Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Весовые неравенства Корна и асимптотическое поведение тонкий пластин

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Весовые неравенства Корна и асимптотическое поведение тонкий пластин

Количество страниц	80

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23537.doc

Содержание	Содержание Введение 3 0.1 Цель работы. История рассматриваемых вопросов... 3 0.2 Формулировка результатов... 23 1 Постановка задачи 26 1.1 Уравнения линейной теории упругости ... 26 1.2 Матричные обозначения... 28 1.3 Локально периодическая пластина... 31 2 Построение формальной асимптотики 33 2.1 Выбор асимптотических анзацев и вывод предельной задачи . 33 2.2 Результирующая задача... 41 3 Обоснование асимптотики 50 3.1 Асимптотическое приближение... 50 3.2 Вычисление и оценивание невязок... 56 3.3 Теорема об асимптотике... 61 4 Весовое анизотропное неравенство Корна 64 4.1 Периодическая пластина и вспомогательные конструкции. . . 64 4.2 Неравенство Корна на периодической пластине... 66 4.3 Неравенство Корна для локально периодической пластины. . 74 4.4 Асимптотическая точность анизотропного неравенства Корна для пластины... 75 Список литературы 80 Введение. 0.1 Цель работы. История рассматриваемых вопросов. Настоящая работа посвящена построению и обоснованию асимптотики решения смешанной краевой задачи линейной теории упругости для тонкой локально периодической композитной пластины произвольной геометрии с произвольной анизотропией упругих свойств. С этой целью доказывается весовое анизотропное неравенство Корна на тонкой локально периодической пластине. В главе 1 диссертации вводятся основные понятия теории упругости и матричные обозначения, упрощающие запись уравнения. Вводится локально периодическая пластина fi^, толщина которой имеет порядок малого параметра h > 0. Ставится задача о дефомации тонкой анизотропной пластины Qh c защемленной боковой поверхностью 1\. Анизотропными называются пластинки, у которых сопротивление механическим воздействиям различно для разных направлений. Примерами таких пластин являются фанерные и кварцевые пластинки, а также гофрированные и армированные пластины и т.д. Теории упругости анизотропных тел посвящены монографии С.Г. Лех-ницкого [118]-[120]. Вывод основных соотношений теории упругости и решения некоторых частных задач, в том числе о чистом изгибе пластинок, можно найти в книге СП. Тимошенко и Дж. Гудьера [202]. Там же даны приближенные и экспериментальные методы решения задач теории упругости. В книгах А.И. Лурье [126], [127] приведены основы нелинейной теории упругости и даны библиографические указания, полезные при изучении теории упругости. В книге Г. Фикеры [208] изложены математические основы теории упругости. Теории упругости анизотропных пластин посвящена книга С.Г. Лехницко-го [118]. В ней приведены решения плоской задачи для различных областей. В главах, посвященных теории изгиба анизотропных пластинок, рассмотрены изгибы разными видами нагрузок пластинок с опертыми сторонами, а также пластинки, усиленной паралельными ребрами жесткости, пластины, ослабленной круговым отверстием, и т.д. В книге даны основы теории устойчивости пластинок и разобраны различные задачи, посвященные данному вопросу. При изучении задачи теории упругости часто используются матричные обозначения, введенные С.Г. Лехницким (см. [118]) и переработанные С.А. Назаровым в статьях ([153], [154] и др.). Наиболее подробное определение матричных обозначений и примеры их использования для исследования асимптотики решений задачи теории упругости различных тонких областей можно найти в книге С.А. Назарова [161]. В [161] также приводится обширная библиография по теории пластин и стержней, освещается история их развития. У истоков теории пластин и стержней стоят работы великих математиков. Изучением деформации стержней занимались Я. Бернулли (1695), Л. Эйлер (1744), Д. Бернулли (1751). Уравнение изгиба пластины было получено С. Жермен (1814), а Г. Кирхгоф (1851) и А. Сен-Венан (1855) окончательно сформулировали идею понижения размерности. Изучением деформаций анизотропных пластинок, приводящих к искривлению срединной поверхности, занимается теория изгиба, которая берет начало в работах Геринга [248], Буссинеска [225] и Губера [251]-[253]. Изучению уравнений теории изгиба для анизотропных пластинок посвящены работы С.Г. Лехницкого [121], [122]. Случай изотропных пластинок рассматривается в книгах Б.Г. Галеркина [25] и СП. Тимошенко [203]. В статьях М.М. Фридмана [209]-[213] были получены решения задач об изгибе различных изотропных пластинок, в частности для пластинок с отверстиями и с изотропными включениями из другого материала. В статье А.И. Лурье [128], посвященной изгибу произвольно нагруженной круглой пластинки, впервые было использовано комплексное представление прогиба, которое применялось во многих последующих работах (см. также [129]). Многие формулы и уравнения теории изгиба для различных ортотроп-ных пластинок, усиленных ребрами жесткости, гофрированных, слоистых и т.п., были получены при изучении задач, возникающих в прикладных научных исследованиях для авиационной промышленности (см, например, статьи [180], [182] и книгу [101]). Теории пластин и оболочек посвящены также монографии [2], [3], [32], [130], [165]. В книге Тимошенко и Войноровского-Кригера [201] основное внимание уделяется решению конкретных задач об упругих деформациях пластинок и оболочек. Авторы различают тонкие пластинки, подвергающиеся малым, в сравнении с толщиной пластинки, прогибам, и тонкие пластинки, подвергающиеся большим прогибам. Чтобы вычислить напряжение для любой точки пластинки первого типа необходимо решить дифференциальное уравнение в частных производных, которое вместе с граничными условиями определяет прогиб пластинки, являющийся функцией двух координат в ее плоскости. Для таких пластинок разных геометрических форм рассмотрены изгибы по цилиндрической поверхности, чистый изгиб, симметричный изгиб, поперечные нагрузки, различные условия опирания по краям; также описывается изгиб анизотропной пластинки. При изучении пластинок второго типа, когда прогибы не малы, учитывается, что изгиб пластинки сопровождается деформированием срединной плоскости и возникающими в ней (срединной плоскости) напряжениями, которыми нельзя пренебречь. Так возникают нелинейные уравнениия и решение задач затрудняется. В монографии разобраны случаи больших прогибов равномерно напряженных, круглых, свободно опертых и защемленных по контуру пластинок, а также нагруженной в центре круглой пластины, равномерно нагруженной прямоугольной пластины и прямоугольной свободно опертой пластины. На практике часто встречаются задачи, содержащие малый параметр, например, когда нужно изучить свойства и поведение тел, изготовленных из композиционных материалов, тел с трещинами или перфорацией, тонких тел и прочее. Уравнения, описывающие подобные ситуации, часто громоздки и непосредственно вычислить их решения очень сложно, поэтому возникла необходимость получения приближенных решений таких задач. Так появились различные асимптотические методы решения задач, возникающих в различных областях, в том числе в теории упругости. Одними из первых работ, посвященных изучению и применению асимпто-тичеких методов в теории упругости являются статьи Фридрихса и Стокера [244], Келлера и Раиса [254], Фридрихса и Дресслера [243], А.Л. Гольденвейзера [30], [31], Бромберга [226], Райсснера [275], Файфа [240] и др. Общие принципы и понятия асимптотичеких методов решения краевых задач приведены в монографиях [14], [108], [164], [167] и статьях [5], [9], [214], [241]. В статье М.И. Вишика и Л.А. Люстерника [16] введен метод изучения асимптотики решения эллиптических краевых задач с малым параметром при старших производных в областях с гладкой границей. Далее этот метод успешно применялся во многих разделах механики. В основе метода Вишика-Люстерника лежит идея пограничных поправок и идея регулирующего растяжения, т.е. введения местной ситемы координат в окрестности границы, в которой одна координата-быстрая. Этот метод применим в случаях вырождения эллиптического уравнения в эллиптическое, вырождения эллиптического уравнения второго порядка в гипербо- лическое уравнение, взаимных вырождений однохарактеристических и эллиптических уравнений, краевых задач с большими коэффициентами в подобласти (задач с барьером, краевых задач с бесконечно узкими барьерами, задач с быстро осциллирующими граничными условиями и быстро осциллирующими правыми частями). Разработке метода для этих задач посвящены статьи [17]-[20]. Дальнейшему развитию и применению метода Вишика-Люстерника к эллиптическим уравнениям посвящены статьи О.А. Олейник [168], Н.А. Ивановой [85], Экхауза и Егера [239] и др. Гиперболические уравнения изучались Су Юй-ченом [200], М.Г. Джавадовым [39] и др. Случай, когда граничные условия зависят от малого параметра, расматривался в работах Н.М. Леон-тович [124] и А.Л. Гольденвейзера [28], а в работе А.Л. Гольденвейзера [29] рассмотрен случай дифференциальных уравнений с малой правой частью. В задачах для уравнений с частными производными возможны особые случаи, когда, например, при вырождении некоторой задачи А? в задачу А$ теряется часть граничных условий, заданных на куске границы, являющемся характеристической поверхностью для вырожденного уравнения. Тогда функции погранслоя определяются уравнениями с частными производными. Так в статьях Г.А. Тирского и В.А. Треногина [204], [205] изучаются задачи, в которых функция погранслоя является решением краевой задачи для параболического уравнения. В работе М.Г. Джавадова [41] при изучении краевой задачи для эллиптических уравнений в тонких областях возникает эллиптический погранслой. Смешанная задача для квазилинейного гиперболического уравнения с гиперболическим погранслоем рассмотрена В.А. Треногиным в [206]. В статье Е.Ф. Мищенко и Л.С. Понтрягина [141] в связи с задачами, описывающими релаксационные колебания, возникает внутренний погранслой. Иногда явление внутреннего погранслоя можно узучать, поместив в точку разрыва решения вырожденной задачи задачу Коши с начальным скачком. Задачи Коши с разрывными начальными условиями рассматривались в работах О.А. Олейник [169]-[171], Н.С. Бахвалова [10], С.Н. Кружкова [111]. Результаты приложения метода Вишика-Люстерника к задаче теории упругости также приведены в статьях Л.С. Срубщика и В.Л. Юдовича [193]-[199], изучавших асимптотическое поведение пластин. В статье В.А. Треногина [207] метод Вишика-Люстерника применяется для получения результатов для дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, содержащих малый параметр при старших производных. Там же приводится обширная библиография, относящаяся к развитию и приме- нению метода Вишика-Люстерника в разных областях механики. Метод Вишика-Люстерника применим также для краевых задач с локальными особенностями границы области. Так в работах [12], [13] и др. приводятся исследования асимптотики решения задачи Дирихле для оператора eV — к2! в прямоугольнике и параллелепипеде. Дифференциальное уравнение второго порядка на многообразии с n-мерными углами изучено С.А. Назаровым в [144], а в [145] и [146] получена асимптотика решений эллиптических задач с параметром, вырождающихся в эллиптическую задачу меньшего порядка в области с конической точкой. Эллиптические краевые задачи в областях с коническими точками исследованы в работах [104], [135] и [136]. Исследованию решений задач в конусах с неоднородными дифференциальными операторами посвящены статьи [6], [7] и [146]. В статьях [37], [88], [116], [117] используется метод согласования асимптотических разложений для получения асимптотических представлений решений уравнений с малым параметром при старших производных. Методу согласования асимптотических разложений посвящена книга A.M. Ильина [87]. Сборники статей [42], [137], [178] содержат работы, посвященные применению этого метода. Упомянем здесь также статьи Гадыльшина P.P. [21]-[23], Ильина A.M. и Гадыльшина P.P. [24]. Рассмотрение пограничных слоев для задач в тонких областях приводит к эллиптическим краевым задачам в цилиндрических областях. Изучению таких задач посвящены статьи С. Агмона, Л. Ниренберга [222] и Л. Дуглиса [221], В.А. Кондратьева [104], ВТ. Мазьи, Б.А. Пламеневского [135], [136] и О.А. Олейник, ГА. Иосифьяна [99], [100]. Исследования краевых задач в областях с малыми отверстиями и тонкими вырезами проводятся в работах A.M. Ильина [89], [90], [91], Н.Н. Лебедева, И.П. Скальской [115], Дж.Ф. Джира, Дж.Б. Келлера [246], [247]. Разработка и применение асимптотических методов в теории изгиба тонких пластин и оболочек проводилась в работах А.Л. Гольденвейзера [32] -[36], К.О. Фридрихса, Р.Ф. Дресслера [214], [243], Д. Моргенштерна [266], Б.А. Шойхета [216], [217], С.А. Назарова [154], [156] - [161] и др. Задача деформации стержней изучалась в статьях В.В. Понятовского [177], С.А. Назарова [153], [155], А.С. Слуцкого [162], а также в книгах И.Е. Зино, Э.А. Троппа [83], С.А. Назарова [156], [161]. В работах М.Г. Джавадова [40], [41] построены асимптотики решений задач математической физики в тонких пластинах. В книге С.А. Назарова [156] подробно изложены приемы построения при- ближенных решений на примере краевых задач с малым параметром при старших производных и краевых задачах в областях, геометрия которых описывается с помощью малого параметра, таких как тонкий прямоугольник, области с малыми отверстиями и разрезами. Во многих областях физики, математики и современной техники возникают задачи, которые описываются математическими моделями, содержащими в том или ином виде малый параметр ? > 0. Примерами могут послужить задачи теории композиционных и перфорированных материалов, теории фильтрации, теории дисперсных сред. Изучение различных физических характеристик, фигурирующих в этих задачах, привело к появлению методов эффективной среды, среднего поля, а при изучении математических моделей возникли метод усреднений, понятия С-сходимости и Г-сходимости. Изучению вопросов теории усреднения и G-сходимости эллиптических, параболических, вариационных операторов посвящен целый ряд статей В.В. Жикова, СМ. Козлова, О.А. Олсйник, Г.А. Иосифьяна, А.С. Шамаева и др. ([45]-[98]). Систематическому изложению основных вопросов усреднения дифференциальных операторов посвящена книга [74]. В частности, в 12 главе [74] изучаются системы теории упругости. В книге Пятницкого А.Л., Чеч-кина Г.А. и Шамаева А.С. [179] излагаются различные методы усреденния, разбираются некоторые частные случаи, приводятся необходимые для понимания проблематики примеры. Приведем одни из последних результатов в этой области. В статье Чечкина Г.А., Жикова В.В., Люккассена Д. и Пятницкого А.Л. [230] изучаются периодические тонкие сетки и сочленения тел разной размерности, характеризуемые двумя малыми параметрами S (толщина стержней) и е (размер ячейки периодичности). Возможны два пути асимптотического исследования таких сингулярных структур. Первый путь предусматривает сначала предельный переход при S —» 0, а затем усреднение при ? —» 0. Второй путь заключается в усреднении при е —> 0 при фиксированном 5 и дальнейшем передельном переходе при 5 —> 0. В [230] показывается, что для определенных сингулярных структур эти два пути дают один и тот же результат. В статье В.В. Жикова [63] расматриваются спектральные вопросы усреднения в некоторых моделях пористых сред, а также усреднение задачи теории упругости на тонких сетках. Для пористой среды рассматривается задача Дирихле ut G H -div{aeVue) + щ = f e L2(u), где коэффициент проницаемости а? имеет вид , , Г 1 в Ff (жесткая фаза), at ™ \ --- J -L V ' [ е в -Tq (мягкая фаза), Ff и Fq - два периодических множества в RN, имеющих период е, таких, что rn = Ff U Fo?, Ff = eFi, Foe = eF0 (см. рисунок 1). Исследуется спектр самосопряженного оператора А? = —div{aE^7) в Для периодической тонкой сетки ставится краевая задача для системы теории упругости в вариационной формулировке Различаются три случая: 1) достаточно толстые сетки: lime^0 h(e)e~l = оо; 2) достаточно тонкие сетки: lim?__,o h(e)s~l = 0; 3) сетки критической толщины: lim^o h{?)e~l = 9 > 0. Для достаточно тонких сеток выписывается двухмасштабное, неклассическое, усредненное уравнение и приводится сравнение спектров классического усредненного оператора для достаточно толстых сеток и неклассичекого оператора для достаточно тонких сеток. Некритические случаи разобраны в [64], [65]. Случай сеток критической толщины рассматривается в работе В.В. Жикова и СЕ. Пастуховой [78]. Опишем некоторые результаты асимптотического исследования тонких пластин и стержней, использованные при подготовке данной диссертации. В работе В.А. Дудникова и С.А Назарова [43] строятся асимптотически точные уравнения для случая чистого изгиба тонких плит и показывается, что полученные двумерные уравнения совпадают с уравнениями пластин Райсснера [275]. При выводе системы уравнений Райсснера используется классическая система теории упругости, а поведение материала при действии моментов и перерезывающих сил учитывается с помощью допол- нительных предположений о распределении напряжений по толщине h трехмерной цилиндрической пластины. В системе уравнений Коссера моментной теории упругости фигурируют дополнительные константы среды и вводится новый неизвестный вектор поворота, не зависящий явно от смещений, что позволяет учитывать поведение материала при воздействии моментов. В [43] приведены условия совпадения коэффициентов системы уравнений Коссера и системы уравнений Райссне-ра. Сравнение с теорией Райсснера проводится и в статье С.А. Назарова, И.С. Зорина [84] при изучении пограничного слоя вблизи жестко закрепленного края трехмерной пластины, подверженной действию изгибающих нагрузок. Асимптотический переход от трехмерной задачи теории упругости для тонких плит к двумерным уравнениям изучались в [32], [4], [243] и др. В этих работах для тонких плит постоянной толщины получены асимптотические разложения объемного напряженного состояния, первым членом которых явлеются решение классической теории. В статьях Моргенштерна [266]-[268] получена оценка энергетической нормы разности решений объемной задачи и классической теории. Строгому обоснованию теории пластин Кирхгофа посвящена также стаья Б.А. Шойхета [216]. В [216] изучается асимптотическое поведение решения объемной задачи для неоднородной анизотропной плиты кусочно-непрерывной малой толщины. Рассматривается плита Vh = {(xhx2}x3)\(xllx2) e Q, -ht2{xi,x2) < х3 < hti(xi,x2)}, где п - область в М2 с кусочно-гладкой границей Г; ti(xi,X2) и t2(xi,x2) -кусочно-гладкие функции, такие что ti(xi,x2) > m > 0, m = Const, г = 1, 2; h > 0 - отношение характерной толщины к характерному размеру срединной плоскости Q. (см. рисунок 3). Боковая поверхность разбита на две части S\ и S2 (Г = Гх (J Г2), где 51 = {{xi,x2.xa)\{xi,x2) е Гь -ht2(xi,x2) < ?3 < hti(x1,x2)} 52 = {(xi,x2.x3)\{xux2) E Г2, -h На Si плита жестко защемлена, а на S2 задано распределение напряжений. Ставится задача теории упругости в вариационном виде, которой сопоставляется двумерная задача, и при определенных условиях на нагрузки доказывается близость решений этих двух задач в смысле нормы в L2. В работе С.Н. Леоры, С.А. Назарова и А.В. Проскуры [123] рассматривается краевая задача для сильно эллиптической по Петровскому самосапря- 11 Рис. 3: женной системы дифференциальных уравнений второго порядка в цилиндре flh = Q х (— 2,2)' гДе ^ - подбласть К""1 с гладкой границей, h - малый параметр (см. рисунок 4). Рис. 4: На боковой поверхности Qi поставлены условия Дирихле, а на основаниях - естественные краевые условия. То есть рассматривается краевая задача I ( Г) 'У* _____ л1) I ( Г) <У* I --- Т I г) Т* 1 Т* С^- ( ) i OX 5f h rrw ___\n (h т -\~ _^ — n ( ф i t1 — ( ф-, rr -,\ cz О (C\ Л\ yil^JL} I LL\/b} Jb ZL- — ] — Ц IX/. Jb — V ^ 1 э * * • i ^"fl_1 / ^ " ") \ ^* •- / /i'У x \ / ' \ J \ / u(h, x) = 0, xeSh = дпх(--, -), где ti, /, <7± - вектор-функции с компонентами щ, fk-,gf, к = 1, 2,. . ., Т; L и i^ - матричные операторы с компонентами ' дх К = - Ё <4(Л, (х, ±^)) + a;(hi (^ ± г=1 г а1к •* aik -I aik ~ гладкие вещественные функции переменных h G [0, 1] и х G В [123] приводится алгоритм построения предельной задачи в сечении О, цилиндра Q/г, решение которой является асимптотическим (при ? —-> 0). Дано описание программы для ЭВМ, реализующей этот алгоритм вывода двумерных моделей пластин. Ищется асимптотика решения задачи (0.1) вдали от боковой поверхности Sh цилиндра Qh, т.е. не исследуется поведение пограничного слоя. Для общих эллиптических краевых задач погранслой рассматривается в [147], а для задач теории упругости такие исследования проводились, например, в [33], [83], [99], [100], [138]. Алгоритм построения погранслойных поправок в теории пластин, пригодный для компьютерной реализации, предлагается в статье С.А. Назарова и О.В. Мотыгина [143]. Авторы статьи рассматривают задачу теории упругости в полуполосе П = {{y:z) G R2 : у > 0, z 1 рассматривается слоистая пластина (см. рисунок 5). Вектор смещений и интерпретируется как столбец (ux,uy,uz)T, Т - знак транспонирования; uy,uz - смещения в плоскости [у, z), а их - депланация. с кусочно-гладкой правой частью д. Конструируется результирующая система обыкновенных дифференциальных (по у) уравнений так, как будто П -тонкая область, по полиномиальным решениям одномерной системы находятся все полиномиальные решения двумерной задачи, приводятся явные формулы для однородных и слоистых пластин. Некоторые формулы для слоистых пластин не выписаны ввиду их громоздкости, но объясняется как закончить вычисления при помощи компьютерной программы. В статье В.В. Кучеренко и В.А. Попова [113] рассматривается задача о колебаниях тонкой однородной изотропной пластины П = S x [—h,h] CM3, / = diam S ^$> h, OS ? С со свободным или закрепленным краем. Авторы рассматривают случай изгибных колебаний пластины, когда вектор перемещений u(yi,y2,z) = (щ,и2,иэ)т удовлетворяет условию щ(уиУ2,-г) = и /i = О(е2), где е = j - малый параметр, /л = Со — 2(1+и)(1-2и)^ ^ ~ молулъ Юнга, v - коэффициент Пуассона, р - плотность, си - частота колебаний. Строится формальное асимптотическое решение задачи теории упругости, доказывается существование функции погранслоя, при которой полученное решение удовлетворяет граничным условиям точно, а уравнению с точностью ?5. Рассмотрена также задача об изгибных колебаниях тонкого клина U = {(хь х2) : 0 < х\ < /i, 0 < х2 < ех\] С R2, где е = у -С / - относительная толщина клина. Изучению армированных композиционных пластин посвящена статья М.В. Резцова [181]. Рассматривается параллелепипед высоты е\ U = {х ? Е3 : 0 < xi, х2 < Т, \х3\ < ^}, г - малый параметр, Г>? кратно ?, Т — 0(1). Предполагается физическая симметрия пластины относительно срединной плоскости, т.е. коэффициенты теории упругости, описывающие физико-механические характеристики материала, удовлетворяют условиям хг х2 х3 _ хх х2 _^з. После перехода к быстрым координатам ? — - выделяется единичный куб переодичности Q области изменения переменных ?. Волокна различных направлений занимают подобласти С^д .. . G\,m cQc бесконечно гладкой границей (М - число различных направлений армирования), такие что м G\,i f] G\j = 0 при / ф j; и область G\ = (J Gij не пересекает верхнюю и i=i нижнюю грани куба Q, т.е. G\ П{?з = ±\|} = 0. G\j - сквозные цилиндры в R3, причем направляющие цилиндров Y = (7ii72'0) ортогональны О?з-Вводится обозначение G2 = Q \ G\. Матрицы теории упругости заданы в Q где и - большой безразмерный параметр. Считается, что матрицы Azj одно-периодические по (^1,^г)- В области U рассматривается стационарная система уравнений теории упругости дхк с условием свободной границы при ^з = ±\| ди . (х\ ди = ASJ I-) — = 0 и естественными условиями сопряжения на поверхности разрывов коэффициентов [и] = 0, [An?J~^m] = 0, с бесконечно дифференцируемой в R2 периодической по Х\,Х2 трехмерной вектор-функцией в правой части уравнения. Здесь пт - компоненты вектора нормали к поверхности разрывов коэффициентов. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование от 1 до 3. С помощью алгоритма, предложенного в [8], автор статьи строит фундаментальное асимптотическое решение и получает оценку близости точного решения и усеченной суммы асимптотического ряда. Налагается условие ие2 <С 1. В случае изотропных армированных волокон получены явные формулы для эффективных модулей композиционного слоя. Исследован тип усредненных уравнений в зависимости от структуры армирования. Усреднению задачи теории упругости в неоднородном стержне посвящена статья М.В. Козловой и Г.П. Панасенко [103]. Авторы строят полное асимптотическое разложение решения трехмерной системы уравнений теории упругости, заданной в тонком неоднородном цилиндре (диаметр сечения цилиндра и храктеристический размер неоднородности - малые параметры одного порядка). Рассматривается также задача теории упругости в тонком стержне при дополнительном условии слабой сжимаемости: коэффициент Ламе Л является большим параметром. К исследованиям по линейной теории стержней относятся работы С.А. Назарова [147], М.В. Козловой и Г.П. Панасенко [102], [103], [274], в которых с учетом явления пограничного слоя для решения трехмерной задачи теории упругости строится полное асимптотическое разложение, т.е. ряд по степеням малого параметра h, отвечающего за толщину конструкции, так что порядок М невязки O(hM) частичной суммы ряда в рассматриваемых уравнениях и краевых условиях неограниченно возрастает при удлинении этой суммы. В статье С.А. Назарова [153] на основе общей схемы [123], [147], [150] отыскиваются старшие члены асимптотики решения задачи о деформации стержня D(-Vx)AD(Vx)Tu = f в Од, D(n)AD{Vx)Tu = д на Th = {х € duh : \z\ < 1}, и = 0 на 7/f = {^ ? Qn : z — ±1}, где тонкий стержень Пд определяется равенством Q^ = {х : \z\ < 1,? = [r],Q = h~1(y,z) E Q}, Q - внутренность множества \|J S(n), S(n) - сдвиг riGZ вдоль оси О z на длину n?Z={0;±l,...} области S, содержащейся в слое {х = (yi, y2, z) : (уъ у2) Е М2, z G (0, 1)}; А(?, z) - матрица упругих модулей, положительно определенная, симмметрическая и гладко зависящая от быстрых переменных ? € S и медленной переменной 2€ [-1,1] (зависимость от ( периодическая с единичным периодом), а = 2~2 и п - единичный вектор внешней нормали к боковой поверхности Г^; / и д -векторы массовых сил и внешних усилий. Далее в [153] формируется система обыкновенных дефференциальных уравнений, описывающих деформацию стержня в главном, и выводятся асимптотически точные интегральные и равномерные оценки разности ис-

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23537.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

29.04.24 Результаты оценки психологических детерминант гражданской идентичности учащихся старших классов

29.04.24 Программа формирования гражданской идентичности старшеклассников

29.04.24 Психологические основания для разработки программы формирования гражданской идентичности старшеклассников

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Найти готовую работу

Обратная связь:

Вход для партнеров

© 2006-2022. Все права защищены. Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.