Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Смешанные краевые задачи для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Смешанные краевые задачи для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости

Количество страниц	174

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23609.doc

Содержание	Содержание Введение ... 4 1 Смешанная задача для уравнения Лапласа вне системы разрезов, расположенных на окружности 20 1.1 Постановка задачи... 20 1.2 Модификация задачи... 22 1.3 Решение задачи...,... 28 1.4 Явный вид решения в частных случаях... 38 1.5 Модификация системы алгебраических уравнений... 43 1.6 О вычислении некоторых интегралов... 46 2 Смешанная задача для уравнения Лапласа вне разрезов произвольной формы 49 2.1 Постановка задачи... 49 2.2 Сведение к системе сингулярных интегральных уравнений ... 51 2.3 Регуляризация. Исследование регуляризованной системы ... 55 2.4 Существование решения... 61 2.5 Случай одного разреза... 63 2.6 Поведение градиента решения на концах разреза... 65 2.7 Доказательство леммы 7... 70 2.8 Исчезновение особенности Vu... 71 3 Обобщённая задача о скачке для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости 75 3.1 Постановка задачи... 75 3.2 Сведение к системе сингулярных интегральных уравнений ... 77 3.3 Регуляризация. Исследование регуляризованной системы ... 83 3.4 Существование решения... 91 3.5 Решение сингулярных уравнений... 93 3.6 Вычисление интегралов... 96 3.7 Случай одного разреза... 98 3.8 Поведение градиента решения на концах контура... 100 3.9 Доказательство леммы 8... 104 3.10 Исчезновение особенности Vw... 106 Смешанная задача для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости с заданием условия Дирихле и условия с косой производной на разных сторонах разрезов 110 4.1 Постановка задачи...110 4.2 Сведение к системе сингулярных интегральных уравнений . . . 112 4.3 Регуляризация. Исследование регуляризованной системы . . . .117 4.4 Существование решения...125 4.5 Решение сингулярных уравнений...127 4.6 Вычисление интегралов...130 4.7 Случай одного разреза...132 4.8 Поведение градиента решения на концах контура...134 4.9 Доказательство леммы 8...140 4.10 Исчезновение особенности Vu...141 Заключение...145 Список литературы...147 Введение Настоящая работа посвящена исследованию некоторых смешанных краевых задач для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости. Краевые задачи вне разрезов на плоскости представляют большой интерес для приложений. Разрезы моделируют трещины в твердых телах, электроды в полупроводниках, крылья, экраны и пластины в жидкостях и газах, и т.д. Особый интерес представляют краевые задачи в канонических областях, которые допускают явное решение. Дадим краткий обзор работ, посвященных нашей теме. Можно указать два основных типа краевых задач для уравнения Лапласа на плоскости с разрезами. 1) Краевые задачи для уравнения Лапласа с разрезами вдоль прямой или вдоль окружности. Ввиду простоты области, решение таких задач часто удаётся получить в явном виде. 2) Краевые задачи для уравнения Лапласа с разрезами произвольной формы. В этом случае, как правило, решение ограничивается сведением к разрешимой системе интегральных уравнений. Рассмотрим оба типа задач подробнее. 1) Задачи для уравнения Лапласа с разрезами вдоль прямой или вдоль окружности могут быть решены в явном виде методами теории аналитических функций комплексного переменного. Задача сводится к задаче Римана-Гильберта для аналитических функций, а затем - к векторной задаче сопряжения [11, 38]. Эта задача допускает в определенных случаях решение в замкнутой форме. Случаи явного решения задачи Римана-Гильберта и соответствующей векторной задачи сопряжения вне разрезов вдоль прямой и окружности рассматривались в [27, 28, 32, 33]. Частные случаи этих задач решены в [34, 35, 36, 37]. Следует отметить, однако, что в многосвязных областях (в случае нескольких разрезов) задача для гармонических функций не эквивалентна соответствующей задаче Римана-Гильберта для аналитических функций [39]. Поэтому даже если явное решение краевой задачи для аналитических функций известно, то нахождение явного решения задачи для гармонических функций требует дальнейших трудоемких исследований. Методом сведения к задаче Римана-Гильберта были построены явные решения следующих краевых задач для уравнения Лапласа в канонических областях. Задача Дирихле с разрезами вдоль прямой решена в монографиях [11, 12]. В [11] указан также способ решения задачи Дирихле с разрезами вдоль окружности. В [42] построено явное решение задачи Неймана для уравнения Лапласа вне одного прямолинейного разреза. Задача с косой производной для гармонических функций, включающая задачу Неймана, изучена в [30] вне разреза вдоль окружности и в [31] вне разрезов вдоль прямой. Задача со смешанным граничным условием для уравнения Лапласа вне прямолинейных разрезов, когда на одной стороне задано условие Дирихле, а на другой - условие с косой производной, включающее условие Неймана, решена в [6]. Обобщение этой задачи на случай разрезов, расположенных на параллельных прямых, приводится в [52]. Задача с косой производной вне периодических разрезов, расположенных вдоль прямой, рассмотрена в [40]. В [41, 53] изучается задача с косой производной вне периодической системы разрезов, расположенных на параллельных прямых. Укажем некоторые работы, в которых использовались другие методы, приводившие к явному решению. В [43] с помощью преобразования Фурье построено явное решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа вне одного прямолинейного разреза. Еще одно обобщение задачи Дирихле- Неймана вне прямолинейных разрезов на плоскости рассмотрено в [10], где методом граничных интегральных уравнений построено явное решение этой задачи для одного эволюционного уравнения, включающего уравнение Лапласа. 2) Краевые задачи для уравнения Лапласа с разрезами произвольной формы. Задача Дирихле для уравнения Лапласа вне разрезов произвольной формы рассматривалась в [11]. Автор сводит эту задачу к задаче для аналитических функций, которая в свою очередь сводится к системе интегральных и алгебраических уравнений. Решение этой системы позволяет получить решение исходной задачи Дирихле. Классический подход к краевым задачам для уравнения Лапласа вне разрезов произвольной формы на плоскости предполагает решение с помощью потенциалов простого и двойного слоя. Например, таким методом изучались задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа вне разреза произвольной формы в [16, 17]. При этом задача Дирихле сводится к интегральному уравнению I рода с логарифмическим ядром, а задача Неймана - к гиперсингулярному интегральному уравнению I рода. В [16] предложены численные методы решения полученных интегральных уравнений. Эти методы прилагаются к конкретным задачам математического моделирования в [18]. В случае задания условий Дирихле и Неймана на разных сторонах разреза, классический подход, основанный на использовании потенциалов простого и двойного слоя, приводит к системе из двух интегральных уравнений, одно из которых гиперсингулярное, а другое - уравнение с логарифмическим ядром. Тем самым, старший порядок особенности в уравнениях оказывается различным, что значительно усложняет анализ системы. В [7, 50, 51] был введен неклассический угловой потенциал, который представляет собой потенциал двойного слоя, проинтегрированный по частям. С помощью углового потенциала в [7] решена задача о скачке косой производной гармонической функции вне одного разреза. Главное достоинство углового потенциала, который используется в данном методе вместо потенциала двойного слоя, заключается в том, что он имеет тот же порядок особенности на кривой, что и логарифмический потенциал. Это позволяет свести краевую задачу с двумя различными условиями на сторонах разреза к системе сингулярных интегральных уравнений Коши. Метод углового потенциала использовался и развивался в [23, 44, 45, 5] при решении различных краевых задач для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости. В [23] рассматривалась смешанная задача для уравнения Лапласа, возникающая в физике полупроводников, при этом на одной части разрезов задавалось условие Дирихле, а на другой — условие с косой производной. В [44, 45] изучалась другая смешанная задача, в которой условие с косой производной задавалось с обеих сторон каждого разреза. В [5] рассматривалась задача о скачке для уравнения Лапласа. В этой задаче на каждом разрезе задавались скачки искомой функции и её нормальной производной. Во всех этих работах с помощью потенциала простого слоя и неклассического углового потенциала задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений с дополнительными условиями. Посредством регуляризации и дальнейших преобразований система сингулярных уравнений с дополнительными условиями приводится к уравнению Фредгольма II рода в банаховом пространстве, которое оказывается однозначно разрешимым. Таким образом доказывается существование и единственность решения исходной задачи и указывается конструктивный метод построения решения. Регуляризация сингулярных интегральных уравнений изучена в [11]. В случае одного отрезка характеристические сингулярные интегральные уравнения рассмотрены в [47]. Численные методы решения сингулярных интегральных уравнений, возникающих в подобных задачах, развиты в [16]. Интегральное представление решения дает возможность подробно исследовать особенности градиента решения на концах разрезов. Результаты такого исследования для задач Дирихле и Неймана изложены в [8] и [9], для задачи о скачке - в [5]. Во всех задачах, рассмариваемых в настоящей работе, также изучаются особенности градиента решения на концах разрезов. Упомянем еще несколько близких по теме работ. Задача Дирихле и задача Неймана для уравнения Лапласа в областях с кусочно-гладкой границей изучались в [1, 2], где были получены абстрактные теоремы существования в пространствах Соболева и асимптотика решения вблизи угла границы. В [3, 4] рассматривалась задача со смешанным граничным условием Дирихле Неймана для уравнения Лапласа в области с кусочно-гладкой границей и была получена асимптотика решения в угловых точках границы. Однако случай угловых точек границы с углом 2тг, отвечающий разрезу, был исключен из рассмотрения, так как в этом случае интегральное представление для решения, полученное в [3, 4], перестает быть справедливым. В [60, гл. 4, §1] даны постановки задач для эллиптических уравнений с неклассическими граничными условиями, в частности, с заданием скачка искомой функции и весового скачка её нормальной производной на разрезе. В [19, 20] рассмотрена задача Неймана для уравнения Лапласа с обобщённой функцией в правой части граничного условия. Сведение краевых задач к однозначно разрешимым интегральным уравнениям, которые легко решить численно, это отдельная проблема. Приведем примеры. В [46] рассмотрена смешанная краевая задача для уравнения Лапласа в плоской многосвязной области, граница которой разбита на дуги. На одной части дуг задано условие Дирихле, на другой - условие Неймана. В [48] изучалась задача Дирихле для уравнения Лапласа в многосвязной области, ограниченной замкнутыми кривыми, при этом на части кривых задавалось условие Дирихле, на части - условие Неймана. В трехмерном случае аналогичная задача изучалась в [49]. Однако во всех этих статьях авторам не удалось свести рассматриваемые смешанные задачи к однозначно разрешимым интегральным уравнениям Фредгольма II рода. Вместо этого авторам пришлось воспользоваться второй частью альтернативы Фредгольма. В настоящей работе с помощью углового потенциала и потенциала простого слоя все рассматриваемые смешанные задачи вне разрезов произвольной формы на плоскости сводятся к однозначно разрешимым уравнениям Фредгольма II рода, которые наиболее просты и удобны как в анализе, так и при численных расчетах. Первые две главы данной работы представляют собой применение двух методов (метод сведения к задаче Римана-Гильберта и метод потенциалов) к смешанной задаче Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости. В первой главе рассматриваются разрезы, расположенные вдоль окружности, во второй - разрезы произвольной формы. На одной стороне каждого разреза задано условие Дирихле, на другой - условие Неймана. С физической точки зрения это означает, например, задание потенциала и плотности нормального тока на сторонах электрода или задание температуры и нормального потока тепла и т.д. Задача из первой главы решена в явном виде, а задача из второй главы сведена к однозначно разрешимому интегральному уравнению. В третьей и четвёртой главах метод потенциалов применяется для решения двух других смешанных задач для уравнения Лапласа вне разрезов произвольной формы, каждая из которых обобщает в своём направлении задачу Дирихле-Неймана. В третьей главе изучается обобщенная задача о скачке. На каждом разрезе задан скачок функции и скачок ее нормальной производной. Скачки содержат весовую функцию, отражающую вклад в граничные условия левого и правого предельных значений. Весовую функцию можно выбрать, например, так, что будут задаваться сумма предельных значений функции на берегах разреза и сумма предельных значений ее нормальной производной; в другом случае будут задаваться разности этих величин. Такие граничные условия могут оказаться интересными для приложений. В четвертой главе рассматривается задача, в которой ставится условие Дирихле на одной стороне каждого разреза и условие с косой производной на другой стороне. С физической точки зрения задачи с косой производной в граничном условии описывают электрический ток с электродов в замаг-ниченных полупроводниках. При этом условие Дирихле отвечает заданию электрического потенциала. Задачи из третьей и четвертой глав сведены к однозначно разрешимым интегральным уравнениям. Обратимся к систематическому изложению результатов, полученных в диссертации. Первая глава посвящена смешанной задаче Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа вне разрезов вдоль окружности. Пусть на плоскости введены декартовы координаты (xi,x2) и полярные координаты (г, в). Пусть L - совокупность дуг окружности, не имеющих общих точек, в том числе и концов: jjLi, L2 = U п=1 п=1 = l,...,JV Пусть плоскость разрезана вдоль L. В п. 1 дается постановка задачи: ищется достаточно гладкая функция и(х), гармоническая на плоскости вне разрезов L, удовлетворяющая граничным условиям = Qi(t) на на (L2) , непрерывная на концах разрезов, а также удовлетворяющая условиям на бесконечности: \х\ -> ос, Здесь t = eie G L, Qi(t) G C1)A(I), Q2(<) € C°>A(I) - заданные функции, С - заданная константа. Вблизи концов d разрезов градиент функции и(х) должен удовлетворять неравенству \| < с\х - d\5, где константа с > 0, число 6 > —1. Методом энергетических неравенств доказывается теорема единственности. В п. 2 осуществляется сведение исходной задачи к задаче Римана-Гильберта для аналитических функций на комплексной плоскости. Далее методами теории функций комплексного переменного строится явное решение задачи Римана-Гильберта. С помощью этого решения в п. 3 строится явное решение исходной задачи в виде суммы потенциала простого слоя и углового потенциала: /[R М)1п К, 0) + Im /х(Мж, в)] d6 + со, где со - вещественная константа, ш(х, в) = arg(z — t) - ядро углового потенциала [28], которое непрерывно меняется по в на L для х ? L, г(х,в) = \z — t\ = y/(xi — cos&)2 + (а?2 — sin^)2, z = x\ + ггсг. Плотности потенциалов даются выражениями: Константы а:п, @{ определяются из системы линейных алгебраических уравнений, относительно которой доказано, что она однозначно разрешима. Тем самым, доказывается теорема существования и строится явное решение задачи. В п. 4 рассмотрены три частных случая исходной задачи. Для этих случаев решается алгебраическая система и строится полностью явное решение смешанной задачи. Случай первый: iVi = 1,^2 = О, С = 0. Случай второй: Ni = 0,N2 - 1,С = 0. Случай третий: iVi = l,N2 = 0, Qi(t) = Q2(t) = О, t € L, C^O. В качестве примера приведём плотности потенциалов в решении для последнего случая: = с (-^щ sir4 - vi + ~ где у?1 = (о + ЗЬ)/8, В п. 5 предлагается другой вариант системы линейных алгебраических уравнений относительно констант о?, (33п и обсуждаются его преимущества. В п. 6 приводится расчет некоторых интегралов. Вторая глава посвящена смешанной задаче Дирихле-Неймана для уравнения Лапласа вне разрезов Г произвольной формы. Пусть Г - совокупность простых разомкнутых кривых класса С2)А, A G (0,1], не имеющих общих точек, в том числе и концов: Г = U Г„, Гп = {х : х = x(s) = (xi(s), x2{s))y s e [an, bn]}, n = 1,2,..., N, n=l параметр s — длина дуги. Введём вектор касательной тх и вектор нормали пг к кривой Г в точке x(s) по формулам тх = (cosa(s),sina(s)), их = (sin a(s), — cos a(s)), где cosa(s) = x[(s), sina(5) = x'2(s). Пусть плоскость разрезана вдоль Г. Будем говорить, что функция и{х) принадлежит классу G, если: 1) и{х) 6 C°(R2 \ Г) и и(х) непрерывна на концах разрезов Г, 2) Vu(x) e C°(W\T\X), где X = U^^aju^fy)) - множество концов контура Г, 3) вблизи концов x(d) разрезов градиент функции и(х) удовлетворяет неравенству \|Vit\| < const\x - x(d)\s, где константа const > 0, число 5 > — 1, d = ап либо d — bn. Функция принадлежит C°(R2 \ Г), если она непрерывно продолжима на разрезы Г слева и справа, но её значения на разрезах Г слева и справа могут быть различны, то есть функция может иметь скачок на Г. В п. 1 дается постановка смешанной задачи Дирихле-Неймана вне разрезов Г: требуется найти функцию и(х) из класса G, гармоническую на плоскости вне Г и удовлетворяющую граничным условиям nx X(s)er-и условиям на бесконечности ) J^ А О(\|\|"2) \|s\|-+oo. Здесь /+(s) e С1>Л(Г), /"(«) G С°'А(Г) - заданные функции, А - заданная константа. Если разрезы Г расположены вдоль окружности, то задача переходит в задачу из главы 1. Теорема единственности, доказанная методом энергетических тождеств, завершает п. 1. В и. 2 ищется решение краевой задачи в виде суммы потенциала простого слоя, неклассического углового потенциала и константы: и{х) = V[fi](x) + T[v){x) + /32iV. (1) Здесь Ядро ф(х,у) углового потенциала определяется с точностью до 2тгт (т целое) формулами совф(х,у) = -j^^f' и непрерывно меняется по у на Г для любого фиксированного х 6 R2 \ Г. Для однозначности углового потенциала T[i/](rr) требуется выполнение следующих условий: fv(s)ds = 0, n = l,...,JV. (2) Плотности fi(s), v(s) в потенциалах разыскиваются в определённых классах гладкости. При подстановке функции (1) в граничные условия и дифференцировании условия Дирихле по s на Г, задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений относительно плотностей потенциалов: u(s) + -I ^- da + [^(о-)У2(5, a)da+ [ 1/(^)^(5, a) da = 2/'+(s), s 6 Г, тг J, а — s ? jf. . (3) -/ i/(a)Y2(s,a) da+J fj,(a)Y1(s, a) da = 2/~(s), s G Г. г г Здесь Yi(s,cr), V2(s, &) - известные функции, гёльдеровые на Г по обеим переменным с показателем A; /+(s) = df/ds. Кроме того, должны быть выполнены дополнительные условия: I fi(s) ds = -2тгД (4) /?2N = f+(an), n = l,...,N. (5) Доказано, что если существует решение {/^(s),^(.s),/32.n} полученной системы уравнений (2) - (5), такое что функции fi(s),i/(s) удовлетворяют определённым условиям гладкости, то решение задачи существует и даётся формулой (1). Далее производится замена переменных (неизвестных функций fi(s), ^(5)), после которой характеристическая часть каждого из двух сингулярных уравнений содержит только одну неизвестную функцию. В п. 3 производится регуляризация полученной системы сингулярных интегральных уравнений и её сведение (с учётом условий (2), (4), (5)) к векторному уравнению Фредгольма II рода. В п. 4 доказывается однозначная разрешимость последнего уравнения в подходящем банаховом пространстве. Тем самым, доказывается теорема существования решения исходной задачи. В п. 5 выводится решение задачи в случае одного разреза, имеющее более простой вид, чем для нескольких разрезов. Это решение будет использовано в дальнейшем. В п. 6 исследуется поведение градиента решения на концах x(d) разреза на основании интегрального представления решения. В окрестности точки x(d) для производных решения справедливы формулы: ди дх ди x-»x(d) dxi x-x(d) Здесь d — а либо d = 6; j(a) = 2, j(b) = 1, «! ! + () ^ ц> - угол в локальной полярной системе координат с центром в точке x(d), a(s) — угол между направлением оси Ох\ и вектором касательной к кривой Г в точке x(s) 6 Г; через 0(1) обозначены функции, непрерывные в окрестности точки x(d), разрезанной вдоль контура Г. П. 7 содержит доказательство одного вспомогательного утверждения. В п. 8 рассматривается вопрос об исчезновении особенностей градиента решения в случае определенного выбора функций в граничных условиях. Пусть разрез прямолинейный: Г = {х : ее = x(s) = (scos#, ssin#),s G [a>6]}. Если функции f+{s), f~{s) из граничных условий представимы в виде 2[/+W + Г (s)] = Q2(s)gi{8) e С°'А(Г), 2[/+М " r(s)} = Qi(s)g2(s) <Е С°'А(Г), Л € (0,1], где функции <7i(s), то градиент решения непрерывен на концах разреза. Приведены несколько примеров функций gi(s),g2{s), удовлетворяющих указанным соотношениям. Третья глава посвящена обобщённой задаче о скачке для уравнения Лапласа вне разрезов Г на плоскости. В качестве граничных условий на разрезах задается скачок предельного значения искомой гармонической функции и(х) и скачок ее нормальной производной: x)-ff(s)u-(x))\|l(s)6r = j ди\ + = AM- Ь(«)ег Скачки содержат весовую функцию g(s), которая отражает вклад в граничные условия предельных значений на левом и правом берегах разрезов. При решении задачи функция g(s) предполагается постоянной на каждом отдельном разрезе Гп. Требования гладкости на функцию и(х) и условия на бесконечности такие же, как в задаче из главы 2. Задача главы 3 обобщает, с одной стороны, задачу главы 2, а с другой - задачу [5], в которой весовая функция равнялась единице. Методом энергетических тождеств доказывается теорема единственности решения краевой задачи. Структура пп. 1-4 аналогична структуре соответственных пунктов главы 2. Предполагая, что /i(s) G С1>А(Г), /2 E С°'А(Г), А € (0,1], и разыскивая решение задачи в виде (1), сводим ее к системе сингулярных интегральных уравнений и дополнительных интегральных условий относительно плотностей fi(s),u(s) и константы. Эта система существенно отличается от той, которая возникает в главе 2. Проводя для этой системы регуляризацию, которая оказывается более сложной, чем в главе 2, получаем интегральное уравнение Фредгольма II рода. Далее доказывается однозначная разрешимость этого уравнения в банаховом пространстве и таким образом доказывается разрешимость исходной краевой задачи. Формула (1) даёт интегральное представление решения задачи. В частном случае д = О построенное решение переходит в решение задачи Дирихле-Неймана, полученное в главе 2. В п. 5 даётся доказательство леммы, на основании которой была произведена регуляризация. Для этого производится переход в комплексную плоскость и решается задача сопряжения для интеграла типа Коши от неизвестной функции. В п. 6 с помощью интегралов типа Коши и теоремы о вычетах доказывается несколько равенств, которые позволяют упростить запись фредгольмовой системы для плотностей потенциалов. В п. 7 решается задача для одного разреза. В этом случае удаётся свести задачу к уравнению Фредгольма II рода для вектор-функции из пространства С°(Г) х С°(Г). В п. 8 полученное интегральное представление решения используется для исследования особенностей. Получены явные асимптотические формулы, описывающие поведение особенности градиента решения на концах разрезов. Оказывается, что порядок старшей особенности равен тах{7,1 — т}> гДе 7 = (агё(2# + i(g2 — 1)))/(2тг), д - вес граничного условия. В частном случае д = 0 формулы переходят в формулы главы 2. П. 9 содержит доказательство леммы, использованной в п. 8. В п. 10 исследуется вопрос об условиях исчезновения особенностей градиента решения, эти условия выписываются в виде интегральных требований на функции из граничных условий. В четвёртой главе рассматривается смешанная задача для уравнения Лапласа вне разрезов Г на плоскости с заданием условия Дирихле на одной стороне каждого разреза и условия с косой производной - на другой стороне: (3 - заданная константа. Условия на бесконечности и требования гладкости на функции и(х), f+(s), f~{s) такие же, как в главах 2 и 3. Эта задача обобщает задачу из главы 2, поскольку условие с косой производной обобщает условие Неймана. С помощью энергетических тождеств доказывается теорема единственности решения краевой задачи. Структура главы 4 полностью аналогична структуре главы 3, но сингулярные уравнения, возникающие в этой главе, оказываются более сложными. Решение задачи разыскивается в виде (1), в результате чего задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений с дополнительными условиями, которая после регуляризации приводится к уравнению Фредгольма II рода. Доказав однозначную разрешимость этого уравнения в банаховом пространстве, получаем теорему существования решения исходной краевой задачи. Интегральное представление решения дает формула (1). В частном случае /3 = 0 решение задачи переходит в решение задачи из главы 2. Получены явные асимптотические формулы, описывающие поведение градиента решения на концах разрезов. Оказывается, что старшая особенность градиента решения имеет порядок тах{1 — 77,1/2 + г/}, где rj = (arcctg/3)/(2?r), /3 - константа из условия с косой производной. В частном случае /3 = 0 асимптотические формулы переходят в формулы из главы 2. В случае одного прямолинейного разреза получены условия исчезновения особенности градиента решения на концах разреза. На этом завершим изложение краткого содержания диссертации. Остановимся подробнее на физических моделях, приводящих к задачам, которые рассмотрены в диссертации. 1) Стационарное распределение тепла [54, 42]. Рассмотрим однородную изотропную среду, занимающую пространство переменных {xi,X2,xz), в которой нет источников тепла, кроме тонких нагретых тел. Пусть выполнены следующие условия: а) в каждом сечении плоскостью ?з = #з = const тела являются достаточно тонкими, так что их можно моделировать разрезами ГьГ2,... ,ГП; б) форма сечения тела плоскостью хъ = хз = const не зависит от х$. Пусть разрезы Г параметризованы длиной дуги s и введены вектор касательной тх и вектор нормали пх к Г в точке x(s) (см. изложение главы Пусть на одной стороне каждого тела задано распределение температуры: а на другой стороне задан тепловой ноток Подчеркнём, что функции /+, /~ не зависят от х$. Кроме того, пусть известен полный поток тепла / (на единицу длины #з), уходящий на бесконечность: —к-г-ds = I, or где Cr - цилиндр с осью вдоль х$ достаточно большого радиуса г = \Jx\ + х\, содержащий внутри себя все тела. Предполагая г столь большим, что ди/дг зависит только от г, получим —2-кгк{ди[дг) = I, то есть \|а;\|-юо, (6) где А = -1/2тгк. В итоге для температуры и(х) стационарного теплового поля получаем двумерную задачу в плоскости х = {х\,Х2) для уравнения Лапласа вне разрезов Г с заданием условия Дирихле на одной стороне каждого разреза и условия Неймана - на другой, а также условия (б) на бесконечности. Такие задачи рассмотрены в главах 1, 2. Отметим, что условие CfU J\. ^\/\ i_9\ i i /i->\ + О{\\ 2)- 1-Й ос (7) является математическим следствием условия (6) для функции и(х), гармонической вне круга [59, гл. V, §24, п. 10]. Поэтому условие (7) можно включить в формулировку задачи, не ограничивая общности. Рассмотренная здесь задача моделирует, например, работу печей с тонкими стенками в форме цилиндрических поверхностей. С одной стороны такая стенка теплоизолирована, а с другой - поддерживается при постоянной температуре нагревательным элементом. Полученные в главах 1 и 2 результаты могут использоваться для моделирования работы технологических печей со сложной конфигурацией стенок, которые применяются в различных каталитических процессах в химических лабораториях. 2) Ток с электродов в замагниченной полупроводниковой плёнке. Рассмотрим плоскую полупроводниковую пластину, толщиной которой можно пренебречь, занимающую плоскость переменных х — (яь^г)- Полупроводниковая плёнка находится в постоянном магнитном поле с магнитной индукцией В, направленной перпендикулярно плоскости переменных {xi,x2). Уравнения, описывающие динамику электронной плазмы в замагниченном полупроводнике, имеют вид [55, 56, 57, 58] div J = 0, J = ЛЕ, Е = -grad и. Здесь J = (Ji, J2) - плотность тока, Е = (Е^ Е2) - напряжённость электрического поля, и - потенциал электрического поля, Л - тензор проводимости, который в случае зарядов с изотропной массой (электронов) имеет вид

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23609.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.