Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Об итерационных методах решения операторных уравнений второго рода

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Об итерационных методах решения операторных уравнений второго рода

Количество страниц	121

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23605.doc

Содержание	Содержание ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ............................................................................... 4 ГЛАВА 1. Обзор литературы......................................................... 8 § 1. Метод последовательных приближений................................................... 8 §2. Метод ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида х = Ах + f.............................................................. 15 §3. Метод однопараметрического итеративного агрегирования решения линейных операторных уравнений вида x = Ax + f, где оператор A - матрица п - го порядка...................................................................... 21 §4. Метод однопараметрического итеративного агрегирования решения нелинейных операторных уравнений вида x = F(x) + f, где F(x) - нелинейный оператор........................................................................ 27 ГЛАВА 2. Построение приближений, сходящихся к спектральному радиусу и собственному вектору линейного оператора........................... 32 §5. Построение приближений, сходящихся к спектральному радиусу линейного оператора....................................................................... 32 §6. Построение приближений, сходящихся к собственному вектору линейного оператора....................................................................... 41 ГЛАВА 3. Развитие методов построения приближений, сходящихся к точному решению операторного уравнения вида x = Ax + f................... 56 §7. Об одном итерационном методе решения системы линейных алгебраических уравнений вида x = Ax + f с квадратной матрицей A, в случае, когда спектральный радиус матрицы A, больше чем единица................ 56 §8. Получение двусторонних оценок точного решения x* операторного уравнения вида x = Ax + f, в случае, когда спектральный радиус оператора А не обязательно меньше единицы........................................... 65 §9. О некоторых подходах к уточнению границ решения операторных уравнений вида x = Ax + f в случае, когда спектральный радиус операто- 73 ра A не обязательно меньше единицы. §10. "Гибрид" методов ускорения сходимости монотонных приближений к решению x* уравнения вида x = Ax + f и однопараметрического итера- тивного агрегирования................................................................. 86 §11. Об одном варианте метода ускорения сходимости монотонных приближений крешению уравнения вида х = Ax + f.................................. 93 §12. Об одном варианте метода Зейделя........................................... 100 ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................................... 112 ЛИТЕРАТУРА........................................................................... 114 ПРИЛОЖЕНИЕ.......................................................................... 121 Введение При решении широкого класса задач математического анализа, алгебры, экономики требуется находить решение операторных уравнений. В тех случаях, когда процесс отыскания точного решения является затруднительным, на помощь приходят итерационные методы, позволяющие найти приближенное решение с определенной степенью точности. Соответствующий класс задач можно представить с помощью операторного уравнения вида х = Ax+f (1) с линейным или нелинейным оператором А, действующим в банаховом пространстве Е, и свободным членом f из этого пространства. Большое практическое значение приобретает возможность строить приближения un и, соответственно, vn к решению x* операторного уравнения вида (1), такие что un < x * При этом, оказывается, параллельно решаются две важные задачи теории приближенных методов решения операторных уравнений - задача об оценке погрешности приближенного решения, а также задача об априорной оценке относительной погрешности приближенного решения. Использование современных ЭВМ открывает широкие возможности для решения таких задач. Математическое моделирование стало активно внедряться в практику научных и прикладных разработок при исследовании сложных явлений и процессов, происходящих в экономике. Лишь с помощью современных ЭВМ удается проводить численное моделирование достаточно сложных экономических процессов. Существенные прикладные преимущества, проведенные исследования практической скорости сходимости итерационных процессов к точному решению x* операторного уравнения вида (1), возможность контроля результатов в процессе решения и наличие математических обоснований, дают повод обратить серьезное внимание на итерационные методы не только как на объект интересных тео- ретических исследований, но и как на новые подходы к организации и проведению реальных расчетов плановых задач большой размерности и сложной структуры. Актуальность проблемы. Балансовая модель производства является одной из наиболее простых математических моделей. Она записывается в виде системы уравнений, каждое из которых выражает требование равенства (баланса) между количеством продукции, производимой отдельным экономическим объектом, и совокупной потребности в этом продукте. Отсюда происходит название модели. Впервые балансовые модели начали использоваться в СССР в 20-х годах. В более или менее законченном виде теория балансовых моделей была разработана американским ученым В.В. Леонтьевым в середине 30-х годов. Однако в те годы ни уровень развития математической науки, ни качество вычислительной техники не позволили широко распространить балансовый метод. За разработку и внедрение в практику метода межотраслевого баланса группа советских экономистов под руководством академика А.Н. Ефимова в 1968 году была удостоена Государственной премии СССР. В настоящее время большое количество работ посвящается этой модели и ее применению для решения различных задач. Такой интерес к балансовой модели определяется тем, что, как оказалось, эта модель хорошо отображает многие существенные особенности современного производства и в то же время легко поддается расчету. Во многих странах мира балансовый метод используется для экономического анализа, планирования и прогнозирования. В связи с внедрением ЭВМ в научные разработки, значительно повысился интерес к различным численным методам и алгоритмам, реализация которых граничит с проведением вычислительного эксперимента. Потребность в таком подходе к решению задач математической экономики диктуется все усложняющимися запросами практики, а также связана с попыткой создания более рациональных и более общих теоретических моделей для изучения сложных экономических явлений. Активное использование методов численного моделирования позволяет резко сократить сроки научных и конструкторских разработок. Цели работы - приближенное решение операторных уравнений вида (1) в случаях, когда спектральный радиус р{А) оператора A не обязательно меньше единицы; построение итерационных последовательностей сходящихся к решению уравнения (1), к собственным значениям и собственным векторам оператора A; разработка новых методов, повышающих скорость сходимости итераций к решению уравнения (1); разработка соответствующего программного обеспечения, позволяющего реализовать предложенные методы. Научная новизна результатов работы. Развитие теории линейных и нелинейных операторов, действующих в полуупорядоченных банаховых пространствах. Так, например, предложены развития методов решения операторных уравнений вида (1) в случаях, когда у оператора A спектральный радиус r()A не обязательно меньше единицы. Предложен метод построения двусторонних оценок точного решения x* операторного уравнения вида (1) в случае, когда спектральный радиус оператора A не обязательно меньше единицы. Предложены варианты методов, позволяющие строить приближения к решению уравнений вида (1), обладающие высокой скоростью сходимости. Разработано программное обеспечение на языке программирования TURBO PASCAL, реализующее предложенные итерационные методы. Достоверность результатов работы вытекает из математической строгости постановки и решения исследуемых задач, а также из совпадения ряда полученных результатов в частных случаях с известными в литературе. Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных методов решения уравнения (1) при решении конкретных задач математики и экономики. Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов и подготовке учебных пособий. На защиту выносятся следующие положения: итерационный метод решения системы линейных алгебраических уравнений вида (1) с квадратной матрицей A, в случае, когда наибольшее по модулю собственное значение матрицы A, больше чем единица; методы получения двусторонних оценок точного решения x* операторного уравнения вида (1), в случае, когда спектральный радиус оператора A не обязательно меньше единицы, а также подходы к уточнению полученных оценок; синтез методов ускорения сходимости монотонных приближений к решению x* уравнения вида (1) и однопараметрического итеративного агрегирования; метод ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида (1), в случае выбора в качестве начальных приближений векторов, которые ограничивают точное решение x* уравнения вида (1) «сверху« и «снизу»; вариант метода Зейделя, позволяющий строить приближения, сходящиеся к точному решению x* уравнения (1) с помощью метода ускорения сходимости. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, заключения, списка литературы и приложения. В ней принята сквозная нумерация параграфов, для утверждений и формул введена двойная нумерация, включающая номер параграфа и порядковый номер утверждения или формулы в нем. Диссертация изложена на 167 страницах, список использованной литературы содержит 82 наименования. ГЛАВА 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ §1. Метод последовательных приближений Одним из наиболее известных итерационных методов решения систем линейных уравнений является метод последовательных приближений [4] (метод простой итерации). Система уравнений Ах = b тем или иным методом преобразуется к виду уравнения "второго рода": х = Bx + f (1.1) после чего его решение находится как предел последовательности xm+1: +1=Bxm+f, (m = 0,1,2,...) (1.2) где B - матрица порядка (nxri), f - свободный вектор, f gR" , x - неизвестный вектор, xeR", x0 - начальное приближение. Метод (1.2) называется методом простой итерации. Теорема 1.1. (о достаточном условии сходимости метода простой итерации) Если норма матрицы B меньше единицы:B<1, то система уравнений (1.1), при любом свободном члене f eR", имеет единственное решение и итерационный процесс (1.2) сходится к решению x* = x*(f) со скоростью геометрической прогрессии: Качество итерационного процесса удобно характеризовать скоростью убывания отношения погрешности после m итераций к начальной погрешности: Можно гарантировать, что величина Sm т>т= Если существуют постоянные уар, ура такие, что при 1 \х\\в Rn называются эквивалентными. Таким образом, если условие изложенной выше теоремы выполнено для нормы . , то утверждение справедливо относительно любой эквивалентной Определение 1.1. Норма A называется согласованной с нормой x в пространстве, если для каждого x из пространства векторов выполняется Ах <с где с-const. Согласованные с вышеперечисленными нормами в пространстве матриц являются соответственно нормы

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23605.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.