Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Задача Вентцеля и ее обобщения

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Задача Вентцеля и ее обобщения

Количество страниц	322

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23571.doc

Содержание	Содержание Оглавление Введение 5 1 Задача Вентцеля для уравнения Лапласа и Гельмгольца 32 1.1 Постановка задачи. Теоремы единственности... 33 1.2 Свойства повторных потенциалов ... 37 1.3 Сведение задач Вентцеля к интегральным уравнениям и их исследование . . . . :... 1.4 Некоторые обобщения... 48 2 Квазилинейная двухфазная задача Вентцеля 51 2.1 Постановка задачи. Формулировка теорем существования ... 54 2.2 Локальные оценки максимума Александровского типа для решения линейной двухфазной задачи Вентцеля... 57 2.3 Разрешимость линейной двухфазной задачи Вентцеля... 69 2.4 Гельдеровские оценки... 80 2.4.1 Оценки неотрицательных решений двухфазной задачи Вентцеля вблизи пленки... 80 1 2.4.2 Оценка константы Гельдера для решения квазилинейной двухфазной задачи... 87 2.4.3 Оценка константы Гельдера с большим показателем для решения линейного уравнения ... 91 2.5 Оценка градиента решения квазилинейной двухфазной задачи Вентцеля... 94 2.6 Разрешимость квазилинейной двухфазной задачи Вентцеля . . 102 3 Квазилинейная задача Дирихле в областях с гладкими за- мкнутыми ребрами произвольной коразмерности 105 3.1 Постановка задачи...108 3.2 Вспомогательные оценки интегральных операторов...111 3.2.1 Оценки в пространствах Ь3,Г)(а)...Ш 3.2.2 Оценки в пространствах -?s,r,(a)...115 3.3 Оценки решения задач Дирихле и Неймана для уравнения теплопроводности в клине...118 3.3.1 Оценки решения задачи Дирихле...121 3.3.2 Оценки решения задачи Неймана при т > 2...124 3.3.3 Оценки решения задачи Неймана в двугранном угле . . . 132 3.3.4 Задачи в полупространстве... 136 3.4 Локальные оценки максимума Александровского типа через весовые нормы правой части ...139 3.4.1 Вспомогательные леммы о линейных операторах...139 3.4.2 Условные оценки в весовых пространствах...141 * 3.4.3 Вывод основной оценки...143 3.4.4 Оценки в анизотропных пространствах...145 3.5 Разрешимость линейной параболической задачи...147 3.6 Гёльдеровские оценки решения квазилинейной задачи...153 3.7 Оценки градиента решения...161 3.8 Оценки решения в окрестности ребра...166 3.9 Доказательство теоремы существования...172 4 Квазилинейная двухфазная задача Вентцеля в трансверсаль-ном случае 175 4.1 Постановка задачи...177 4.2 Вспомогательная задача Дирихле в весовых пространствах . . . 181 4.2.1 Постановка задачи...181 4.2.2 Оценки максимума...183 4.2.3 Гёльдеровские оценки...186 /# 4.2.4 Оценки градиента на границе...188 4.2.5 Оценки градиента вблизи границы...193 4.2.6 Разрешимость линейной и квазилинейной задач Дирихле 197 4.3 Разрешимость линейной эллиптической задачи...199 4.4 Разрешимость квазилинейной эллиптической задачи...208 * 5 Задача Вентцеля для полностью нелинейных эллиптических уравнений 217 5.1 Постановка задачи...219 5.2 Оценки градиента решения...221 5.3 Оценки вторых производных...233 . * 5.4 Разрешимость нелинейной задачи Вентцеля...243 6 Вырожденная задача Вентцеля для квазилинейных эллиптических уравнений 247 6.1 Постановка задачи...249 6.2 Гельдеровские оценки...251 6.3 Оценки градиента решения...258 6.4 Оценки вторых производных...274 6.5 Разрешимость вырожденной задачи Вентцеля...283 Приложения 285 >ti A. 0 стационарной двухфазной задаче Вентцеля...285 B. Задача Дирихле в областях с ребрами. Анизотропные пространства294 C. Задача Дирихле в областях с ребрами для эллиптических уравнений300 D. Нестационарная задача Вентцеля в трансверсальном случае . . . 305 D.I. Вспомогательная задача Дирихле в весовых пространствах 305 * D.2. Разрешимость линейной параболической задачи ...309 D.3. Разрешимость квазилинейной параболической задачи . . . 316 Работы автора по теме диссертации 319 Литература 322 Введение Разрешимость краевых задач для квазилинейных уравнений с частными производными недивергеного вида, а также для полностью нелинейных уравнений, интенсивно изучается в последние 25 лет. Такие задачи для эллиптических и параболических уравнений второго порядка описывают, в частности, стационарные и нестационарные процессы диффузии. К настоящему времени получены достаточно полные результаты, касающиеся разрешимости в гладких областях задачи Дирихле, а также задачи с наклонной производной (описывающей диффузию в области с отражением от границы). Обзор этих результатов, а также обширную библиографию можно найти, например, в работах [ЛУ4], [LiT] и в монографиях [ГТ], [1Л2]. В 1959 году А.Д. Вентцель [В] ввел (для эллиптических уравнений) новый класс граничных условий, задаваемых интегро-дифференциальными операторами второго порядка (см. также [IW], [W]). С вероятностной точки зре- ния, условия Вентцеля представляют собой наиболее общие краевые условия, включающие как частные случаи условия Дирихле, Неймана, условие с наклонной производной и смешанные условия. Отметим также, что задачи с условиями Вентцелевского типа возникают во многих областях науки и техники. Среди них задачи гидродинамики, электродинамики и теории упруго-сти, инженерные задачи нефтедобычи и некоторые вопросы финансовой математики (см. [CM], [Kol], [Ko2], [Le], [МНП], [NPi], [SV], [Sh], [Ш, Гл.УШ]). В диссертации изучается задача Вентцеля для эллиптических и параболических уравнений второго порядка. При этом рассматривается класс гра- ничных условий, содержащих производные второго порядка по касательным переменным, но не содержащих интегрального члена. Отметим, что линейные задачи с интегральными членами в граничных условиях изучались А.Л. Скубачевским и его учениками (см. [ГС] и цитированную там литературу). С точки зрения теории диффузионных процессов, рассмотренные задачи описывают процесс, включающий диффузию вдоль границы и отражение от границы. Такая ситуация возникает, когда граница области покрыта тонким слоем ("пленкой") из материала, имеющего высокую проводимость. В первой главе диссертации изучается задача Вентцеля для уравнений Лапласа и Гельмгольца Аи + к2и = О в П, Дл/ _ л» . &** I , Г"\Ъ?>П1 —— Г TTQ V^ (здесь Е = дп € С2, к ^ 0; в случае внешней области на и накладываются стандартные условия на бесконечности). Поскольку для задачи (0.1) легко получаются коэрцитивные оценки в пространствах Гельдера (см., например, [Кр2, §5.5]), то разрешимость этой задачи для гельдеровых / следует из общей эллиптической теории. Желание получить классическое решение при непрерывных граничных данных приводит к идее использования интегральных уравнений теории потенциала. Для этого вводится понятие повторных потенциалов простого и двойного слоя / W - У) s Км Ы 1<№^Ф - У) Е где Gk(x) - фундаментальное решение оператора — (Д+&2), удовлетворяющее условию излучения на бесконечности. В §1.1 дается постановка внутренней и внешней задач Вентцеля и доказываются теоремы единственности для них, а также выводятся необходимые условия разрешимости. В §1.2 изучаются свойства повторных потенциалов. Лемма 1.2.1. Пусть S € С2. Если ц, G С(Е); то повторный потенциал tL имеет правильную внутреннюю и внешнюю нормальную производную, причем где &ifi - операторы со слабой особенностью на Е. Теорема 1.2.4. Пусть S ? С2, \i € C(S). Тогда повторный потенциал V(2) имеет вторую правильную внутреннюю и внешнюю нормальную производную, причем где ©) , (Зе - операторы со слабой особенностью. В качестве следствия доказывается теорема, усиливающая классический результат A.M. Ляпунова. Теорема 1.2.2. Пусть S Е С2. Потенциал двойного слоя Wq имеет правильную нормальную производную тогда и только тогда, когда существует функция v G С(Т), такая, что fi = Vq\e. В §1.3 внешняя и внутренняя задачи Вентцеля сводятся к интегральным уравнениям, после чего доказываются теоремы об их разрешимости, анало-гичные теоремам о разрешимости задач Дирихле и Неймана. Теорема 1.3.3. Если к2 не принадлежит спектру внутренней задачи Вентцеля (Vi), то решение задачи (Vi) существует и единственно для любой /еС(Е). Если к2 принадлежит спектру задачи (Vi), и {vp}, р = 1,... ,? - соответствующие решения однородной задачи, то задача (Vi) разрешима тогда и только тогда, когда выполнены условия Js fvp dY, = 0, р = 1, ...,?. В обоих случаях решение задачи (Vi) представимо в виде повторного потенциала V^K с непрерывной плотностью. Теорема 1.3.4. Решение внешней задачи Вентцеля (Ve) существует и единственно для любой f Е С(Е), за исключением случая п = 2, к = 0. В этом случае задача (Ve) разрешима тогда и только тогда, когда выполнено условие /Е / dE = 0. В §1.4 результаты §1.2 обобщаются на случай повторных потенциалов про- извольного порядка. Теорема 1.4.1. Пусть I € N, S G С1 при четном I, S б Сг+? при нечетном I, в Е]0,1[, и fi G С(Е). Тогда повторный потенциал простого слоя порядка I имеет на Е правильную нормальную производную порядка I, причем - компактные операторы в С(Е). Теорема 1.4.1 позволяет использовать повторные потенциалы при решении краевых задач для уравнений Лапласа и Гельмгольца, в которых старший член оператора в граничном условии имеет вид \|~}. Такие краевые условия встречаются, например, в задачах акустики. В главах 2 и 4 изучается квазилинейная двухфазная задача Вентцеля для эллиптических и параболических уравнений. Такая задача описывает си- туацию, когда пленка S разделяет область U на две части. "Условие на пленке при этом задается квазилинейным уравнением второго порядка (соответственно эллиптическим или параболическим) по касательным переменным. Главные члены граничного оператора, как и в однофазной задаче, описывают диффузию вдоль пленки, а члены первого порядка образуют оператор "скачка" поперек пленки lim — (ж + ? • n(x);t))- (здесь и далее р обозначает проекцию вектора р на касательную плоскость кЕ)и описывают взаимодействие пленки с подобластями О№ и &№. Во второй главе разбирается случай S П д?1 — 0. Следует отметить, что в случае &s,[2] = О (т-е- когда пленка не взаимодействует с внешней областью ^ )> можно сначала найти решение однофазной задачи Вентцеля в QW, а затем решить задачу Дирихле в О№, используя в качестве граничного условия на Е след функции, полученной на первом этапе. Точно так же любая однофазная задача Вентцеля в fiW может быть рассмотрена как двухфазная, если ввести фиктивную область Q№ и положить Ь^щ = 0. В связи с этим в главе 2 изложение ведется только для двухфазной задачи. Исследование однофазной задачи Вентцеля для эллиптических уравнений общего вида было начато в работах N.S. Trudinger'a и его ученика Y.Luo. В работах [Lol], [Lo2], [LoTl] была доказана классическая разрешимость этой задачи при условии линейного роста функции, задающей граничный оператор, по компонентам Du. Соответствующие результаты для параболических уравнений, а также разрешимость задачи в пространствах Соболева, были получены в работах Д.Е. Апушкинской и автора [An], [AH1], [АН2], [AN3]. Для решений из соболевских пространств функции, входящие в уравнение, могут содержать также особенности по независимым переменным, суммиру-емые в достаточно высокой степени. Эти результаты вошли в кандидатскую диссертацию Д.Е. Апушкинской. Заметим, что результаты главы 2 даже для однофазной задачи сильнее упомянутых выше, поскольку граничное условие может иметь квадратичный рост по касательным компонентам Du. Двухфазная задача Вентцеля ранее не рассматривалась. В §2.1 дается постановка параболической двухфазной задачи Вентцеля и формулируются теоремы существования в пространствах Соболева и Гельде-ра. В цилиндре Q = Ох]0,Т[ рассмотрим начально-краевую задачу dtu — al?h][x, t, и, Du)DiDjU •+¦ ащ(х, t, it, Du) = О в Q^h\ Д = 1,2, dtu - og(ж, t, u, Du)D\D)u + aE(x, t, u, Du) + %и = 0 на Sr = Sx]0, T[, и d'Q = 0. (0.2) Будем предполагать, что уравнения в (0.2) равномерно параболические, т.е. {ощ) и (а-1) - симметричные матрицы, и неравенства % 2, (во) {у = const > 0) справедливы при всех значениях аргументов и при всех Предположим также, что функции ащ, as удовлетворяют неравенствам где /л — const ^ 0. Далее, коэффициенты ajjL a^ имеют первые Соболевские производные по ж, z, р, и выполнены следующие неравенства: dp (A2-B2) где введено обозначение с) = р • jjfc + ^. Наконец, функции Ь^щ, входящие в определение оператора 3, имеют первые соболевские производные по р, и выполнены следующие неравенства: др п(ж) (J0) (Л) Теорема 2.1.1. Пусть п < q < оо, и выполнены следующие условия: (i) S и dVt - поверхности класса Wq+2, Е П дп = 0; (ii) выполнены условия (АО), (Al), (A2), (ВО), (Bl), (B2), (JO), (J1); (iii) Ьщ, №, Ф?1 е Ь^2(ф\), 6S; Ф2, Ф? g Vi(ST); (iv) функции u[h](-,z,p) непрерывны по (z,p) как элементы пространства , а функции as(;z,p), Ье,[а](,^,р) непрерывны по (z,p) как элементы пространства Lq+i(T Тогда задача (0.2) имеет решение W U Q®) П Теорема 2.1.2. Пусть выполнены следующие условия: (i) S и сЮ - поверхности класса С2+7; 7 G]0,1[, Е П 5Q = 0; (ii) выполнены условия (АО), (А2), (ВО), (В2), (J0), а также следующие структурные ограничения: (АГ) (ВГ) (л1) (iii) фИ G VaCQW), Ф? G (iv) функции пщ, ащ, а^, а^,, &е,[Л] удовлетворяют условию Гелъдера с показателем 7 по переменным х, z, p и с показателем 7/2 по переменной t; (v) выполнены условия согласования: ащ{х,0,0,0) = аЕ(ж, 0,0,0), х € Е; а[2](а;, 0,0,0) = 0, я; 6 Тогда задача (0.2) имеет решение и € С^+7(2) = C2+t(QW) Отметим, что структурные условия теорем 2.1.1 и 2.1.2 являются естественными и соответствуют структурным условиям, накладываемым в теоремах о разрешимости задачи Дирихле (см. [ЛУ4]). §2.2 посвящен получению локальных оценок максимума Александровского типа для решений линейной двухфазной задачи Вентцеля в невырожденном и вырожденном случаях. Такие оценки являются фундаментом для получения всех априорных оценок, необходимых для доказательства теорем существования решения краевых задач для уравнений недивергентной структуры. Для получения этих оценок проводится тонкий анализ отображения Лежандра, порожденного выпукло-монотонной оболочкой решения. В §2.3 получена глобальная оценка максимума решения линейной двухфазной задачи Вентцеля. Далее в случае Е П д?1 = 0 устанавливаются коэрцитивные оценки решений этой задачи в пространствах Соболева и Гельдера и доказываются теоремы существования. Пусть С^ - линейные равномерно параболические операторы в C[h]u = dtu - ojjj (ж, t)DiDjU + b\h]{x, t)D{u + №(ж, t)u, Пусть В - линейный равномерно параболический оператор на пленке Ви = dtu — аг?(х, t)DDjU -t- &s(#, t)Du + с%(х, t)u, Пусть, наконец, J - оператор "скачка" на Е^: Ju = ЬЕ \1](х, ъ) ¦ lim — {х + е • n(rc); t) - &Е г2](ж, ъ) • lim д-(ж + ? • п(ж); *), 11J е-^-о an ?-»+o an Теорема 2.3.4. 1. Пусть п < q < со, S , Е П 5П = 0. - поверхности класса равномерно по t 6 [0,Т], Jl J, 0[Л\|, С1 J 6 Ivg^^W1 Jj, /S, начально-краевая задача в Hw +17« = /s на Ег, ^\|a'Q = 0, имеет единственное решение и ? ^„^(Q). 2. Пусть S w 5П - поверхности класса C2+1, 7 ?]0,1[, Е П 5Г2 = 0. Пусть коэффициенты и правые части уравнений (0.3) принадлежат и Сч(Щ, соответственно. Если вдобавок выполнены условия согласования /W = /E на ?х{0}, f[2] = 0 на дп х {О}, то начально-краевая задача (0.3) имеет единственное решение и Е CE+7(Q). В §2.4 получены гельдеровские оценки для решений квазилинейной двухфазной задачи. При этом применяется классический метод Н.В. Крылова - М.В. Сафонова ([КС]; см. также [ЛУЗ], где этот метод распространен на уравнения с суммируемыми особенностями). Однако для двухфазной задачи Вентцеля пришлось сконструировать новые барьерные функции (Леммы 2.4.1 и 2.4.2). В п.2.4.3 получены также вспомогательные локальные оценки констант Гельдера с повышенным показателем для решений линейных уравнений, используемые в следующем параграфе. В §2.5 устанавливаются оценки градиента решения квазилинейной двухфазной задачи. Ключевую роль здесь играет следующая техническая лемма. Лемма 2.5.1. Пусть непрерывная функция ip : [0;Я] —> R+ удовлетворяет условию где а - положительная константа, а Т - возрастающая функция своих аргументов. Тогда существует положительная константа ро ^ R, зависящая только от а и свойств функции Т, такая, что ip(p) < Pq" при любых р ^ ро. В Теореме 2.5.2 оценка max \|\|^ сводится к Лемме 2.5.1 методом мас- штабирования с использованием известных результатов О.А. Ладыженской - Н.Н. Уральцевой о внутренних оценках градиента (см. [ЛУ4]), а также теоремы о продолжении функций из анизотропных гельдеровских классов ([АН1, лемма 6.1]). После получения этой оценки уравнение на пленке можно считать полностью автономным, и оценка гельдеровской нормы Du в Q^ получается стандартным способом. В §2.6 получены глобальные оценки максимума для решения квазилинейной двухфазной задачи, после чего Теоремы 2.1.1 и 2.1.2 доказываются по стандартной схеме применением теоремы Лерэ - Шаудера. В Приложение А вынесены результаты для эллиптических уравнений, со- ответствующие теоремам из §§2.1-2.6. При этом обсуждаются лишь теоремы, имеющие существенные отличия от параболических. В частности, следующая теорема дает достаточные условия единственности решения линейной задачи. Теорема А.6. Пусть S €Е W%, и выполнены условия c[h] ^ 0 в Q,[h\ cz(x) ^ со на S, c0 = const > 0. Тогда однородная задача Dj« + o\h]{x)DiU + S(x)u = 0 в Ф, на Е, имеет в W%(fi№ UQ^) П W^_X(E) ПС(П) только тривиальное решение. В главе 3 рассматривается задача Дирихле для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений в областях с гладкими замкнутыми ребрами произвольной коразмерности. Хотя эта задача является модельной по отношению к задаче, изучаемой в главе 4, но она представляет также значи- тельный самостоятельный интерес. В отличие от гладких областей, в которых, как уже упоминалось, эта задача хорошо изучена, почти все публикации, посвященные задачам в областях с особенностями, касаются исключительно линейных уравнений. Для квазилинейных недивергентных уравнений в эллиптическом случае ранее были известны лишь результаты М.В. Борсука ([Бо1], [Бо2]), который рассматри- вал только коническую особенность. Результаты главы 3 являются новыми даже в этом случае, ибо структурные условия, налагаемые здесь на члены младших порядков, как будет указано ниже, менее ограничительны, чем соответствующие условия из [Бо2]. Примерно в то же время, что и результаты главы 3, были опубликованы работы М.И. Плеши (ученика М.В. Борсука) [Пл1]-[ПлЗ], который рассмотрел эллиптическую задачу в области с ребром коразмерности 2 (особенность типа двугранного угла). Следует отметить, что наши результаты о разрешимости сильнее результатов Плеши, ибо его оценки, как и оценки Борсука, основаны на обычном принципе максимума А.Д. Александрова, который в случае ребра применим, только если угол при ребре "достаточно острый" (см. Замечание С.З). Кроме того, наши структурные условия на члены младших порядков и здесь менее ограничительны, чем соответствующие условия из [Пл1]-[ПлЗ]. В §3.1 дается постановка задачи Дирихле для квазилинейной параболической задачи и формулируется теорема существования решения в пространствах Кондратьева. Предположим, что на д?1 выделено (п — т)-мерное подмногообразие без края S ("ребро"), такое, что в окрестности каждой точки х° G S область О, диффеоморфна "острому" клину JCm(G) С ICmft, в < \|, (0.4) причем 9 можно выбрать не зависящим от х°. Если т = п, то S будет не ребром, а конической точкой. При этом клин JCm(G) вырождается в конус Km(G). Этот случай не исключается из рассмот-рения. Обозначим через d{x) расстояние от точки х до ребра S и введем шкалу весовых пространств LS)(a)(Q) с нормой Введем также пространства Кондратьева W5'/ax(Q) с нормой IwIwJJe)(Q) = \ldtu\h,(a),Q + lD(Du)ls,(a),Q + Ци • (ф)) В цилиндре Q рассмотрим начально-краевую задачу - ali(x, t, и, DujDiDjU + а (ж, t, и, Du) = 0, d'Q = 0. (0.5) Определим 9(в, v) как решение уравнения ctg(S) = i/-ctg(0), 0€]o,?[, (о.б) ,[, где z/ - константа эллиптичности из (АО), а 9 - параметр из (0.4). Пусть Л(т, 9) - первое собственное число задачи Дирихле для оператора Бельтрами на сферической "шапочке" G-§ = Кт^П Sm: В Gfr v\dGd = Q- Обозначим через ш положительный корень уравнения и2 + (т - 2)и - А = 0 (заметим, что из условия 9 < тг/2 вытекает Q > 1) и положим Г п-ш+2 \ Теорема 3.1.1. Пусть выполнены следующие условия: задача (0.5) имеет решение и е W^2 /v (Q). Заметим, что если линейная теория эллиптических задач в областях с ребрами построена в достаточной общности для всех пространств, которые обычно используются при изучении квазилинейных уравнений (Hk, LP) С7; см., например, монографию [НП] и статьи [МП1], [МП2], [MR]), то соответствующая параболическая теория еще далека от завершения. Наиболее разработана теория для гильбертовых пространств (можно отметить, например, серию работ [КМ1], [KM2J, [Кз1], [Кз2], в которых рассмотрены задачи в областях с коническими точками). Что касается пространств Lp и Гельдера, то лишь в работах В.А. Солонникова [Со2] и [So3] были получены коэрцитивные оценки решений задач Дирихле и Неймана для уравнения теплопроводности в двугранном угле. В связи с этим два параграфа главы 3 посвящены выводу коэрцитивных оценок в анизотропных весовых пространствах для решения задач Дирихле и Неймана для уравнения теплопроводности в клине с ребром произвольной коразмерности (при этом не предполагается, что клин fcm{G) - ОСТРЫЙ). В §3.2 получены оценки некоторых интегральных операторов в пространствах Ls^a) и 1/5)Г)(а). При этом использована стандартная интерполяционная техника и некоторые идеи из работы [So3].

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23571.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.