ U S\ —> К3 с ровно одной двойной точкой f(p) = f(q) называется к-квазивложением, к = 1,2,...,и, если в дополнение к одноточечному множеству Pq := {f(j>)} найдутся компактные подполиэдры Р\,..., Рк С S3 и дуги Jo,...,Jk С S1 U S1, такие что f~x{Pj) С «7, для каждого j < к, и Pj U f(Jj) С Pj+i для каждого j < к, где последнее включение нульгомотопно для каждого j < к. (ср. с трюком Пенроуза-Уайтхеда-Зимана-Ирвина, см. [PC], и построением ручек Кэссона [Ка]). Очевидно, О-квазиизотопия совпадает с гомотопией в смысле Милнора (link homotopy), и с помощью теоремы Хакена о конечности показывается, что ы-квазиизотопия совпадает с (не локально-плоской) PL-изотопией [MR2]. Определение fc-квазиизотопии детально обсуждается, иллюстрируется разнообразными примерами и утверждениями в [MR1] и [MR2], и мы не будем на этом останавливаться.2 Ясно, что при к < и любые два PL-зацепления, достаточно близкие к двум ТОР-вложениям S1\JS1 t-+ R3, гомотопным в классе вложений, fc-квазиизотоп-ны. Поэтому как только для некоторого к < и построен инвариант I отношения fc-квазиизотопии со значениями в неотрицательных целых числах Z+, такой что X(Ji#/2#---#Jn#mn) —> со при п —¦ оо для некоторых зацеплений li, I2,... и произвольных mj,Ш2,..., немедленно доказана изотопическая нереализуемость отображения /: / U / —> R3, составленного из li, I2,--Здесь # обозначает покомпонентную связную сумму, являющуюся, вообще говоря, многозначной операцией; неоднозначность можно устранить, перейдя к струнным зацеплениям. Заметим, что если компоненты зацеплений li незаузлены, / является локально-плоским ТОР-погружением. Как для замкнутых, так и для струнных зацеплений возникает следующая Проблема накопления сложности [Ml], [MM], [MR1]. (а) Существует ли ненулевой инвариант X отношения к-квазиизотопии, к <и>, со значениями в неотрицательных целых числах, такой что 1{Щт) > 1(1) + Х(т) для любых зацеплений 1,т? (б) То же для инварианта, принимающего ненулевое значение на некотором зацеплении с незаузленными компонентами. При к = и примером инварианта, удовлетворяющего требованиям п. (а) является, очевидно, а(1) из примера В выше. При к = 0 такого инварианта не существует, поскольку связная сумма любого зацепления (замкнутого или струнного) с зеркальным гомотопна тривиальному. Однако уже для к = 1 проблема накопления сложности оказалась неожиданно трудной. В [MR1] показано, что 2Отметим лишь, что инвариантами fc-квазиизотопии являются инварианты Васильева (как в обычном смысле, так и в более общем смысле Кёрка-Ливингстона, см. [МЗ]) порядка < к, инвариантные при PL-изотопии [МЗ], Д-инварианты Милнора с не более чем fc + 1 вхождениями каждого индекса (ср. [MR2; Corollary 3.4(а)] и [МЗ; Corollary 3.10(b)]), инварианты Кохрана /?, i < к [MR2], [МЗ], первые к + 1 потенциально ненулевых коэффициентов ряда Vl/(Vkj •••VK'm). где Vi, - полином Конвея зацепления L, a Ki - его компоненты [МЗ], и многие другие интересные инварианты. Кроме того, fc-квазиизотопия влечёт (fc-f \|)-кобордизм Кохрана-Орра [MR2], и тесно связана с fc-разделённостью Эйленберга-Смайта и fc-стягиваемостью Кобаяси [MR2]. Понятие fc-квазиизотопии было существенно использовано в доказательстве инвариантности при топологической изотопии некоторых модификаций полиномов Александера, Джонса, HOMFLY и Кауффмана [МЗ]. требуемый инвариант нельзя извлечь ни из какой факторгруппы фундаментальной группы, функториально инвариантной при Ажвазиизотопии и снабжённой периферической структурой (функториальность означает, что изоморфизм между факторгруппами для зацеплений, отличающихся на допустимое самопересечение одной из компонент, образует коммутативный треугольник с индуцированными включением гомоморфизмами из фундаментальной группы дополнения к утолщённому сингулярному зацеплению, возникающему при самопересечении). Хуже того, результаты [МЗ] наводят на мысль, что, несмотря на кажущуюся простоту, проблему накопления сложности в принципе нельзя решить с помощью всех многочисленных инвариантов зацеплений, известных на данный момент. III. О РУЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯХ И МОДИФИКАЦИЯХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ Заслуживает упоминания следующий результат, доказательство которого основано на «срезающей лемме» Эдвардса [Ed]. Теорема a. [Ml; Theorem 1.6] Пусть Хп - компактный полиэдр, Y - полиэдр, Qm - кусочно-линейное многообразие, m — га > 3. (а) Дискретно реализуемая композиция кусочно-линейного отображения X —>Y и топологического вложения Y <-* Q реализуема непрерывно. (б) PL-дискретно реализуемое PL-отображение X —* Q PL-непрерывно реализуемо. Дискретная, изотопическая и непрерывная реализуемость в категории PL определяются в полной аналогии с топологическим случаем. Как было отмечено выше, уже любое PL-вложение S1 —> R3 не является непрерывно реализуемым [Ml; Example 1.4], [МЗ]. Непрерывно реализуемым, но не PL-непрерывно реализуемым является тождественное отображение 5-мерного тора в себя, см. [Ml; Example 1.4']. Отметим, что в общем случае, например, для отображений S2 — R4, PL-аналог проблемы изотопической реализации [Ml; Question II] по-прежнему открыт. Из доказательства теоремы а в [Ml] ясно, что он по существу сводится к следующему вопросу: если Хп - полиэдр, т = п + 1 или п + 2, и /: Хп х Ш.к <—> Rra х Rk - PL-вложение, е-коммутирующее с проекциями на Шк, существует ли се-сдвиг вложения /, тождественный вне Хп х Вк, на такое PL-вложение /', ограничение которого на Хп х \|??fc в точности коммутирует с проекциями на Efc? Приведём некоторые другие геометрические результаты работы [Ml]. Теорема j3. [Ml; Theorem 1.12] Для отображения /: Хп —> Qm компактного полиэдра в PL-многообразие, т — п > 3, изотопическая реализуемость равносильна конкордантной, т.е. существованию вложения F: X х [0,1) 1—* Q х [0,1), продолжающегося посредством fxl:Xxl—Qxl до непрерывного отображения. При этом отображение из примера В (рис. 2 выше) оказывается конкордант-но реализуемым [Ml; Example 1.11]. Однако, в общем случае (например, для отображений дуг bR3) неизвестно [Ml; Question III], следует ли изотопическая реализуемость отображения /: X — Q из существования топологической изотопии X в Q с параметром t € [0,1), продолжающейся посредством / х 1 до непрерывной гомотопии. В [Ml; Example 1.15] построена топологическая изотопия S1 в Е3, накрываемая объемлемой изотопией с параметром t € [0,1), но не накрываемая никакой псевдоизотопией. Доказательство теоремы 0 основано на контролируемой версии теоремы «конкордантность влечёт изотопию» в кусочно-линейной категории; аналогичный результат в гладкой категории, также установленный в [Ml], доставляет положительное решение проблемы Р. Кёрби 1967 года. Теорема 0 существенно использована в доказательстве гомотопического критерия изотопической реализуемости (теорема 1.1.1 ниже), на котором основана большая часть результатов диссертации. Доказательство теоремы 0 использовано также в доказательстве следующего результата. Теорема 7* [Ml; Theorem 1.16] (а) Пусть f отображает компактный полиэдр Хп в кусочно-линейное многообразие Qm, т — п > 3. Если f изотонически реализуемо, существует кусочно-линейная объемлемая изотопия с параметром t € [0,1), продолжающаяся до псевдоизотопии, переводящей на f некоторое кусочно-линейное вложение. (б) Пусть f отображает компактное гладкое многообразие Мп в гладкое многообразие Qm, т > 3\п+ч. Если f изотонически реализуемо, существует гладкая объемлемая изотопия с параметром t € [0,1), продолжающаяся до псевдоизотопии, переводящей на f некоторое гладкое вложение. IV. Отображение в подпространство коразмерности к В работе [AM] доказано, что, если Хп - компактный полиэдр, Qm — ориентируемое кусочно-линейное многообразие, где т > 3^1', и отображение f:X—>Q дискретно реализуемо, то композиция / и включения Q х {0} •—* Q х R изотопически реализуема (согласно теореме 1.1.1(6), размерностное ограничение можно ослабить до га > \п? , п ф 1). По этому поводу см. также начало §1.2, где приводится новое доказательство для случая Q = М2""1. В [AM] спрашивается, совпадают ли два понятия реализации для отображений Sn _> Rm-i ci, Rm и Sn _> Sn J+ R2n} где ^ j _ стандартные включения. На первый вопрос отрицательный ответ даётся примерами 2 и 2' в §1.2, см. пункт (в) теоремы 1 ниже. Второй же вопрос (об отображениях, пропущенных через включение n-сферы в Е2п), который является основной мотивацией настоящей работы, полностью решить пока не удалось. Этот вопрос изучался также П. М. Ахметьевым в [А1], где приведён эскиз доказательства, что в случае п = 4к + 1 > 5 решение положительно, что является частным случаем следствия 2 ниже. Найти, по заданию рецензента, связь изложенных в этом эскизе идей (кроме тех, что явно содержатся уже в [AS]) с методами данной работы автору не удалось. Теорема 1. Пусть /3(т) обозначает 2-примарную часть т, т.е. наибольшую степень двойки, на которую делится т. (а) [А1; док-во теоремы 1] (см. также [М2; §3] и [AS]) Любое /: Sn —> R2n-/3(n+i) с К2П> п ф 2, дискретно реализуемо. (б) Изотопически реализуемо всякое f:Sn-+ №?n~k с R2n, пф2, где 2, если п = 0 (mod 4); к = { 3, если п = 2 (mod 4); /3(п + 1), если п нечётно. (в) Для каждого п > 4 существует отображение f:Sn—> R2n-1 с М?п, реализуемое дискретно, но не изотопически. Утверждение пункта (б) следует из теоремы 1.3.1. Неединообразный вид ответа в пункте (б) объясняется тем, что имеются два независимых подхода, более простой из которых работает при ограничении k = max(/?(n+l), /?(п+2)), а более сложный - при к =¦ max(/?(n),/?(n + 1)) + 1; легко видеть, что в случае п ф 2 (mod 4) выигрывает первый подход, иначе - второй. Заметим также, что именно наличие этих двух подходов приводит далее к двум пунктам теоремы 2. Отметим, что при п = 2 утверждение пункта (а) теоремы 1 не выполнено из-за того, что отображение S2 —»¦ R3 может в общем положении иметь тройные точки. Более точно, двулистное накрытие над поверхностью Боя S2 —> RP2 Ч-» R3 <^ R4 не реализуемо дискретно в R4 [A1]; более тонкий пример, для которого дискретная реализуемость не выполнена далее «по модулю 2», приведён в [А2]. Следствие 1. Любое отображение Sn —> R5tn/3]+3 с Ш.2п изотопически реализуемо, если п + 1 не является степенью двойки, п -ф- 2,4, б, 9,10,12. Доказательство. Предполагая, что п + 1 = т * {3(п + 1), где т > 3, легко убедиться, что при к ф 4,6 в условиях теоремы 1(6) выполнено к < [^^р-]. Рассматривая отдельно случай 3 \ т, эту оценку можно слегка улучшить, пожертвовав ещё тремя размерностями. ? Следствие 2. Для любого отображения f:Sn-^Sn и любого топологического вложения \: Sn c—> Ш2п композиция i о / изотопически реализуема, при условии что п + 1 не является степенью двойки, п ф 2. Доказательство. Если i - стандартное вложение, утверждение является частным случаем теоремы 1. По теореме Зимана [Ze] любое PL вложение i изотопно стандартному, и тем самым для него утверждение также выполнено. Если теперь i — ТОР вложение, в силу теоремы Эдвардса [Ed] существует псевдоизотопия ht, переводящая на i некоторое PL вложение j (см. [Ml; Theorem 3.5a]), и искомая псевдоизотопия может быть получена диагональным образом из ht и псевдоизотопии, переводящей некоторое вложение на) о f (см. [Ml; §4]). ? Заметим, что среди отображений Sn —¦ R2n те из них, образы которых содержатся в сфере Sn С Rn+1 С Ш2п, вызывают особый интерес в контексте вопросов о дискретной и изотопической реализуемости. Во-первых, они представляют собой первый нетривиальный случай с точки зрения коразмерности, поскольку любое отображение Sn —* S1""1 С R2n изотопически реализуется распроектированием посредством совместного отображения ввиду того, что реализуемо изотопически постоянное отображение Sn —* {0} —» Rn+1 в слой тривиального нормального расслоения к S™1 в пространстве Ш2п. Немного более тонкие рассуждения позволяют уточнить оценку: Предложение 1. (а) Всякое Sn —> Ш.п С Ш2п изотопически реализуемо. (б) Отображение Sn —¦* Sn С Ш2п изотопически реализуемо при условии, что /-1(р) = {р} для некоторой р € Sn. Доказательство. График Г ограничения / из пункта (б) на дополнение к р лежит в произведении (Sn \ {p}) х (Sn \ {р}), которое можно отождествить с тотальным пространством Rn x (Sn \ {р}) нормального расслоения к некомпактному подмногообразию Sn \ {р} С Sn С М2т\ Поскольку диаметр слоя этого расслоения стремится к нулю при удалении точки базы на бесконечность, Г имеет одноточечную компактификацию в топологии Ш2п, с точкой р в качестве короны. Следовательно, стандартное вложение Sn \ {р} на Г продолжается до вложения g сферы Sn в тотальное пространство Т нормального расслоения к Для доказательства (а) рассмотрим путь <р: I —¦ Шп, такой что ip(t) € f(Sn), если и только если t = 0. Зафиксировав какую-нибудь р € /"ЧуСО)) и отождествив в сфере Sn все точки, равноудалённые от р на расстояние не более t, получим гомотопию ht: Sn —+ Sn Up=o I, где ho = ids", ^ГЧ) = {p}- C°" гласно пункту (б), композиция (/ U ф) о ht изотопически реализуема при t > О (можно считать Ш.п С Sn), причём ясно, что вложение g = g(t) и псевдоизотопия Hs = Hs(i) непрерывно зависят от t, более того, существует исевдоизото-пия Gt, такая что g(l — t) = Gto д{\). Значит, диагональная псевдоизотопия Ft — Ht{\ — t) о Gt переводит #(1) на композицию / и включения Sn С Ш2п. О Во-вторых, как ясно из [А2], [KS] (см. также [Ah]), рассмотрение отображений Sn —¦ Sn С R2n~fe тесно связано с изучением итерированного гомоморфизма надстройки в гомотопических группах сфер, а также, ввиду итерационных возможностей отображений Sn — Sn, допускает приложения к вложимости компактов [А2], [М2]. Наконец, отметим, что, как ясно из доказательства следствия 2, ответы на вопросы о дискретной и изотопической реализуемости композиции отображения f:Sn—Snn (топологического) вложения i: Sn c-^ M.m, m — п > 3, не зависят от выбора вложения i, поэтому корректно говорить о реализуемости / в пространстве Ш171, что возвращает нас к исходной терминологии [Si], [ЩШ]; легко видеть, что композиция дискретно (изотопически) реализуемых в Ш171 отображений Sn — Sn дискретно (изотопически) реализуема в Ет. V. О ДИСКРЕТНОЙ РЕАЛИЗУЕМОСТИ Определения. Пусть /: X —* Q - непрерывное отображение. Замкнутое подмножество ?/ = {(х, у) \ х ф у, f(x) = f(y)} взрезанного квадрата X = X х X \ Ах, где Ах = {(х,х)} - диагональ, инвариантно при свободной инволюции t: (ж, у) <-> (у, х) на X. Отметим, что компактность ?/ равносильна тому, что / - (топологическое) погружение, а его пустота — тому, что / - (топологическое) вложение; если / - кусочно-линейное отображение между полиэдрами, ?/ - подполиэдр X, а если / - отображение общего положения между многообразиями, ?/ - подмногообразие X. Пример Г. Согласно [MB] (см. также [Ни], [No]), любое выворачивание сферы S2 общего положения, рассмотренное как сохраняющее уровни погружение (р: S2 x / Я-» R3 x /, имеет нечётное число четверных точек. По теореме Фридмана [Fr; Lemma 2] (см. также [Ко; Theorem F(b)]) отсюда следует, что заклейка тривиальными «шапочками» доставляет погружение f:S3 9-> R4, представляющее (с помощью леммы Хирша, см. [RS], ср. [Fr]) элемент стабильной гомотопической группы Пз с нетривиальным стабильным3 инвариантом Хопфа. Используя интерпретацию Кошорке-Сандерсона инварианта Хопфа как двойных точек [KS; р. 203] покажем, что композиция S3 4-» R4 С R6 не реализуема дискретно. (Аналогично, композиция S7 Я-» R8 С R14 не реализуема дискретно для любого / общего положения с ненулевым стабильным инвариантом Хопфа; однако, аналог теоремы Фридмана в этой ситуации не имеет места [Ее].) Согласно [KS], любое погружение общего положения /: S3 Я-» R6, проектирующееся в /, имеет нечётное число двойных точек. Зафиксируем такое /, е-близкое к if, и предположим, что существует вложение д: S3 <—> R6, е-близкое к i/ для достаточно малого е > 0 (определённого ниже). Поскольку T,j С Е/, некоторая компонента связности С многообразия S//t содержит нечётное число точек S//t. С другой стороны, для любого отображения h: S3 —* R6, е-близкого к /, множество Лн лежит в е-окрестности Ое многообразия S/ U Д^з. Значит, любая е-гомотопия общего положения Н: S3 х / —> R6 х / между / и д задаёт t-эквивариантный нуль-бордизм ?я С О? х Д/ С S3 х / для Hj. Если е достаточно мало, е-окрестность С не пересекает е-окрестностей других компонент и диагонали Д^з, поэтому множество С П T,j/i нечётной мощности нуль-бордантно. П Пример Д. Композиция двулистного накрытия /: S3 —> RP3 и произвольного вложения RP3 «—» R6 не реализуема дискретно; аналогично для S7 —> ШР7 <—>• R14 (ср. [Re]). В самом деле, согласно аппроксимационной теореме [Нае], вложение можно считать гладким, а поскольку RP3 (или ШР7) стабильно параллелизуемо, нормальное расслоение такого вложения тривиально [КМ]. Аналогично доказательству предложения 1, / поднимается в погружение /: S3 9-» RP3 х R3 с единственной двойной точкой. S/ совпадает с антидиагональю Vsa := {(х,—х) \| х G S3}, и применимо рассуждение из предыдущего примера. ? Замечание. Утверждение предыдущего примера напрямую следует из следующего критерия, доказанного в [М2; §3]: пусть М - стабильно-параллелизуемое п-многообразие, п > 2, и f: Sn ~у М — отображение общего положения; тогда композиция / и произвольного вложения М «->• R2n дискретно реализуема если и только если любая t-инвариантная связная компонента Е/ проектируется с чётной степенью на первый (эквивалентно, второй) сомножитель Sn x Sn. Доказательство этого критерия в [М2] - более-менее в духе рассуждений П. М. Ахметьева в [Al], [A2], и не приводится в диссертации. Отметим, что условие этого критерия выполнено тривиальным образом, если Е/ не имеет компактных компонент. Читатель может убедиться непосредственно, что это так для отображений S3 —» S3 степени 2, полученных заклейкой тривиальными «шапочками» выворачиваний Морэна и Шапиро [Фр]; в случае выворачивания 3Напомним, что стабильный инвариант Хопфа Я: Пп —> Z/2 определяется равенством Н(Еа) = /i(a) mod 2, где h: 7r2n+i(5n+1) -» Z - инвариант Хопфа, Е: n2n+\(Sn+1) —> 2 — П„ - надстроечный гомоморфизм. Шапиро это опровергает некоторые утверждения из [Al], [A2]. В действительности, подходит любое выворачивание [М2]. Утверждение. Если f:Sn—* Mn имеет нечётную степень, где М стабильно параллелизуемо, то композиция f и произвольного вложения М •—> Ш.2п дискретно реализуема. Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму где Sf = {x G Sn \| f(x) = f(y) для некоторого у ф х} обозначает сингулярное множество, так что f(Sf) - множество двойных точек, и р - ограничение проекции Sn х Sn на первый сомножитель; отображение /(2) определено по формуле {х, у} н-> f(x) = f(y). Достаточно рассмотреть случай, в котором / - отображение общего положения. Ограничивая на связную компоненту S/, и считая Sf и f(S/) содержащимися в Sn и в М, соответственно, имеем deg(p) deg(/) = 2 deg(/(2)). Если / имеет нечётную степень, р должно иметь чётную на каждой связной компоненте, и утверждение вытекает из критерия, сформулированного в предыдущем замечании. ? П. М. Ахметьеву удалось доказать с помощью теоремы Адамса об инварианте Хопфа, что любое отображение f:Sn—>SnC R2n дискретно реализуемо при п ф 1,2,3,7 [А2] (см. альтернативные доказательства в [Ah], [M2; §3]). При п = 1 это не так для любого отображения степени -ф 0, ±1 [Si]; случаям п = 3,7 посвящена работа [М2], а случаю п = 2, где возникают дополнительные трудности, связанные с упомянутыми выше тройными точками, - основной результат работы [ARS] (см. также [Al], [A2]). Известно, что при п = 2 ответ положителен для открытых отображений (Е. В. Щепин, неопубликовано). Для вопроса об изотопической реализуемости случай п = 21 — 1 представляет особую сложность, поскольку в проблеме изотопической реализации ту роль, которую инвариант Хопфа играет в задаче дискретной реализации, занимает относительная версия (ср. гомоморфизмы р?т из [Ah]) второго инварианта Хопфа #2 в смысле Уайтхеда-Джеймса (см. [KS]), а для последнего удаётся применить лишь доказательство [AS] лёгкой части (принадлежащей Адему [Ad]) теоремы Адамса (общий случай см. в [A3]), работающее при ограничении пф21-1. Таким образом, размерностные ограничения в следствии 2, по-видимому, не удастся ослабить (или же доказать их необходимость) стандартными методами теории погружений без дальнейшего развития её аппарата. Перейдём к формулировке результатов, полученных другими методами. VI. Отображения Sn -* Sn с Ш2п Определение. В приложении определены гомологические препятствия 6(/) и о(/) (а в §1.1 - их когомологические эквиваленты $(/) и $(/)) к дискретной и к изотопической реализуемости отображения /: Nn —¦ Мт между ориентируемыми кусочно-линейными многообразиями; приведём краткий набросок их построения. Препятствие б(/) принимает значение в (2тг — т)-мерной группе локально-конечных гомологии Александрова-Чеха сг-комиакта S//t с некоторыми локальными коэффициентами, изоморфной обратному пределу локально-конечных4 гомологии полиэдральных окрестностей S//t в N /i, и определяется как нить из гомологических классов многообразий S/j/t, где fi - аппроксимации общего положения отображения /, в этих окрестностях N{, объединённых с окрестностями Di бесконечности некомпактного многообразия N/t. Препятствие о(/) принимает значение в (2п — т)-мерной группе локально-конечных гомологии Стинрода-Ситникова сг-компакта S//t с некоторыми локальными коэффициентами, изоморфной группе (2гг—пг+1)-мерных локально-конечных гомологии телескопа обратной последовательности окрестностей Ni, и определяется как гомологический класс многообразия \J S/f/t, где ft: N —> М, t (=. [0,1),- гомотопия общего положения, такая что ft —> / равномерно при t —> 1, в телескопе обратной последовательности Ni U Di. Предложение 2. Пусть /: Nn - Q2n - отображение между ориентируемыми кусочно-линейными многообразиями, где п > 3 и N компактно. (а) [Ski] / дискретно реализуемо, если и только если о(/) = 0. (б) f изотонически реализуемо, если и только если о(/) = 0. (в) Если / дискретно реализуемо и является композицией N —* М С Q, где Q = М хШк, М2п~к - кусочно-линейное многообразие, к > 0, то класс о(/) имеет порядок 2 и является образом о(/) при некотором гомоморфизме. Доказательство пункта (б) состоит, с учётом гомотопического критерия изотопической реализуемости (теорема 1.1.1), из стандартной теории препятствий (теорема 1.1.3) и стандартного перехода от когомологий к гомологиям (см. приложение). По модулю этого перехода первое утверждение пункта (в) доказано в предложении 1.2.2 (другое доказательство - в замечании к лемме 1.3.3), а второе, играющее роль ключевого наблюдения в данной статье - в предложении 2.3.4 (а также вытекает из леммы 1.3.3(а) и наблюдения 2.1.4, что доставляет альтернативное определение интересующего гомоморфизма). Некоторые следствия второй части пункта (в) установлены уже в теореме 1.2.1 (случай т = 2п) и в наблюдении 1.3.4. Теорема 2. Допустим, что композиция /: Sn —> Sn С R2n, n > 3, реализуема дискретно, но не изотонически, и пусть х G Sn - любая точка, (а) Если o(f) имеет конечный порядок, то компакт Рх соленоидален, т.е. нетривиально ядро канонического эпиморфизма Т: Щ{РХ) —> Hq{Px) между нульмерными гомологиями Стинрода-Ситникова и Александрова-Чеха. Более того, это ядро содержит элемент порядка 2. (б) Образ индуцированного включением гомоморфизма ЙО(РХ) 2 Щ{РХ \ {х}) -^ HiJ(Zf/t) содержит элемент порядка 2, принадлежащий ядру H^{T,j/\) —> и не зависящий от х. Этот элемент - ни что иное, как o(f). 4Напомним, что локально-конечные гомологии отличаются от обычных наличием циклов с некомпактными носителями, аналогичных носителям коциклов в обычных когомологиях; см. приложение. Доказательству когомологической версии теоремы 2 посвящена глава 2; исходная формулировка сводится к ней в приложении. Замечание. Из точной последовательности Милнора (см. приложение), связывающей гомологии Стинрода-Ситникова и Александрова-Чеха, вытекает, что всякий соленоидальный компакт имеет размерность не менее 1. Замечание. Существование отображений Sn -+ Sn без несоленоидальных прообразов точек представляется автору маловероятным. (Следует уточнить, что специалистам, таким как, например, Р. Эдварде, неизвестно, существуют ли такие отображения, равно как и отображения /: Sn —* Sn с f~l(x) = S1 для каждой х € Sn.) В самом деле, известно, что факторпространство Sn по свободному действию р-адического соленоида (если такое существует) имеет размерность не менее п + 1 [Ya]. Замечание (Е. В. Щепин). Прообраз хотя бы одной точки не является солено-идальным, если / липшицево или 1-мягкое (доказательство основано на доказательстве леммы Сарда, упрощённом с учётом того, что размерности образа и прообраза совпадают). Замечание (А. Н. Дранишников). Если /-прообраз каждой точки некоторого открытого множества U С Sn гомеоморфен р-адическому соленоиду (который ацикличен modp), по теореме Виеториса-Бегла отображение / индуцирует изоморфизм H(Sn,Sn \ U;Z/p) - H(Sn,Sn \ f-l{U);Z/p); в частности, cleg/ ф 0 (modp). Правда, здесь не учтены такие, например, возможности: (i) прообраз каждой точки гомеоморфен €-адическому соленоиду, где ? = (2,3,5,7,11,...); (ii) Sn = Т3 U Г5, где Тр - всюду плотное множество, прообраз каждой точки которого гомемоморфен р-адическому соленоиду. Замечание. Из второго утверждения пункта (а) следует, что в его условиях 2-адический соленоид не может быть прообразом никакой точки, поскольку в его одномерных гомологиях нет элементов порядка 2. Замечание. Следующий пример показывает, что существование отображений Sn —¦ Sn, удовлетворяющих заключению первого утверждения пункта (б) для каждой х G Sn, выглядит весьма правдоподобным. Для проекции /: ?р —»• S1 р-адического соленоида, р > 2, на окружность и любой х € S1 образ индуцированного включением гомоморфизма Ho(f~1(x)) = H0(f~1(x)) -^ ЯО(ЕР) содержит элемент порядка 2, принадлежащий ядру Т: Но(Т,р) —> Яо(Ир). В самом деле, г* - эпиморфизм, поскольку по аксиоме вырезания i7o(Sp,/~1(x)) = Hq(I х С, dl х С) = 0, где С обозначает канторово множество, между тем по формуле универсальных коэффициентов Но(Т,р) = Z 0 Ext(Z(p),Z), где Z(p) — локализация целых чисел в р, изоморфная прямому пределу спектра из групп if1(S<1) и гомоморфизмов, индуцированных р-листным накрытием. Но Ext(Z(p),Z) = Zp/Z согласно упражнению из [Мак], где Zp обозначает группу целых р-адических чисел, содержащую Z[^] С Z(p) в качестве подгруппы. Два чисто геометрических описания изоморфизма Hq(Ep) = Zp/Z приведены в примере 6. Известно, что /: ?р —> S"1 является главным Zp-расслоением, в частности, проекцией на пространство орбит канонического свободного действия Zp на Ер. Этим мотивируется Проблема 1. Если /: Sn —> Sn С Ш2п реализуемо дискретно, но не изотонически, верно ли, что отображение fW: S//t —> Sn, заданное по формуле {х,у} ¦-> f(x) = f(y), совпадает с проекцией на пространство орбит некоторого эффективного действия на ?//t канторовой группы, являющейся нетривиальным расширением Щ(Т,//г) посредством Ъ, и согласованного с левым действием Щ(Е//Х) на себе? Замечание. Несложно показать, что любой элемент ядра канонического эпиморфизма Т имеет бесконечную высоту по любому основанию р, делящему порядок элемента, если тот конечен (достаточно рассмотреть последовательность Милнора, см. приложение, с коэффициентами в Z/pft+1, где h - высота). В частности, всякий элемент порядка 2 в этом ядре четен и, стало быть, потеряется, если привести коэффициенты по модулю 2. Поскольку ^-произведение нечётных классов может оказаться чётным, нам потребуется систематически различать элемент порядка 2, далее если он нечётен, в когомологиях с целыми (быть может, локальными) коэффициентами и соответствующий ему элемент в когомологиях по модулю 2; в частности, для одномерного векторного расслоения мы различаем первый класс Штифеля-Уитни Wi, принимающий значение в одномерных когомологиях по модулю 2, и класс Эйлера е, являющийся элементом порядка 2 (либо 1) в локальных целочисленных одномерных когомологиях. Проблема 2. Существует ли отображение Sn —> S2n~k С Ш2п, реализуемое дискретно, но не изотопически, и такое что (а) dim^j = к? (б) 6(/) имеет бесконечный порядок? (в) существует локальная изотопическая реализация f (то есть регулярная гомотопия F:Snx [0,1) q-> S2n~k х [0,1), такая что FU (/ х 1): Sn х / -»• g2n-k x j непрерывно), ограничение которой на Sn х [0,1 — г] рапроектируется в изотопию Sn х [0,1 - е] <-> R2n х [0,1 - е] для всякого е > О? Неравенство dimE/ < k следует из предложения 2(в), но неясно, может ли оно быть усилено до dimS/ < к + 1, из чего вытекал бы отрицательный ответ к проблеме 1. Такое усиление имеет место, если ответ на вопрос (б) отрицателен (элемент конечного порядка может быть получен из гомологии на единицу большей размерности с помощью гомоморфизма Бокштейна, причём ввиду конечности порядка эти прообразы можно объединить в нить, см. доказательство предложения 2.1.6). Однако, вопрос (б) пока не удалось решить даже в случае к = 1, хотя в §2.2 требуемый пример построен на уровне ?/ (являющегося одномерным), неясно лишь, реализуется ли этот компакт некоторым отображением /. Этот вопрос интересен также тем, что наличие таких отображений позволило бы (уже при к = 1) получить геометрическую интерпретацию возможности «нерасщепимости на бесконечности» короткой точной последовательности обратных последовательностей конечно-порождённых абе-левых групп (см. §2.2). Конечно, вопрос (б) наиболее важен с точки зрения отображений Sn —> Sn С Ш2п, как показывает сравнение двух пунктов теоремы 2. Ответ на вопрос (в) отрицателен в случае к = 1. В самом деле, для каждого е > 0 задано эквивариантное отображение T.F П Sn х [0,1 — е] —> S0, поэтому ввиду конечности множества эквивариантных гомотопических классов таких

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23606.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.