Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Вопросы теории операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Вопросы теории операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами

Количество страниц	98

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23546.doc

Содержание	Содержание ВВЕДЕНИЕ...4 ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА РОМАНОВСКОГО С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ...16 §1. Задача, приводящаяся к уравнению типа Романовского... 16 §2. Классификация операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами...18 §3. Операторы типа Романовского с частными интегралами в пространстве непрерывных функций...22 3.1. Непрерывность действия операторов типа Романовского bC(D)...22 3.2. Достаточные условия действия...24 3.3. Критерии действия...28 3.4. Пространства операторов типа Романовского...38 3.5. Композиции операторов типа Романовского...44 §4. Операторы типа Романовского с частными интегралами в пространствах Лебега...50 4.1. Непрерывность действия...50 4.2. Регулярность операторов типа Романовского...52 4.3. Сопряженные операторы к операторам типа Романовского...57 ГЛАВА 2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ И УРАВ -НЕНИЙ ТИПА РОМАНОВСКОГО С ЧАСТНЫМИ ИНТЕ - ГРАЛАМИ...63 §5. Нетеровость и фредгольмовость операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами в пространстве непрерывных функций...63 5.1. Операторы и уравнения с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами...63 5.2. Операторы и уравнения с вырожденными ядрами...70 §6. Нетеровость и фредголыиовость операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами в пространствах Лебега...72 §7. Обратимость операторов типа Романовского с частными интегралами в пространстве C(D)...76 7.1. Условия обратимости...76 7.2. Об обратимости одного класса операторов...87 §8. Условия обратимости операторов типа Романовского с частными интегралами ъЬр...92 §9. Альтернатива Фредгольма для уравнений типа Романовского с частными интегралами...94 ЛИТЕРАТУРА...98 ВВЕДЕНИЕ 1. Задача теории марковских цепей, поставленная в 1932 году известным советским математиком В.И. Романовским [87,108], приводится к интегральному уравнению вида x(t,s) = / m(t,s,cr)x((7,t)dcr + f(t,s). (1) J a Это уравнение он исследовал методом, аналогичным методу определителей Фредгольма, в предположении непрерывности заданных функций m(t,s,cr) и f(t,s). Для уравнения (1) характерно то, что сначала производится перестановка переменных в неизвестной функции под знаком интеграла и только потом интегрирование. Теория этого уравнения существенно отличается от теории интегральных уравнений Фредгольма, так как оператор, стоящий в правой части (1), — не интегральный и не вполне непрерывный. Уравнение (1) является частным случаем уравнения x(t, s) = KUx(t, s) + /(, s) (2) типа Романовского с частными интегралами, где Ux(t,s) = x(s,t), a (Kx)(t,s) = / l(t,s,r)x(T, s)dr + / m(t,s,a)x(t,(j)dcr J a J a + I I n(t,s,T,a)x(r,a)drd(7. (3) J a J a Свойства оператора (З) и уравнения (2) достаточно подробно исследованы в [42], там же приведены многочисленные приложения уравнений с частными интегралами, а также библиография работ по теории операторов и уравнений с частными интегралами. Оператор (3) в пространстве непрерывных функций исследовался Ю. Аппеллем (J.Appell), П.П.Забрейко, А.С.Калитвиным, О.П.Околеловым, Е.В.Фроловой в работах [20, 24, 29, 42, 47, 59, 83-85, 89-94, 97, 109]. Операторы и уравнения с частными интегралами и вырожденными ядрами в пространстве L2 суммируемых с квадратом функций изучались Л.3.Битовой [3-6], с симметричными ядрами В.В.Болтянским, Л.З.Витовой, Л.М.Лихтарниковым в [2, 6, 74], случай жордановых ядер рассмотрен в [6-8]. Свойства оператора (3) в других функциональных пространствах приведены в работах [29, 36, 42, 47, 102, 103]. Спектральные свойства линейных операторов с частными интегралами рассматривались в работах [2-4, 6, 7, 20, 26-29, 33, 34, 37, 42, 47, 97, 102, 103]. Достаточные условия фредгольмовости и обратимости уравнения с непрерывными ядрами, а также достаточные условия существования решений получены с использованием техники определителей Фредгольма в [83-85]; здесь же найдено представление решений с помощью резольвентных ядер. Условия нётеровости, фредгольмовости и обратимости в случае вырожденных, непрерывных в целом и интегрально ограниченных ядер приведены в [42, 47, 57, 58, 90-94, 97, 103]. Детальный анализ спектральных свойств различных классов операторов с частными интегралами в функциональных пространствах проведен А.С. Калитвиным [26-29, 33-35, 37, 42, 47], в пространстве непрерывных функций Б.В.Фроловой [90-94], А.С. Калитвиным [42, 47]. Важнейшие частные случаи уравнения (4) — уравнения Воль-терра и Вольтерра-Фредгольма, которые впервые изучены В. Воль-терра [9] для случая непрерывных ядер. Операторы и уравнения более общего вида исследовались П.П. Забрейко, А.С.Калитвиным, В.А.Калитвиным, Е.В.Фроловой в работах [23, 40-42, 44, 45, 47, 48, 54, 60-62, 95-97, 104, 106]. Приближенные методы решения таких уравнений разработаны в [60, 61]. Уравнение (1) является частным случаем уравнений x(t,8) = (KiX)(tt8) + f(t,8), (5) где К{ (г = 1,..., 6) — операторы типа Романовского = Lо П + М + N, K2 = LoU Здесь pb pb (Lx)(t,s) = / l(t, s, r)rc(r, s)dr, (Mx)(t,s) = / m(t,s,a)x(t,a)da, J a J a pb pb (Nx)(t,s) = / / n(t,s,T,a)x(r,a)drda, J a J a заданные функции J(i,s,r), m(i,s,cr), n(t,s,T,a) измеримы по совокупности переменных t, 5, г, а Е [а, Ь], а интегралы понимаются в смысле Лебега. Вопросы разрешимости уравнений (5) тесно связаны со свойствами операторов К{ (г = 1,..., 6). Операторы К{ являются операторами с частными интегралами, так как в первых двух слагаемых их правых частей интегрирование неизвестной функции ведется по части переменных. Свойства операторов типа Романовского зависят от пространств, в которых они изучаются, и сильно отличаются от свойств обычных интегральных операторов. Линейные операторы типа Романовского с частными интегралами исследовались А.С.Калитвиным [25-29, 30-34, 38, 42, 47, 55,105], Л.М. Лихтарниковым [70-73, 75-77], Л.Л. Морозовой [79-82]. Наиболее подробно разработана теория оператора К о П для различного вида ядер. Свойства этого оператора с вырожденными ядрами рассматривались в работах [25, 42, 47], с симметричными ядрами — в [70-73, 82], с симметризуемыми ядрами — в [27-29, 42]. Спектральные свойства операторов типа Романовского для различных классов ядер изучались в [26-29, 30-34, 42, 47, 105]. Структура собственных чисел и собственных функций операторов типа Романовского изучалась в [38, 42, 82]. Уравнение (1) двусвязных цепей Маркова исследовано В.И. Романовским методом определителей Фредгольма в случае непрерывного ядра [87,108], в случае вырожденных ядер уравнение изучалось В.А.Щелкуновым [99, 100]. Спектральные свойства оператора двусвязных цепей Маркова приведены в [42, 47], там же рассмотрены условия обратимости, нётеровости и фредгольмовости уравнения Приближенные методы решения уравнений типа Романовского с частными интегралами рассматривались в [56, 79-81, 88]. Следует отметить, что найти решения таких уравнений удается в редких случаях. Из приведенного обзора видно, что задача изучения операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами имеет важное прикладное значение и актуальна. При этом следует заметить, что многие вопросы теории таких операторов и уравнений были не исследованы. 2. В диссертации изучаются условия действия операторов типа Романовского с частными интегралами в пространстве C(D) непрерывных на D = [а,Ь] х [а, 6] функций ив!р = LP(D) (1 < р < со), их непрерывность, регулярность, вид сопряженного оператора. Исследуются нётеровость, фредгольмовость и обратимость операторов и уравнений типа Романовского, рассматриваются их спектральные свойства. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 109 наименований (всего 112 страниц машинописного текста). В главе 1 изучаются общие свойства линейных операторов типа Романовского с частными интегралами в пространствах C(D) и Lp. В §1 формулируется задача теории марковских цепей, решение которой приводит к интегральному уравнению (1) [87, 108]. В §2 проведена классификация операторов и уравнений типа Романовского с частными интегралами в зависимости от вида ядер операторов L, М и N (вырожденные, симметричные и др.) и пределов интегрирования (постоянные, переменные, смешанные). В §3 изучаются свойства операторов типа Романовского в пространстве непрерывных функций. С применением теоремы Банаха о замкнутом графике доказывается теорема 3.1, утверждающая, что если оператор К{ (г = 1,..., 6) действует в пространстве C(D), то он непрерывен. В теоремах 3.2 - 3.3 приводятся достаточные условия действия оператора К{ в пространстве C(D) и формулы для вычисления норм операторов типа Романовского с частными интегралами. Из критерия действия оператора К{ (г = 1,..., 6) в пространстве C{D) вытекает равенство \\IU\\ = \|\|\|\|/(, s, .)\\Ll + \\m(t, s, .)\|\|L, + \|\|n(t, s,., -)1 Далее в §3 изучаются соотношения между пространством С — непрерывных линейных операторов, действующих в C(D), и множе- ствами С\ и ?0, действующих в C(D) операторов CoU + LoU + MoIl + N соответственно. Здесь (Cx)(t,s) = c(t, s)x(t, s). Критерий действия даёт полную характеристику операторов, входящих в С{ (i = 1,0). Из него следует, что ?г- — замкнутое собственное подпространство пространства С. Действие в C(D) операторов СоП, Loll, МоП, iV о П равносильно действию в C(D) операторов С, L, М, N соответственно. Следовательно, замкнутость пространств С\с, Сц, ?im, Cin, действующих в C{D) операторов СоП, Loll, МоП, .ЛГоП, совпадает с замкнутостью пространств ?Ос5 ?ои ?отт ?оп действующих в C(D) операторов С, L, М, N соответственно. Отсюда вытекает, что прямая сумма С{с 0 Cpi Ф Cqm © ?jn (hJ,P,Q ^ {0? 1}) является замкнутым подпространством пространства Cr действующих в C(D) операто-ров R = С о Пг" + L о Пр + М о П9 + N о ПР. Для того чтобы оператор R действовал в пространстве C(D) достаточно, чтобы в C(D) действовали операторы L, М и N. Обратное утверждение не верно. В примере 3.1 показывается, что из действия в C(D) оператора R не следует действие в C(D) операторов СоП, Lon, МоПиЛГоП. Пространство С с естественной операцией композиции операторов в качестве умножения является банаховой алгеброй. В работах [42, 102, 109] показано, что подпространство операторов вида K = C-\-L + M + N является подалгеброй алгебры С, причем композиция таких операторов является оператором с частными интегралами того же типа. Для операторов типа Романовского аналогичное утверждение не имеет места. В теореме 3.8 выделены множества операторов, композиции которых есть интегральные операторы (операторы с частными интегралами). В §4 свойства операторов типа Романовского с частными интегралами рассматриваются в пространстве Lp. В теореме 4.1 устанавливается, что если операторы L, М, N действуют в Lp, то \\Ki\\ciLP) < PILc(LP) + \\М\\с(Ы>) + IMl?(LP) (f = 1,. . ., 6). Регулярность операторов типа Романовского изучается только для операторов вида К\ = К о П, К2 = С + L о П + М о П + iV, K3 = С+ЬоП+МоП+]УоП, IQ = C+L+M+NoU. Регулярность оператора К\ совпадает с регулярностью оператора К = C + L + M + Nn означает действие из Lp в Lq оператора ]Kx[(t, s) = \|ф, s)\x(t, s) + / \l(t, s, г)\|я(т, s)dr + / \m(t,s,cr)\x(t,cr)d(T + / / \|n(t, s,r, сг)\|а:(т, a)drda. Ja J JD В теоремах 4.2-4.3 устанавливаются условия регулярности оператора Ki (г = 2,3,4). Далее в §4 определяются условия существования и вид операторов, сопряженных к операторам К{ (г = 1,...,6). Устанавливается, что если операторы L, М, N действуют из Lp в Lq и регулярны, то оператор К{ (г = 1,..., 7) действует из Lp в Lq и регулярен. При этом К{ = П о L* + М* + iV#, /Г* = П о L# + М* + П о JV#, к; = ь* + п ом* + аг#, /q = l# + по м* + поiv#, К; = П о L* + По М# + iV#, 7* = П о (L* + М# + iV#), где L, M#, iV# — операторы, транспонированные к операторам L, М, N. В главе 2 рассматриваются условия нётеровости, фредгольмо-вости и обратимости оператора / — К{ (г = 1,..., 4) и соответствующего ему уравнения (I — Кг)х = /, где I — тождественный оператор, а К{ (г = 1,..., 4) — операторы типа Романовского с частными интегралами вида К1 = L о П + М + N, К2 = L о П + М + N о П, К3 = L + MoII + iV, К4 = L + М oU + N о П. Здесь под нётеровым (фред-гольмовым) оператором понимается линейный оператор с замкнутой областью значений, у которого размерности ядра и коядра конечны (размерности ядра и коядра конечны и совпадают). В §5 для уравнения х = К{Х + / получены критерии фред-гольмовости в практически важном случае непрерывных в целом и интегрально ограниченных ядер. Установлено, что если ядра /(i,5,r), m(t, s,a) и n(t,s,T,a) непрерывны в целом и интегрально ограничены на D х [а, Ь] и D x D соответственно, то при г — 1,2 оператор I — Ki фредгольмов в C{D) тогда и только тогда, когда в C{D) фредгольмов оператор / — М, а при г = 3,4 — тогда и только тогда, когда в C(D) фредгольмов оператор I — L (теорема 4.1). В условии этой теоремы фредгольмовость уравнения х = К{Х + / (г = 1,..., 4) равносильна при г = 1,2 обратимости уравнения х = Мх + /, а при г = 3,4 — обратимости уравнения х = Lx + /. В теоремах 5.5 и 5.6 показано, что фредгольмовость уравнения х = К{Х + / с вырожденными ядрами г=1 s, где 1{,(ц (г = 1,2,...,р), т^Ь; (j = l,2,...,g), га,** (/г = 1,2,..., г)— непрерывные функции, а системы функций {аг\|г = 1,... ,р} и {bj\j = l,...,g} ортонормированы, равносильна условию D\(t) ф 0 для г = 1,2 и условию D2(s) ф О для г = 3,4, где Di(t) и ?>г(5)— определители -fipi(s) ... 1- fb / bj(a)mic(t,a)dcr (i,k Ja fb fiij(s) = / ai(r)Zj(r,s)dr (г, j el,... ,p). §6 содержит условия нётеровости и фредгольмовости оператора / — К{ (г = 1,... ,4) в пространстве LP(D) (1 < р < сю). Показывается, что в случае непрерывности операторов L, М, N и компактности (L о П) и ЛГоПг+Мо(?оП) в пространстве Lp нётеровость оператора I — Ki (г = 1, 2) (1 — К{ (г = 3,4)) равносильна нётеровости оператора I - М (I — L), а фредгольмовость / - if; (г = 1,2) (/ - К{ (г = 3,4)) равносильна фредгольмовости I — М (I — L). Теорема 6.2 устанавливает условия фредгольмовости оператора I — К{ (г = 1,...,4) в случае вырожденных ядер операторов i, Ми компактности оператора N. В §7 исследуются условия обратимости оператора / — Кг (г = 1,...,4) с непрерывными в целом и интегрально ограниченными ядрами. Установлено, что, если операторы I — L оИ ш I — М обратимы, то обратимость оператора / — К\ равносильна обратимости оператора / — Р, где P = (I-Lo П)"1 о (I - M)~l o(N + Mo(Lo П)). В этом случае операторы (/ — L о П)~ , (7 — М)~ имеют вид гЬ (I-Loll) 1x(t,s) = x(t,s) + l(t,s,T)x(s,r)dr J a fb fb + / / ri(t,s,T,a)x(T,(j)dTd J a J a (I - M) lx(t,s) = x(t,s) + I r2(t,s,a)x(t,a)da, J a где r\ и Г2 — непрерывные в целом и интегрально ограниченные функции. В случае, когда ядра операторов L, М и N удовлетворяют равенствам l(t,s,r) = l(t,r) = ^ВДаг-(т), г=1 q m(t, s, a) = m(s, a) = ^^ mj(s)bj(a),n(t, s, r, a) = О, где /г-,аг- (г = 1,... ,р); rrij, bj (j = l,...,g) — непрерывные функции, а системы функций {аг\|г = 1,...,р} и {bj\j = l,...,g} ортонорми-рованы, обратимость оператора I — Ki равносильна разрешимости матричного уравнения У = T+CY, которое при условии существования обратной матрицы С~1 приводится к виду FY - YC = D, (6) где D = С-1Р, F = С~1. Уравнение (6) есть матричное уравнение Ляпунова. Решение таких уравнений приведено, например, в [10], в операторной форме — в [6]. В [6] установлено, что после приведения матриц F и С к жордановой форме решения уравнения (6) совпадают с решениями одного из уравнений HpY - YFq = 0, (7) (9) XY + HPY - YFq = Dpxq (А ф 0). (10) Здесь Нр — квадратная матрица порядка р, Fq — матрица, транспонированная к Hq, DpXq — известная матрица. Приводятся условия, при которых уравнения (7)-(10) имеют решения. §8 содержит теоремы об обратимости и фредгольмовости оператора / — К{ (г = 1, ...,4) в пространстве Lp. В частности доказывается, что если операторы (L о П)2 и N о Пг + М о (L о П) компактны в Lp, то фредгольмовость оператора I — К{ (г = 1,2) следует из обратимости оператора I — М. Аналогично, если операторы (М о П)2 и N о Пг + L о (М о П) компактны в Lp, то фредгольмовость оператора I — К{ (г = 3,4) следует из обратимости оператора I — L. В § 9 устанавливаются условия фредгольмовости уравнений вида x = KiX + f(i = l,...,4), (11) где К{ (г = 1,... ,4) — операторы типа Романовского. Теория таких уравнений существенно отличается от теории интегральных уравнений Фредгольма. Поэтому важное значение имеют условия фредгольмовости линейных уравнений с частными интегралами и их сведение к уравнениям Фредгольма. Теоремы, приведенные в §9, вытекают из результатов §5 в случае пространства C(D), и § 6 - в случае пространства LP(D). В теоремах 9.1-9.4 устанавливаются условия, при которых для уравнения (11) справедлива альтернатива Фред-гольма. В работе принята единая нумерация параграфов. Нумерация формул своя в пределах каждого параграфа. Формулы имеют двойную нумерацию: например, (3.1) означает, что речь идет о формуле 1 из §3. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах и конференциях в Липецком государственном педагогическом университете (1996-2005 годы), в Елецком государственном университете имени И.А. Бунина, на семинаре в Воронежском государственном университете (руководитель семинара профессор А.Г. Баскаков), на Воронежской весенней математической школе, посвященной 60-летнему юбилею профессора Ю.В. Покорного (Воронеж, 2000), на международных научных конференциях "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения" (Воронеж, 2000), "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений" (Минск, 2001), на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач" (Воронеж, 2002) и опубликованы в работах [12-19, 49-53, 101], из которых [17, 49-53, 101] — совместно с научным руководителем А.С.Калитвиным. В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю А.С.Калитвину за постоянный интерес и внимательное отношение к работе, а также за многочисленные беседы и ценные указания, способствовавшие её написанию. ГЛАВА 1 ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА РОМАНОВСКОГО С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ §1. Задача, приводящаяся к интегральному уравнению типа Романовского В 1932 году известный советский математик В.И.Романовский описал задачу теории марковских цепей [87,108], которая приводится к линейному интегральному уравнению. Пусть X — случайная непрерывная переменная, значения которой содержатся в конечном интервале (а,Ь). Рассмотрим бесконечный ряд опытов с этой переменной и пронумеруем последовательные опыты номерами 1, 2, 3,... . Опыты 1 и 2 образуют начальное звено №0, опыты 2 и 3 образуют звено №1 и т.д. Эти звенья образуют цепь опытов, которую мы назовём непрерывной двусвязной цепью Маркова, если выполняются следующие условия. Значения х, у, которые принимает X в начальном звене, подчиняются дифференциальному закону теории вероятностей Ро(х,у) таким образом, что вероятность того, что X попадает в дифференциальный интервал (х, x-\-dx) в первом опыте, а во втором опыте — в интервал (у, у + dy), задаётся выражением po(x,y)dxdy. Пусть далее (t,x,y) — дифференциальный закон вероятностей того, что X = у в каком-нибудь опыте, причём известно, что в двух предшествующих опытах X = t и X = х. Предположим, что ро(х,у) и (t,x,y) непрерывны для значений х, у, t из интервала (о, Ь). Очевидно, что / (t1x1y)dy = l. Обозначим через ^(х, у) дифференциальный закон вероятностей того, что значения х, у величины X попадут в звено №к, причем результаты всех других опытов предполагаются неизвестными, а через рк(х) — подобный же закон для того, чтобы X = х в k-м опыте при том же условии, что результаты других опытов неизвестны. Эти опыты связаны некоторой зависимостью, которая для другой проблемы впервые была изучена А.А. Марковым. В связи с чем такие опыты В.И. Романовский назвал цепью Маркова. Ряд опытов, связанных в цепь Маркова, играет важную роль в генетике, в некоторых вопросах математической физики и т.д. [42, 47, 87]. Функции рк{х, у) и рк{х) удовлетворяют очевидным соотношениям рЬ рЬ I I Pk(x,y)dxdy = 1, J a J а I Ъ pk(x)dx = 1. Кроме того, теорема сложения вероятностей приводит к следующим рекуррентным формулам: ,ь Рк(х,у)= pk-i(t,x)(j)(t,x,y)dt, (1.1) J a рЬ рЬ рк(х) = / / pk-3{s,t)(f)(s,t,x)dsdt. (1.2) J a J a Положив в уравнении (1.1)

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23546.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.