Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Исследование динамики в моделяк теории поля с Бесконечным числом производный

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Исследование динамики в моделяк теории поля с Бесконечным числом производный

Количество страниц	91

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23194.doc

Содержание	Содержание Введение 5 Глава 1. Исследование нелинейного уравнения, возникающего в р-адической теории струн 23 § 1.1 Эффективное действие 7^адической струны... 23 §1.2 Дифференциальное уравнение с бесконечным числом производных... 24 § 1.3 Интегральная форма уравнения ... 26 1.3.1 Лемма об интегральном представлении дифференци- ального оператора ехр(52)... 27 1.3.2 Интегральная форма уравнений движения... 28 § 1.4 Построение решения методом итераций для случая р = 3 . 28 § 1.5 Сходимость итерационной процедуры... 31 Глава 2. Краевые задачи для ограниченных решений уравнения р-адической струны 35 §2.1 Постановка задачи... 35 2.1.1 Свойства ограниченных решений... 37 §2.2 Теорема о существовании решения при нечетных р... 40 §2.3 Многомерные уравнения движения... 4G Глава 3. Исследование нелинейного уравнения, приближенно описывающего тахион на неэкстремальной бране 48 §3.1 Тахион в бозоппои полевой теории... 48 § 3.2 Тахион на неэкстремальной бране ... 49 §3.3 Дифференциальная и интегральная формы уравнения . . 52 §3.4 Приближение для вспомогательного ноля... 54 3.4.1 Результаты численного анализа решения уравнения движения при малых q... 54 3.4.2 Два режима поведения решения... 58 3.4.3 Результаты анализа решения уравнений движения при больших q ... 60 § 3.5 Итерации для двух нолей... 03 3.5.1 Случай гауссова ядра... 63 3.5.2 Учет кинетического члена... 66 3.5.3 Линеаризация системы на больших временах... 68 3.5.4 Асимптотика решения уравнения при больших q . . . 70 Глава 4. Модель взаимодействующих открытой и замкнутой струн 71 §4.1 Эффективный механический потенциал... 72 §4.2 Интерполяция между пертурбативным и непертурбатив- ным вакуумами... 74 §4.3 Интерполяция между двумя пепертурбатпвным вакуума-ми через пертурбативпый... 76 Заключение 82 Приложение 85 §П.1 Объектно-ориентированный подход при построении алгоритма численного решения уравнения... 85 § П.2 Оценка сложности алгоритма ... 87 Список литературы 91 Введение В локальной теории поли имеется хорошо известное соответствие между частицами и полями. Каждой частице, которая характеризуется неприводимым представлением алгебры Пуанкаре, соответствует квантовое поле. Это ноле удовлетворяет классическим уравнением движения. Для скалярной частицы соответствующее уравнение является уравнением второго порядка. Начальные данные задачи Коши подвергаются квантованию, и на этой основе строится квантовая теория поля [1\|-[5]. Заметим, что в последние десятилетия получило развитие представление о том, что, используя классические решения типа солитонных, можно получить описание нескольких типов частиц при помощи одного поля [4, 5, 6]. В 1960-х годах при изучении спектра адронов было обнаружено большое число частиц с линейной зависимостью массы от спина - так называемый реджевский спектр. Вводить повое ноле для каждой из таких частиц представлялось нецелесообразным. Была предложена идея получать весь этот спектр как результат квантования единого объекта -струны, которая описывалась действием Ыамбу-Гато [7, 8]. Последовательная процедура квантования приводила к известным трудностям -теорию не удавалось сформулировать в четырехмерном пространстве-времени и в спектре струны (замкнутой струны) содержалось безмассовое иоле спина 2, а соответствующее возбуждение отсутствовало в спектре адронов. Шсрком и Шварцем [7, 8] была высказана идея рассматривать струну как фундаментальную теорию, из которой следовало получать все известные взаимодействия, при этом безмассовое поле спина 2 отождествлялось с гравитоном. Одна из основных мотивировок такого рассмотрения была связана с тем, что среди известных элементарных частиц, как отмечалось выше, не было безмассовой или очень легкой частицы со спином 2. Другой важной мотивировкой было то, что квантовая гравитация не является в обычном смысле \|1\| перенормирусмой теорией. Предполагалось, что включение дополнительных полей, соответствующих другим струнным возбуждениям, а также появление специфических форм-факторов во взаимодействии, отражающих нелокальность теории струн, поможет решить проблему построения квантовой теории свободной от ультра-фиолетовых расходимостей и включающей квантовую гравитацию. В дальнейшем это и было реализовано для суперструн [7, 8]. Одна из первых трудностей, которая возникает на пути построения теории струн, связана с тем, что в спектре бозонной струны имеется возбуждение, соответствующее "частице" с отрицательным квадратом массы, т.е. бозонная струна содержит тахион. Это утверждение относится как к открытым, так и к замкнутым бозоппым струнам. Поскольку тахион приводит к неустойчивости, то, в свое время, это рассматривалось как существенный недостаток бозонной струпной теории. Для борьбы с этой неустойчивостью было предложено рассматривать фермионную струпу и брать в пространстве ее возбуждеиий сектор, в котором нет тахиона (аналог такого сектора нельзя выделить в бозои-ной струне). Это так называемый GSO+ (Глиози, Олив, Шерк) сектор. В этом секторе струнные возбуждения, упорядоченные по массе, начинаются с безмассового векторного ноля и безмассового сшпюрного поля. В GSO~ секторе возбуждения начинаются с тахионного ноля с квадратом массы равным (—1/2) (в единицах натяжения струны а'), т.е. тахиона. В рамках как бозонной, так и фермионной теории струи, была предложена схема вычисления амплитуды рассеяния струнных возбуждений. Однако заметим, что эта схема не следовала напрямую из лагранжиана, как это имеет место в обычной квантовой теории поля [1]. Эта схема использовала интуитивные представления, которые в дальнейшем оформились в так называемый первичный подход к теории струн, о распространении струны как мирового листа. Амплитуда перехода в этом подходе, в соответствии с принципами квантовой теории, определялась суммированием по всем возможным конфигурациям мирового листа с весом пропорциональным экспоненте от действия струны. При этом амплитуды, соответствующие различным возбуждениям струны, задавались с помощью так называемых вершинных операторов. В дальнейшем была предложена полевая теория струны в специальной калибровке, так называемой калибровке светового конуса, в которой задавался исходный лагранжиан, и по нему, но правилам, аналогичным правилам Фейммана, вычислялась амплитуда рассеяния [7]. В нолевой теории струн обычное соответствие частица<-нюлс замепя- ется соответствием струна->бескопечный набор nojieii. Этот набор полей образуют поля с массами и спинами, получающимися в результате квантования исходиoii струны. Другими словами, действие S в струнной теории ноля зависит от бесконечного набора локальных полей А — {фп(х)}, т.е. S[A] = ?[{п(.т)}]. Отметим, что формализм струйной теории строится так, что координаты х, от которых зависят локальные поля в действии S являются координатами центра масс струны. В конце 1980-х годов Виттеном [9] из общего принципа калибровочной инвариантности было предложено ковариаитное нолевое бозонное струнное действие S[A], в котором полевой переменной является произвольный вектор состояния первично-квантованной струны. Отметим, что это действие было предложено для открытой бозонной струны. Из действия S[A] автоматически получаются действия для всех полей фп(х). Тахиону в этом наборе соответствует скалярное поле ф с квадратом массы Действие открытой бозонной струнной полевой теории в подходе Вит- тена имеет вид S = — < Л, QD А » +— « Л, Л, Л » 2#о 3«7о здесь струпное поле А = А[Х((т);с(сг),Ь(а)] зависит от координат струны Х>1(а) и гостовского с(а) и антигостовского Ь{а) полей, ^о ~ безразмерная постоянная описывающая взаимодействие струн, Qq - БРСТ заряд вида где Тх(а) и Тьс{а) - тензоры энергии-импульса для координат струны и гостов. Здесь используется конформное представление для полилинейных функционалов <С •, •,... ;§>. Если ограничиться только тахионными модами ф(к) в разложении струнного поля, то имеем Г d2Gk J (2tt)2G где вершинный оператор имеет вид V(k,w)=:c(w)e2ik>'x>1{w) : Здесь w - комплексная переменная. Можно показать, что в этом случае виттеновское действие сводится к виду здесь ф(х) - Фурье образ ф(к), а' - натяжение струны, 7 ~ число (7 = зТз^' хаРактсР1Юе Для описания взаимодействия локальных мод в полевой теории [10] и Оператор Даламбера определяется где А = 4"2 + • • • + Vt-----оператор Лапласа. (Ух, uxd-\ По аналогии с ситуацией с JV-образиым потенциалом в локальной теории поля естественно предположить, что в теории бозонноп струны, в которой имеется тахион, приводящий, как указывалось выше, к нестабильности, может существовать другой вакуум отличный от пер-турбативного, в окрестности которого тахион отсутствует. Вопрос о существовании такого вакуума в теории струны связан с существованием специальных вакуумных решений. Это предположение высказали в 1987 году Костелецкии и Самуэль [10] и проверили его численными вычислениями, ограничиваясь простейшим приближением. В последние несколько лет велась активная работа по исследованию нетривиальных (ненулевых) вакуумных, т.е. не зависящих от времени н пространственных координат, решений в струнной теории поля. К настоящему времени гипотеза о существовании стабильного вакуума подтверждена многочисленными вычислениями [11\| - показано, что в кова-риантной теории открытых бозоппых струн имеется непертурбативный стабильный вакуум и, естественно, спектр струны меняется в окрестности нового вакуума. Это явление аналогично хорошо известному явлению Хиггса [2]. Интересно отмстить, что большинство таких исследований проводится с помощью существенного использования численных вычислений [11, 12, 13, 14]. Представляет интерес нахождение классических решений, интерполирующих между различными вакуумными решениями. Подчеркнем, что в отличие от аналогичной задачи по изучению решении солитошюго или кинкового типа в локальной теории поля, где обычно рассматривается интерполяция по пространственным переменным [4, 5], в струнах в связи с задачей о распаде D-бран рассматривается интерполяция по При исследовании меисртурбатпвных свойств струны оказалось, что существуют решения, в которых поля сосредоточены на гиперповерхностях, т.е. решения типа солитопов в обычной локальной теории поля. Такие решения были названы ?)-бранамн. Имеется аналогия между доменными стенками [16, 17( и D-бранами. Выяснилось, что поскольку D-браны - объекты теории струны, локализующие на своей мировой поверхности концы открытых струи, то одним из способов описания динамики таких брам является рассмотрение струны с граничными условиями, заданными па этих гиперповерхностях. Точнее, если рассматривать струну, на (р -f 1) пространственно-временную координату которой наложены условия Неймана, а на остальные координаты граничные условия Дирихле, то Дирихлс-брана (jD-брана) будет той самой (р + 1) мерной гиперповерхностью, на которой находятся концы струны. При этом обычные струнные возбуждения, например тахион, находятся на бранс. Это связано с тем, что в результате наложения условий Дирихле но (d— \p+ 1]) переменной координаты центра масс струны оказываются фиксированными по этим направлениям и поэтому в действии S[A] возникают ноля, зависящие только от первых (р + 1) координат х. Задача нахождения решений, интерполирующих между различными вакуумамн, в струнной теории поля имеет две существенные специфики но сравнению с аналогичной задачей локальной теории поля. Прежде всего, как отмечалось выше, полевая теория струн соответствует бесконечному набору локальных полей {<рп(х)}. Во-вторых, взаимодействие, получающееся для этих полей, нелокально в том смысле, что соответствующие уравнения движения содержат бесконечное число производных. Заметим, что в отличие от некоммутативной теории поля, где имеется бесконечное число пространственных производных, в струнной теории поля присутствуют пространственные, временные и смешанные производные [18]. Интерполяция между различными вакуумами изучалась в [19] в рамках приближения, в котором в качестве действия для тахиона рассматривалось действие Борна-Инфельда (20]. Однако, получение этого действия непосредственно из струнной теории поля является трудной задачей. По-видимому, это действие получается иитегрированием исходного струнного полевого действия по бесконечному набору нолей с высшими спинами [21]. Переходы между различными вакуумами в струнной теории, т.е. между вакуумами с которыми связана определенная картина бран, можно изучать также со стороны гравитации. При таком подходе эти переходы описываются специальными решениями, так называемыми s-бранами [22, 23]. Локализация полей на брапах в рамках гравитационного подхода активно изучается в современной литературе [17]. Соответствующие квантовые эффекты рассматривались, например в [24]. Задача о построении решений описывающих переходы между различными вакуумами непосредственно в струнной теории поля в рамках специальной итерационной процедуры недавно рассматривалась в работе А. Сена [25]. В этом рассмотрении учитывалось, что у вакуумных решений несколько компонент локальных нолей {(рп} могут быть отличны от нуля. Если ограничиться случаем одного скалярного тахионного поля ф(х) получаются уравнения вида (а'П + 1) е-2«'1п(7)° ф = _ф2 (0.1) здесь как и выше а' - натяжение струны, 7 ~ число (7 = ~^д)- Переменная Ф связана с исходным тахионным полем ф нелокальным преобразованием ф = е-«'Н1)°ф Если оператор в правой части понимается в виде формального ряда ^У (о.2) то приведенное выше уравнение движения является дифференциальным уравнениям с бесконечным числом производных. Оно описывает динамику пространственно-однородного тахионного поля в теории струи в пренебрежении вкладом остальных полей. Для определенного класса интегрируемых функций оно записывается как нелинейное интегральное уравнение. Это уравнение удобно привести к каноническому виду, сосредоточив все имеющиеся в теории параметры в одном параметре е-аФ = Ф2 (0.3) Оказывается это уравнение в пренебрежении кинетическим слагаемым, сводится к нелинейному уравнению, возникающему в р-адическоп теории струн [26]. Напомним, как получается р-адпческая струна. Хорошо известно, что если с струпной теории рассмотреть рассеяние тахиона, то получается амплитуда Вснециапо [7, 8], которая представима в виде бета функции. Если эту бета функцию заменить />-адической бета функцией, то получится амплитуда рассеяния тахиона в /;-адичсской струне [26, 27]. Эту амплитуду можно получить также из эффективного действия, которое называется эффективным действием 7>адической струны [28]. Уравнение р-адичсской струны в приближении одного скалярного поля ф(х) имеет вид [27, 28] где как и выше ? - оператор Даламбера. Оператор р~~2° как и оператор е шп;и появившейся выше в струнной теории поля можно представить в виде ряда, аналогичного (0.2) Z 74. Как видно из приведенного выше соотношения рассматриваемое уравнение движение содержит производные всех четных порядков. Получаемые уравнения являются уравнениями нового класса, они отличаются от уравнений, ранее рассматривавшихся в математической физике [29], и их исследование представляет большой интерес. Полевые теории с бесконечным числом производных естественным образом связаны с нелокальными квантовыми теориями поля, изучающимися в связи с попытками избежать ультрафиолетовых расходимо-степ, а также в связи с теорией струн [30, 31]. Проблема постановки задачи Кошп для таких уравнении недавно исследовалась Мюллером и Цвнбахом [18]. Было показано, что наличие бесконечного числа производных приводит к ограничениям на возможное множество начальных условий. Отметим, что несмотря на наличие бесконечного числа производных, решение соответствующего линейного уравнения, в классе функций, допускающих преобразование Фурье, зависит не от бесконечного числа произвольных функций (или констант, для решений зависящих от одной переменной), а только от двух произвольных функций пространственных переменных, как это имеет место для обычного уравнения Клейна-Гордона [4]. Действительно, если решать линейное уравнение f(a)tp = 0 при помощи преобразование Фурье, то число произвольных функций пространственных переменных равно числу корней уравнения /(—/г2) = 0. В частности, при и 0 < Л < 1 имеем два корня При Л > 1 получаем тахион. Заметим однако, что для пространственно-однородных конфигураций, т.е. случая, когда полевые функции зависят только от времени, исходное уравнение движения можно переписать в виде свертки с гауссовым ядром 118, 27, 42], которая после перерастяжки (ty/2\np) принимает вид Таким образом на пространственно-однородных конфигурациях исходное уравнение переписывается в интегральной форме, которая удобна как для анализа так и для численных вычислений. Численный анализ дифференциальной формы уравнения как правило основывается на пренебрежении вкладом высших производных [18], в то время как анализ интегральной формы уравнения основывается на стандартных методах вычисления квадратур [49, 50]. Сравнение динамики подчиняющейся соответствующим дифференциальным уравнениям в пренебрежении вкладом высших производных и тем же уравнениям, записанным в интегральной форме, недавно проводилось в серии работ, в частности в [18, 39, 40, 43]. Заметим также, что интегральное уравнение допускает вообще говоря более широкий класс функций. Интерес к задаче о построении нестационарного, пространственно-однородного классического решения, интерполирующего между различ- ными вакуумамп [G7]-[80], связан с возможными применениями в космологии. Л именно, А. Сен [19J предложил отождествлять тахион в бозон-ной струнной теории с космологическим скалярным полем. Поиску и исследованию решений нелинейных уравнений такого типа посвящено много работ. В частности, Бсккп, Фрейдом, Олсеном и Впттеном [27] было численно построено зависящее от времени решение типа кинка, интерполирующее между двумя нетривиальными вакуума-ми теории 7>адической струны 1 ,! р 2^ф — ф* (0.4) для случая р — 3. В дальнейшем эти вычисления были проверены с более высокой точностью в работе [18]. В работе [41] с использованием было численных оценок была продемонстрирована сходимость соответствующего итерационного процесса. Наконец, в [42] было проведено полное теоретическое доказательство существования решения для любого нечетного р, что окончательно подтвердило гипотезу, выдвинутую первоначально в [27]. Уравнение (0.3) имеет два вакуумных решения: пертурбатпвный вакуум фо = 0 и нетривиальный вакуум фо = 1. В недавней работе Мюллера и Цвибаха [18] проведено исследование существования решения уравнения (0.3), интерполирующего между вакуумами фо = 0 и фо = 1. Показано, что таких монотонных решений не существует. Этот результат связан с кубическим характером взаимодействия. Было естественно рассмотреть аналогичную задачу для тахиона фермионпой струны, в

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23194.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

29.04.24 Результаты оценки психологических детерминант гражданской идентичности учащихся старших классов

29.04.24 Программа формирования гражданской идентичности старшеклассников

29.04.24 Психологические основания для разработки программы формирования гражданской идентичности старшеклассников

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Найти готовую работу

Обратная связь:

Вход для партнеров

© 2006-2022. Все права защищены. Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.