Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Сингулярные граничные задачи сопряжения

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Сингулярные граничные задачи сопряжения

Количество страниц	312

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23615.doc

Содержание	Содержание Введение...1 -57. Гла,ва I. Сингулярные случаи граничных задач српряжения аналитических функций...57-164. § 1. Сингулярные случаи краевой задачи Римана...57-64. §2. Сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения в эллиптическом случае...65-69. §3. Сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения в параболическом случае...70-77. §4. Общая граничная задача линейного сопряжения со сдвигом и с сингулярностью в граничном условии...77-85. §5. Общая граничная задача в случае, когда коэффициенты и свободный член имеют особенности различных типов...86-89. §6. Обобщенная граничная задача линейного сопряжения в сингулярном случае...89-94. §7. Задача сопряжения аналитических функций с первыми производными и с сингулярным граничным условием...95-122. §8. Задача сопряжения аналитических функций с производными высших порядков в сингулярном случае...123-146. §9. Обобщение краевого условия задачи сопряжения аналитических функций с производными высших порядков в сингулярном случае...147-154. §10. Некоторые другие сингулярные случаи задачи сопряжения аналитических функций с производными...155-164. Глава II. Сингулярные случаи задачи сопряжения обобщенных аналитических функций...165-236. §1. Сингулярные случаи краевой задачи типа Римана для системы уравнений элиптического типа...188-207. §2. Сингулярные лучаи краевой задачи Римана-Газемана...207-217. §3. Сингулярные случаи задачи сопряжения обобщенных аналитических функций...218-227. §4. Сингулярные случаи задачи сопряжения с производной для обобщенных аналитических функций...227-236. Глава III. О задачах сопряжения гармонических функций в сингулярном случае...237-280. §1. Сингулярные случаи задач сопряжения гармонических функций......244-248. §2. Сингулярные случаи задач сопряжения для некоторых уравнений в частных пренпнодных...248-267. §3. Некоторые задачи сопряжения с производными второго порядка, а также их сингулярные случаи для гармонических функций на плоскости...268-271. §4. Задачи сопряжения гармонических функций для полуплоскости...272-280. Глава IV. Характеристическое особое интегральное уравнение в сингулярных случаях...281 -299. §1. Характеристическое особое интегральное уравнение в сингулярном случае...284-288. §2. Обобщенное характеристическое особое интегральное уравнение в сингулярном случае...288-299. Литература...300-312. Введение Несколько десятилетий тому назад большое распространение получила теория краевых задач аналитических функций и сингулярных интегральных уравнений, центральное место в которой заняла проблема нахождения пары функций (р+(z),cp~(z) аналитических внутри и вне контура L соответственно, предельные значения которых удовлетворяет соотношение где (?(/) и g(t) заданные функции. Для того случая когда L -простой замкнутый контур a G(t), g(t) удовлетворяют условию Гельдера (или Lip, 0 < а < 1 ), a G{t) кроме того ещё условию нормальности G(/) 0,t 6 L - общее решение (0.1) и притом в явном виде (в интегралах типа Коши) впервые было найдено в 1936г. Ф.Д.Гаховым [17]. В его школе стали называть задачей Римана, а в школе Н.И.Мусхелишили [57] задачей Гильберта. При g(t) * 0 ещё также задачей о факторизации, а более общий случай систем отношении (0.1) составил двадцать первую проблему Д.Гильберта (о линейных дифференциальных уравнениях с заданной группой монодромии). Ограничиваясь далее лишь случаями нарушения условия нормальности (N), мы должны отметить исследования Ф.Д. Гахова случаев, когда G(t) имеет нули и полюсы аналитической структуры и названный им исключительными случаями. В диссертации будут рассмотрены не изучавшиеся ранее случаи, (0,1) когда G(t) имеет нули или полярные особенности не целого порядка и не голоморфной структуры. Такие случаи мы будем называть сингулярными. Но действительно общей линейной задачей сопряжения надо считать Задача (А) ставилась А.И. Маркушевичем в 1946г. и рассматривалась им при o(t) = c(t) = 0, b{t) = \. В 1952г. Н.П.Векуа привел её к сингулярному интегральному уравнению, получил условие нормальной разрешимости a{t) ^0 и доказал её разрешимость в классе мероморфных функций, что же касается класса голоморфных функций, то имелись лишь альтернативные утверждения типа теорем Нетера. Важное значение приобрела задача (А) в работах И.Н.Векуа [11] по изгибаниям склееных поверхностей . В связи с этим её исследовал в 1959г. Б.В.Бярский [9]. Указав существенное значение условия \a{t)\ > \|/?(/)\|, он получил для этого случая первые точные результаты. Рассматривая (вслед за Н.П.Векуа) сопряженную задачу (А) он доказал теоремы Нетера для граничных задач (А) и (А). Сводя их к обычным сингулярным интегральным уравнениям, он пользуется представлениями интегралами типа Коши с вещественной плотностью. Такое преде!пиление очеш, громоздко в случае миогосвичпой области. Не случайно поэтому он ограничивается односвязной областью. Его метод исследования однородной задачи состоит в упрощении краевого условия до условия непрерывности за счет усложнения искомой функция, являющейся решением системы Бельтрами. В силу такой громоздкости метода приходится наложить на a{t) условие Гельдера с показателем сколь угодно близким к единице. Л.Г. Михайлов в [43] даёт в сущности полную теорию задачи (А) при весьма общих условиях: a(t) непрерывна, b(i) измерима и ограничена, c(t) e Z,;), р > 1. Не менее важно то, что результаты получены несколькими различными методами, вполне естественными и, вероятно, простейшими, какие возможны в данной задаче. Изучение задачи (А) доведено до такого уровня на котором находится решение известных граничных задач Римана и Гильберта. В задаче (А) различаются случаи 1. \a{t)\ > \b(t)\ , 2. \a(t)\ S \b(t)\ , 3. \a(t)\ < \b(t)\, которые называются соответственно эллиптическим, параболическим и геперболическим. В параболическим случае задача распадается па две связанные задачи типа ~Y)+g(n (В) Для односвязной области (В) сводится к задаче Римана, в некоторых других случаях- к задаче Гильберта. Вслед за Л.Г. Михайловым, И.Х.Сабитовым [61] была рассмотрена задача (А) в круге, без требования условия типа \a(t)\ > \b(t)\ , \a(t)\ = \b(t)\ или Несравненно меньшее количество исследований относится к ¦ задачам сопряжения для уравнений в частных производных второго порядка. Здесь [59], посвящены задачам сопряжениям гармонических функций в многомерном пространстве которые изучаются вариационными методами. В 1956г. Л.Г.Михайловым было дано решение задачи ^ Здесь мы должны сказать о работах СМ. Никольского [59] посвященных задачам сопряжениям гармонических функции в трехмерном пространстве, изучаемым вариационными методами. ^ Рассмотрены также более общая задачи: Пусть дан простой замкнутый контур Ляпунова L, разделяющий плоскость на области D+ и D'. Требуется найти функции и(х,у),и~(х,у), являющаяся регулярными решениями в D+ и D' уравнения -Аи + а{х,у)их + b{x,y)iiy + с(х,у)и = d(x,y), , (Г) и непрерывными вплоть до L вместе с их первыми производными и связанными на границе условиями <кК + Рк< + Г У = /V'J + vkK +Sttr+t]t, к = 1,2. н; (сю), г,- (со) = О (Д) где все элементы, за исключением u,u,ir, являются заданными функциями. Из указанных работ ясно, что условие G{t) * 0 для задачи (В) или a{t) ф 0 для задачи (А) весьма существенны. Они обеспечивают нормальную разрешимость этих краевых задач. Случаи его нарушения естественно называть сингулярными. К таковым, разумеется, следует присоединить случаи, когда a(t),G(t),b(t)или ак,рк,ук,/.1к,ук,бкстииовятся неограниченным и обращаются в бесконечность. Во всех предшествующих работах сингулярные случаи в общем виде не рассматривались. Настоящая диссертация посвящена построению полной теории разрешимости сингулярных случаев задач сопряжения: Перейдем теперь к краткому изложению содержание диссертации. Работа состоит из введения, четырёх глав и списка литературы. Первая глава, состоящая из десяти параграфом, посвящена исследованию сингулярных случаен граничных задач сопряжения аналитических функций. В первом параграфе рассматривается сингулярные случаи краевой задачи Римана. Пусть L простой гладкий замкнутый контур разделяющий плоскость комплексного переменного на внутреннюю область D+ и внешнюю D". Пусть я,(/) и c{t) -функции точек контура удовлетворяющие на L условию Гельдера, причем а,(/)0. Рассматривается следующая задача. Найти функции где /0 - некоторая точка контура, /л - произвольное комплексное число с положительной вещественной частью, /л = т-у (ш-целое число), m = ?(Re//) + l И 0 T(z) - интерполяционный многочлен для аналитической функции Установлено следующая Случай 1. Теорема 1.1. Если зе>0, то общее решение неоднородной задачи Римана линейно зависит от де+1 произвольных постоянных и определяется формулой (0.2), при дополнительном условии <р~(со) = 0 Pse(z) следует заменить на Pse-i(z). При ее < 0 однородная задача (c(t) = 0) в заданном классе имеет только нулевое решение, а неоднородная задача разрешима тогда и только тогда, когда выполняются — 89 условий v// = O (j = 0,1,...,- зе) (0.4) i. x~z. Если эти условия выполнены, то неоднородная задача имеет единственное решение, которое получается из (0.2) при Poe(z)=0. Случай 2. Теорема 1.2. Если бе -ш>0, то общее решение неоднородной задачи (0.1) линейно зависит от ве-т + \ произвольных постоянных и определяется формулой (0.4). где при дополнительном УСЛОаии <р (<у;) -.0 I'iv-mfz) СЛ('()УС'П1 UlUC'ltUHh 11(1 f';i>-m-i(z). При зе-т<0 однородная задача (c(t) = O) в заданном классе имеет ,д только нулевое решение, а неоднородная задача разрешимо тогда и только тогда, когда выполняются \ве-т\ условий При выполнении этих условий неоднородная задача имеет единственное решение, которое получается из (0.3) при Pae-m(z)=O. В §2 исследуются сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения в эллиптическом случае. Дан простой гладкий замкнутый контур L делящий плоскость комплексного переменного на внутреннюю область D+ и внешнюю D'. Задача. Найти функции cp+(z) и (p'{z), аналитические в D+ и D~ соответственно, если на L их граничные значения (p{t) и q>~(t) удовлетворяют условию сопряжения: (р+ (0 = \|' ~ 'о а> (')>" (0 + b{t) В качестве класса допустимых функций будем брать функции, которые - в отдельных точках контура обращаются в бесконечность порядка меньше единицы. Значение искомой функции на бесконечности будем считать равным нулю. Случаи 1. (р+ (/) = "'^ (р~ (/) + b{t)q>~ (О Теорема 1.3. Пусть о,(/),6(/),с(/) е H{L) и пусть sup где s -норма в L сингулярного оператора Sp = — f^ dr. m[T-z Тогда при ве-т>0 однородная задача имеет 2(дВ-т) линейно независимых решений, а неоднородная, безусловно, разрешима. Прг зе-т = 0 задача имеет и притом единственное решение, нулевое для однородной. При дв-т<0 однородная задача не имеет решений, отличных от нулевого, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно 2\дЗ-т\вещественных или \ее-т\ комплексных условий Пусть L- окружность \|z\| = l, функции ax(t\bt(t),ct(t) e H(L). Предположим, кроме того, что bt(f),c^t) в окрестности точки /„ имеют производные порядка 77/, удовлетворяющие услов-ию Гельдера. • •. однородная задача имеет 2зе линейно независимых решений, а неоднородная, безусловно разрешима. При ЗВ-0 задача имеет и притом единственное решение, нулевое для однородной. При дЭ<0 однородная задача не имеет решение, отличных от нулевого, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно \зе\ комплексных условий. В §3 исследуются сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения в параболическом случае. Теорема 1.5. Пусть в задаче (A) ax{t)\ = 6,(/)\|>0, 0,(0,6,(0,0,(0 удовлетворяют условию Гельдера: Л = IndLal(t) + //7t/?6,(/), 77 = /т/дйг,(О-/«^6,(о, зе= IndLa^{t), A + rj = 2se, I- число решений однородной задачи up- число условий разрешимости неоднородной. Тогда картина разрешимости имеет вид: 1. если Я >0,// <0, то 1 = 0, р = 2\зе\-2; 2. если Я < 0, // > 0, то I = // +1, р = \|Л\| -1 ; 3. если Я > 0, // > 0, то I = 2ЭЭ+2, р = 0; 4. если Я >,.0„-.7<• °> то. разрешимость определяется из систем \n\-\ уравнений с Л + \ неизвестными. Различаются два случим: 1) ее >-1, тогда р = 0 и, вообще говоря, 1=2(ее+1), по в некоторых специальных случаях, когда имеются определенные скалярные зависимости между я,(/) и 6,(/), / может быть больше, любым из неравенства 2ее +2 < I < Л +1; 2) зе<-\, тогда в общем случае 1 = 0, р--2ае-2, но в указанных специальных случаях I и р могут быть больше, любыми из неравенств 0 < / < Я +1 и -2ее -2< р<\|//\|-1: В §4 исследуется общая граничная задача линейного сопряжения со сдвигом и с сингулярным граничным условиям. Пусть L - простой замкнутый контур, делящий плоскость на внутреннюю область D+ и внешнюю D'. На L задаются функции: a(t)- непрерывная, b(t)- ограниченная и измеримая, c(t)eLp, и функция a{t), отображающая контур взаимно однозначно на себя с сохранением направления и имеющая производную «¦(/), удовлетворяющую условию Гельдера и не обращающуюся в нуль, a(t) будем называть функцией сдвига. Требуется определить функции В работе Л.Г. Михайлова [43] для данной задачи получен следующий результат. Если a(t) сохраняет ориентацию на L и выполнено условие эллиптичности \b(t)\, то для краевой задачи (Аа) число линейно независимых (над полем вещественных чисел) решений однородной задачи равно / = max(0, 2ае), аэ= Ind,a(t), число условии разрешимости неоднородной задачи равно /? = max(0, - 2 аэ,),причем эти числа не зависят от сдвига a(t) и остаются такими же как в соответствующих случаях задачи без сдвига. Был изучен также параболический случай \|a(/)j ^\b(t)\*Q, причем здесь не требуется, чтобы a(t) сохраняло направление обхода контура. Однако, когда ни одно из условий, указанных выше, не выполнено, теория разрешимости задачи уже зависит от сдвига (см. [60]). Как свидетельствуют работы Г.С.Литвинчука [42], все другие обобщения, связанные с введением сдвига «(/) в краевое условие и их исследованием пока что удается довести до уровня исследования задачи (Аа)пишь в том случае когда сдвиг a(t)удовлетворяет условию Карлемана. Результаты §4 первой главы посвящены исследованию особых, или сингулярных, случаев задачи {'А;,), когда коэффициент аф в отдельных точках контура обращается в нуль или бесконечность целых порядков, пли же ко )ффпцпс111 />(/) обращаете-! it бесконечность. Во всех

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23615.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.