Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Сравнительный информодинамическии анализ классический решеток и 5игексагональной мозаики Дюно-Каца

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Сравнительный информодинамическии анализ классический решеток и 5игексагональной мозаики Дюно-Каца

Количество страниц	160

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23279.doc

Содержание	Содержание Введение и постановка задач...5 Глава I Элементы математической кристаллографии. Квазикристаллы... 7 § 1.1 Понятие о правильных точечных системах. Разбиение Вороного - Делоне...7 § 1.2 Геометрическое представление федоровских групп...16 § 1.3 Квазикристаллические симметрии...21 Глава II Информодинамическая методика анализа паркетов, мозаик...32 § 2.1 Древесно-графовое представление решеточных систем. Математические свойства...32 § 2.2 Теория перечисления древесных графов. Вероятностные и статистические свойства ДК. Задача перколяции...35 § 2.3 Симплициальные декомпозиции древесных графов. Фрактальность...39 Глава III Информодинамика плоских параллелограмматических решеток...43 § 3.1 Информодинамика квартетных параллелограмматических решеток...44 § 3.2 Информодинамика плоской симплекс решетки...57 § 3.3 Информодинамика сотовой структуры...68 Глава IV Симметрия, организация, фрактальность классических ДК в информодинамическом представлении...75 §4.1 Сравнительный информодинамический анализ сотового и квартетного древесных графов...76 § 4.2 Обсуждение информодинамических результатов для плоского симплекс-ДК...84 § 4.4 Фрактальные информодинамические характеристики классических ДК ...90 3 Глава V Информодинамика бигексагональной мозаики Дюно-Каца...98 § 5.1 Бигексагональная мозаика и ее ДК...99 § 5.2 Перечисляющие полиномы, их вероятностная форма для бигексагональных ДК...103 § 5.3 Информодинамика бигексагональной мозаики Дюно-Каца...106 § 5.4 Фрактальность бигексагональной мозаики Дюно-Каца...109 Заключение...115 Выводы...119 Литература...121 Приложение...129 Приложение к Главе III...130 Приложение к Главе IV...150 § П.4.3 Симметрия и организация классических плоских ДК ...153 Приложение к Главе V...160 § П.5.5 Сравнение симплекс — организации и бигексагонального упорядочения в представлении ДК...166 Сокращения, принятые в диссертационной работе Чудновой О.А. /_ 11111 С — потоки пересечения границ сеток 2. ДК - древесные графы Кейли 3. 1111 - перечисляющий полином 4. ВГШ — вероятностный перечисляющий полином 5. КПП — классический перечисляющий полином 6. ПС - перечисляющая структура 7. протоПП - протополином 8. ДКП - древесные графы Кейли на мозаиках Пенроуза 9. g-ромб — золотой ромб 10. (•) - точечный контакт 11. R- реберный контакт 12. СкМ — скорлупа Мандельброта 13. ДСЧ — датчик случайных чисел 14. Бигекса- ДК - ДК бигексагональной мозаики Дюно — Каца 15. — квартетная решетка s. О - 16. \_/ — сотовая решетка 17. /6\ -симплекс-решетка ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В наших работах [85, 86, 89, 101, 104, 107-112] и ряде диссертаций [32, 49, 61] был развит информодинамический метод анализа древесно-графовых систем Кейли. Первичным и основным объектом в информодинамическом методе является отображение ячеистых, решеточных систем в древесные графы. Причем, эти древесные графы Кейли (ДК) являются координационными. Вершины ДК соответствуют ячейкам, а ветви ДК описывают отношения смежности между данной ячейкой и соседними. Отношения координации на ДК обладают определенным свойством эстафетности. Связи, ветви ДК, образовываются только с ячейками древесных координационных сфер, направлены вперед. Тем самым, ДК можно построить для любой ячейки, решетки, а сама древесно-графовая структура будет обладать полярной симметрией. Общность древесно-графового представления состоит как раз в том, что мы можем характеризовать не только ячейки, координатную компоненту, но и отношения смежности между ними, чего нет в обычных решеточных системах. В работах [101, 102, 104, 106, 108-110] и диссертациях [32, 49, 61] подробно излагается алгоритм построения ДК и обсуждаются топологические, алгебраические, геометрические и вероятностные свойства древесных графов. По нашему мнению, координационные древесные графы Кейли являются более общими, чем представление решеток в координатном пространстве. Вполне естественно напрашивается сопровождение древесно-графого подхода грамматическими функциями. Причем алфавит может иметь несколько объектных и координационных уровней, то есть [mqxnp], где за q обозначаются виды ячеек, а за/? — типы контактов. В случае планарных решеток, контакты могут быть точечными и реберными. Объектный алфавит может иметь 3 уровня рассмотрения: атомарный, «молекулярный» и третий - словарный или фразеологический. Например, для мозаики Пенроуза первый уровень — пара золотых треугольников, затем — пара золотых ромбов, и, наконец - пара десятиугольников, с внутренним заполнением только соответствующими золотыми ромбами. Для бигексагональной решетки первый уровень — это гекса-ромб, словарный уровень — гекса-звезда, а фразу образуют объединения двух гекса-звезд с минимальным пересечением по гекса-ромбу. Синтез соответствующих квазикристаллических покрытий легче осуществляется на высоких рангах алфавита, где будет действовать простая алгебра грамматики [32,101-102, 110]. Древесно-графовый метод отображения ячеистых систем получил широкое развитие в теории перечисления графов. Если избран древесно-графовый подход к отображению ячеистой системы, то автоматически следует за ним теория перечисления графов. Посредством простых нормировок можно получить ВПП. Так как любое ДК в принципе имеет бесконечную этажность, то изучение этих графов проводится в рамках теории протекания, перколяции, например - распространение ВПП статистик в направлении «центр«-»периферия». И, наконец, третий уровень — функциональный, он основан на построении скалярных сверток информодинамических функционалов различного вида, в которых и изучается в окончательном виде задача собственной пер-коляции на ДК. Разработанный нами метод был применен к самым разнообразным ячеистым и решеточным системам [32,49,61, 80, 110]. Подробно рассмотрены квазикристаллические симметрии, особенно мозаика Пенроуза [32, 110]. Причем исследование квазикристаллической мозаики Пенроуза было проведено двумя способами: один из них основан на координационных древесных графах Кейли [102, 123], а другой - на порождающих графах, в основе которых лежит принцип подобия [32, 108]. Последняя методика решает не задачу замощения покрытия, разбиения, а морфогенетического плотного роста из затравочного фрагмента. Чрезвычайно важным обстоятельством является выяснение параллелизма между квазикристаллической симметрией и фрактальностью. Древесные графы обоих типов автоматически фрактальны, точнее подчиняются некоторому принципу стохастического подобия, и в то же самое время являются симплициальными комплексами. Фрактальность и симплициальность могут обсуждаться как родственные понятия, хотя на это раньше не обращали внимания. Таким образом, исследование фрактальных свойств в нашей методике является вполне естественным и органичным. В настоящей диссертации ставится и решается задача о применении древесно-графового информодинамического метода к классическим кристаллографическим решеткам. Мы рассматриваем плоские параллел(>грамматические решетки, которые и подлежат подробному информодинамическому анализу. Из квазикристаллических объектов, очевидно, надо взять наиболее близкую систему к гекса-симметрии, точнее к плоской симплекс-решетке. В R2 мы остановились на бигексатональной мозаике Дюно-Каца. Содержательная часть отражена в главах III — V, где наряду с теоретико-вероятностными, информодинамическими характеристиками рассмотрены и фрактальные характеристики обсуждаемых решеток, ДК. Тем самым, главная задача диссертации — показать, что дает нового наш метод в приложении к известной математической кристаллографии. Однако имеется и принципиально новый аспект, ориентированный на квазикристаллическую симметрию, из которой мы выбрали наиболее минимальную квазикристаллическую мозаику. В этом аспекте полученный результат, Глава V, по информодинамическому анализу бигексагональной мозаики Дюно-Каца и ее фрактальности являются новыми. ГЛАВА I ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КРИСТАЛЛОГРАФИИ. КВАЗИКРИСТАЛЛЫ § 1.1 Понятие о правильных точечных системах. Разбиение Вороного - Делоне Свойства окружающих нас веществ зависят не только от сортов составляющих их атомов, но и от их взаимного расположения — от структуры вещества. Атомы одного сорта, но по-разному расположенные, могут давать вещества с прямо противоположными свойствами. Алмаз и графит состоят из одних и тех же атомов углерода. Но углероды в этих структурах расположены по-разному. Если в структуре алмаза ближайшее окружение (первая координационная сфера) атома углерода - тетраэдр, то в структуре графита - треугольник. Эта разница и обусловливает прямую противоположность в ряде свойств этих веществ (твердость, прозрачность и т. д.) [14, 59]. Заметим, что второму, геометрическому, аспекту обычно уделяется меньше внимания, чем следовало бы, а именно он и лежит в основе теории федоровских групп-универсального подхода для описания полностью упорядоченных систем [14, 20-21]. Как же возникают правильные системы? Будем исходить из предположения, что вещество состоит из бесконечного числа ничем не различимых взаимодействующих друг с другом дискретных частиц (например, атомов или конечных связных совокупностей атомов), и эти частицы имеют возможность расположиться так, чтобы достичь минимума энергии. Тогда, если какая-либо частица окружена другими такими же частицами согласно этому принципу, то и все остальные частицы должны иметь точно такое же окружение. Множество неразличимых частиц, в котором каждая частица равно окружена другими такими же частицами, называется правильной системой. Вообще говоря, система точек называется правильной, если для любой пары ее точек существует движение пространства, совмещающее первую со второй и всю систему саму с собой. Точки правильной системы имеют одинаковое окружение [22]. Описание многообразия правильных систем - важнейшая задача геометрической кристаллографии. На сегодняшний момент кристаллофафия решила эту проблему благодаря теоретико-групповому подходу. Из определения правильной системы следует, что какие бы две ее частицы ни взять, первую частицу можно всегда совместить, со второй «смещением», переведя всю правильную систему саму в себя. Движение, совмещающее геометрическую фигуру или точечное множество с собой, называют симметрией или, используя математическую терминологию, автоморфизмом. Таким образом, каждая правильная система обладает набором автоморфизмов, который и определяет ее симметрию. Полную совокупность преобразований, совмещающих правильную систему саму с собой, называют федоровской группой [14]. Преобразование симметрии — это взаимнооднозначное отображение объекта на себя, при котором не меняются расстояния между его точками. Заметим, что в общем случае в качестве объекта удобно рассматривать все пространство со всеми содержащимися в нем точками. Простейшим преобразованием симметрии является тождественное преобразование, при котором все точки пространства остаются на месте. Преобразование симметрии, при котором хотя бы одна точка пространства остается на месте, называется точечным или поворотом. В общем случае любое преобразование симметрии состоит из поворота пространства вокруг его некоторой точки и параллельного переноса на некоторый вектор. Каждому преобразованию симметрии соответствует обратное преобразование, возвращающие все точки пространства в исходное положение. Последовательное выполнение двух преобразований симметрии дает снова преобразование симметрии. Последовательное выполнение ряда преобразований симметрии обладает ассоциативностью. Т.е. полное преобразование существования единичного и обратного элементов, а также полная совокупность преобразований симметрии любого объекта образует группу, которая называется группой симметрии этого объекта. Группы симметрии могут состоять как из конечного числа преобразований симметрии, так и из бесконечного их числа. Число преобразований симметрии элементов группы в конечной группе называется ее порядком. В конечные группы входят группы симметрии многогранников, бесконечных — группы симметрии шара, плоскости, пространства. Если преобразования симметрии, образующие группу общего вида (т.е. состоят из поворотов и переносов), то повороты сами по себе тоже образуют группу. Группы поворотов называют также точечными группами, поскольку при любом повороте хотя бы одна точка пространства остается на месте [3, 14, 20-21, 36, 44, 97, 100]. Заметим, что вектор движения может быть разным по длине для разных точек пространства, т. е. в общем виде он определяется неоднозначно. Но для конкретного преобразования симметрии можно указать однозначно определяемый вектор. Этот вектор связывает ближайшие эквивалентные точки, т. е. переходящие друг в друга при данном преобразовании. Все точки пространства, сдвигающиеся на такой вектор, образуют подпространство, которое называется элементом симметрии для данного преобразования симметрии. В случае точечных преобразований симметрии этот вектор равен нулю. Для точечных преобразований вектор силы, действующей на любую точку элемента симметрии, принадлежит этому элементу симметрии. Чтобы увидеть, как действуют общие преобразования симметрии, нужны объекты бесконечных размеров. Среди правильных систем наиболее простыми такими объектами являются решетки. Согласно «Эрлангенской программе» Ф. Клейна, одной из проблем является соответствие геометрии и группы преобразования. В группу преобразования входят: движение, вращение, трансляция точечных и пространственных групп, в основе которых лежат минимальные трансляции Браве. С помощью групп преобразования движения, изучаются кристаллические формы, симметрии. Для описания внешней формы кристалла, или его макросимметрии, необходимо знать конечные группы движений. Изучение внутренней структуры (микросимметрии) опирается на знание бесконечных групп движений [14, 22]. Эмпирически установлено, что микросимметрия кристалла связана лишь с группами, имеющими конечную фундаментальную область. Изучение действия групп преобразований зачастую сводится к фундаментальной области: заранее известная фундаментальная область, во многом предопределяет группу и ее свойства [22]. Что же такое фундаментальная область? Две произвольные точки правильной системы называются эквивалентными относительно группы движений, если в ней имеется движение переводящую одну точку в другую. Все точки пространства распределяются по непересекающимся классам точек, эквивалентных относительно группы. Множество, в которое из каждого класса эквивалентных точек входит только по одному представителю, называется фундаментальным. Для дискретной группы преобразований фундаментальное множество можно выбрать в виде точечной области — фундаментальная область. Фундаментальная область и ее образы покрывают все пространство без пропусков. Обозначив фундаментальную область и ее образы как хи х,, данное свойство можно записать в виде где П — пространство покрываемое фундаментальными областями. Образы фундаментальной области, покрывая пространство, не накладываются друг на друга своими внутренними точками, т.е.: В геометрии такое покрытие пространства без пропусков и взаимного наложения называется а - разбиением пространства. Таким образом, для любой дискретной группы движений, ее фундаментальная область в совокупности со своими образами относительно этой группы составляет разбиение [22]. Раз есть наличие а - свойств, можно ввести меру области (площадь, объем, диагональ и т.д.). Фундаментальная область обладает следующими свойствами: 1. Фундаментальная область должна быть, прежде всего, выпуклой. Причем, она не обязательно должна быть правильным многоугольником. 2. Площадь и объем фундаментальной области должны быть минимальны. 3. Внутри фундаментальной области может существовать только единственная точка данной системы, являющаяся барицентром этой области, т.е. фундаментальная область центральна. Существует два класса разбиения пространства: I. Разбиение Вороного на полиэдры Вороного - этот способ многим ученым известен как построение Вигнера - Зейтца. П. Разбиение Делоне с точки зрения алгоритма построения это разбиение плоскости /?2 на треугольники - задача триангуляции. Данное разбиение является одним из примеров а — разбиения[13, 14, 21, 54, 117]. Для этих целей используется образ «пустого шара». Рассмотрим подробнее разбиение Вороного - Делоне [13,21, 22]. Классические результаты Вороного и Делоне получены для системы точек (центров). Прежде чем описывать сами результаты, определим основные геометрические понятия. Объектом исследования является система точек, произвольно расположенных в пространстве. Единственным требованием к системе будет только то, что точки обособлены одна от другой, и то, что в ней нет бесконечно больших пустот. Делоне сформулировал это требование следующим образом: а) можно указать некоторый конечный радиус г (пусть даже очень маленький), такой, что внутри сферы этого радиуса, построенной вокруг любой точки системы, нет других точек, принадлежащих данной системе; б) можно указать другой конечный радиус R (пусть даже очень большой), такой, что внутри сферы этого радиуса, расположенной в любом месте нашей системы, всегда найдется хотя бы одна точка системы. Никаких других ограничений нет. Точки могут располагаться как упорядоченно, так и случайно. Подобные системы получили название (г, R) — системы. Обозначим такую систему как {А}, поскольку наши точки обычно являются центрами атомов. Сами точки системы также будем называть атомами или центрами. Система безгранична и заполняет собой все пространство [20-21]. Разбиение Вороного. Для любого центра системы {А} можно указать область пространства, все точки которой ближе к данному центру, чем к любому другому центру системы. Такая область называется многогранником Вороного или областью Вороного. В трехмерном пространстве область Вороного любого центра системы {А} есть выпуклый многогранник [54]. Соединим центр отрезками прямых со всеми другими центрами системы и проведем через середины этих отрезков перпендикулярные плоскости, т.е. построим плоскости Вороного, связанные с центром. Каждая их них делит пространство на два полупространства. Точки одного из полупространств лежат ближе к данному центру, чем к соответствующему соседу. Пересечение всех полупространств, содержащих центр, дает искомую область. Она является, многогранником, поскольку ограничена плоскостями. Этот многогранник является выпуклым, так как по построению он целиком лежит по одну сторону от плоскости любой из его граней. Двумерный многогранник Вороного показан на рис. 1.1.1. Плоскости Вороного, которые породили грани у данного многогранника, называются образующими плоскостями Вороного, а соответствующие центры системы -геометрическими соседями данного центра. Среди геометрических соседей полезно различать основные и неосновные. Для первых - середина отрезка, соединяющая его с центральным, лежит на грани многогранника Вороного. Для вторых — вне грани и, следовательно, вне самого многогранника. Рис. I.J.I. Многогранник Вороного для центра двумерной системы. Несколько ближайших плоскостей Вороного ограничивают вокруг него область пространства, все точки которой ближе к данному центру, чем к любому другому центру системы. Плоскости Вороного центра с соседями 1-5 образуют грани многогранника Вороного. Эти соседи называются геометрическими соседями центра. Из них 1-4 являются основными, а 5 — не основным, для него точка пересечения отрезка 5 со своей плоскостью Вороного лежит вне многогранника (точках). Плоскость Вороного от соседа 6 проходит через вершину многогранника Вороного, но не образует грани. Центр 7 не образует грани у данного многогранника, его плоскость Вороного отсечена от центра более близ- кими плоскостями. На рис. 1.1.1 таковым является сосед с номером 5. Основные соседи дают, как правило, самые большие грани многогранника. Отметим, что некоторые плоскости Вороного могут проходить через вершины или ребра многогранника, не создавая граней. Эти плоскости не являются образующими, однако при небольших смещениях центров системы они могут породить грани. Такие плоскости называются вырожденными плоскостями Вороного. Реально они имеются только в специфических системах, в частности, в кристаллических решетках [54]. Многогранники Вороного, построенные для каждого центра системы {А}, дают нам мозаику многогранников, которая называется разбиением Вороного. На рис. 1.1.2 изображена двумерная мозаика многогранников Вороного. Б. Н. Делоне сформулировал [20-21, 54, 113] основные свойства этой мозаики в виде теоремы, которую можно назвать теоремой о разбиении Воро- Рис 1.1.2. Двумерная иллюстрация разбиения Во- ТЕОРЕМА 1. Многогранники роного системы точечных центров. Многогран-Вороного системы {А} не входят Друг ники Вороного покрывают пространство без щелей и наложений. в друга и заполняют пространство, будучи смежными по целым граням. Разбиение пространства на многогранники Вороного однозначно определяется системой {А} и, наоборот, однозначно ее определяет [21, 54, 117]. Никакая точка пространства не может одновременно быть ближе сразу к двум центрам системы. В крайнем случае, она лежит на одинаковом расстоянии от двух или нескольких центров (в таком случае она принадлежит общей границе нескольких многогранников Вороного). Из этого следует, что в мозаике Вороного не может быть щелей, т. е. точек, не принадлежащих никакому многограннику Вороного. Никакая точка пространства не может не быть ближе к какому-то центру системы. Из разбиения данной системы видно, что никакая точка пространства не может при одном рассмотрении быть ближе к одному центру системы, а при втором оказаться ближе к другому. Обратное утверждение, что мозаика многогранников Вороного однозначно определяет систему центров, следует из того, что каждый многогранник имеет свой единственный центр, относительно которого он построен. Важным следствием теоремы является то, что ребра, и вершины мозаики Вороного образуют односвязную и совершенную, без «мертвых концов», систему. Многогранники контактируют по целым граням, и по целым ребрам, в центре каждого многогранника присутствует атом, являющийся барицентром. Эта система называется сеткой Вороного[21,54]. Приведем свойства разбиения Вороного: 1. центры системы {А}, многогранники Вороного которых сходятся в общую вершину, лежат на одинаковом расстоянии от этой вершины; 2. центры системы {А}, многогранники Вороного которых имеют общее ребро, лежат на одинаковом расстоянии от прямой, проходящей вдоль этого ребра; 3. центры системы {А}, многогранники Вороного которых имеют общую грань, лежат на одинаковом расстоянии от плоскости этой грани. 4. в каждой вершине разбиения пространства на выпуклые многогранники встречается не менее четырех многогранников, а в каждом ребре — не менее трех. Это известный геометрический факт. В общем случае п -мерного пространства в водится не менее чем (п+1) многогранников, а ребер (элементов единичной размерности) - не менее чем п. В двумерном случае, соответственно, в вершину сходится не менее трех многоугольников, а ребра-грани всегда объединяют пару. Точное равенство в случае невырожденных систем. Пример вырожденной системы представляет простая кубическая решетка. В ее разбиении Вороного в каждую вершину сходится по восемь, а в ребро — по четыре многогранника Вороного. Однако для невырожденных систем все многогранники Вороного являются примитивными. Но примитивные многогранники могут составлять разбиение Вороного вырожденных систем. Примером тому является та же простая кубическая решетка, где все многогранники Вороно-,го — кубы — примитивные многогранники. Каждый центр системы {А} посредством граней многогранника Вороного определяет своих геометрических соседей. Те, в свою очередь, определяют своих соседей и т.д. Таким образом, можно говорить о графе, вершинами которого являются центры системы {А}, а связность определена через геометрическое соседство.^ Этот граф приводит нас к понятию разбиения Делоне [54,113]. Разбиение Делоне. Воспользуемся пустым шаром, который будем перемещать, изменяя его размер так, чтобы он мог касаться точек системы {А}, но всегда оставался пустым [14, 20-21, 54]. Это всегда возможно, если выбрать шар достаточно малым. Начнем увеличивать его радиус, оставляя центр шара на месте. В какой-то момент поверхность шара встретит некоторую точку из системы {А}, т.к. в системе нет неограниченно больших пустот. Если продолжать увеличивать радиус пустого шара так, чтобы точка оставалась на его поверхности, то для этого придется двигать центр шара отточки. Но при этом неважно, по какой траектории мы будем перемещать центр шара, рано или поздно шар достигнет своей поверхностью другой точки системы {А}. Обозначим ее как/. Продолжим увеличивать радиус нашего шара, сохраняя уже обе точки на его поверхности. Увеличиваясь, шар достигнет какой-то третьей точки системы, точки к. В двумерном случае «пустой круг» в этот момент зафиксируется, т.е. станет невозможным дальнейшее увеличение его радиуса при сохранении круга пустым. При этом выявится элементарная двумерная конфигурация трех точек (/, j, к), определяющая некий треугольник, особенностью которого является то, что внутри его описанной окружности нет других точек системы {А}. В трехмерном пространстве шар уже определяется не тремя точками [21, 54]. Продолжим увеличивать его радиус, сохраняя все три найденные точки на его поверхности. Это будет возможно до тех пор, пока поверхность шара не встретится с четвертой точкой данной системы. После этого движение и рост пустого шара станут невозможными. Найденные четыре точки (/, j, к, I) определяют вершины тетраэдра, который характерен тем, что внутри его описанной сферы нет других точек системы {А}..Такой тетраэдр называется симплексом Делоне [54]. Помещая пустой шар в различные места, и повторяя описанную выше процедуру, можно определить множество таких симплексов Делоне. Утверждается, что совокупность всех симплексов Делоне системы {А} заполняет пространство без наложений и щелей, т.е. подобно многогранникам Вороного реализует разбие- Рис..1.1.3. Разбиение Делоне двумерной системы точек. ние Пространства, НО на ЭТОТ раз Симплексы Делоне заполняют пространство без щелей и на тетраэдры. Это разбиение на-наложений. Описанная сфера любого симплекса не со- держит внутри себя других точек системы. ЗЫВаетСЯ разбиением Делоне, рис. 1.1.3. Приведем теорему о разбиении Делоне. ТЕОРЕМА 2. Полиэдры Делоне системы {А} не входят друг в друга и заполняют все пространство, будучи смежными по целым граням. Разбиение пространства на полиэдры Делоне однозначно определяется системой {А} и, обратно, однозначно ее определяет [14,21]. Следуя первоначальной логике Б.Н. Делоне [21, 54], разбиением Делоне является разбиение системы {А} на полиэдры Делоне. Разбиение системы точек на симплексы иногда называют триангуляцией системы. Действительно, в двумерном случае это разложение системы на треугольники. В общем случае будем называть такое разбиение симплициальным, или просто разбиением Делоне. Авторы отмечают, что центр описанной сферы может служить точкой, «обозначающей» соответствующий симплекс Делоне. Множество всех таких центров будем называть системой {D}. Из теоремы о разбиении Делоне следует, что система {А} однозначно определяет систему {D}n наоборот, имея {D}, можно однозначно восстановить {А}. Этот граф является сеткой Делоне. [20-21, 54, 117]. Дуальность разбиений Вороного и Делоне. Разбиениям Вороного и Делоне присущ тот факт, что оба эти разбиения однозначно определяются системой {А}, т.е. они однозначно определяют друг друга. Из этого следует, что разбиение Вороного имеет «полную информацию» о разбиении Делоне, и наоборот. Как методом пустого шара Делоне, так и с помощью плоскостей Вороного выявляется одна и та же система точек {А}, согласно теореме 1. Каждую вершину в мозаике Вороного обозначим d, все они расположены на одинаковом расстоянии от четырех точек системы. Это означает, что данная четверка лежит на сфере с центром в выбранной вершине d. Данная сфера является тем пустым шаром Делоне, который определяет соответствующий симплекс Делоне [14, 21]. Точка d из системы {А}, определенная с помощью пустого шара, по построению, является общей для всех плоскостей Вороного, а поэтому является общей вершиной их многогранников Вороного. Тогда можно говорить о едином разбиении Вороного—Делоне, в котором мы видим одновременно мозаику, как многогранников Вороного, так и симплексов Делоне, рис. 1.1.4 [54]. Рис. 1.1.4. Разбиение Вороного—Делоне для двумерной системы точек. Сплошными линиями нарисована мозаика Вороного, пунктирными—мозаика Делоне Графы и сетки. Взаимное расположение элементов разбиения Вороного— Делоне можно рассматривать на языке графов. Графом называют упорядоченное, т.е. пронумерованное множество элементов (узлы), которые определены связностью [81-83]. Любые объекты разбиения Вороного-Делоне можно рассматривать как узлы некоторого графа, а связи между этими объектами определять посредством других элементов. Примером являются сетки Вороного и Делоне, узлами которых являются множества точек систем {D} и {А}, а связность определяется смежностью граней симплексов или многогранников соответственно. Однако в качестве узлов можно выбрать, например, грани многогранников Вороного и определить связность между теми из них, которые имеют общее ребро. Аналогично, в качестве узлов можно использовать ребра многогранников, установив связи между ними через инцидентные вершины. Ясно, что все эти графы взаимосвязаны [24, 54]. Другое дело, что разные графы помогают наглядно отобразить или подчеркнуть разные топологические мотивы, содержащиеся в разбиении Вороного—Делоне. С физической точки зрения интерес представляют именно сетки Вороного и Делоне. Во-первых, они естественны для восприятия, во-вторых, кроме топологии (связности узлов) содержат полезную метрическую информацию. Любой узел этих графов есть точка с определенными координатами, а каждая связь есть отрезок конкретной длины и направления. Ввиду важности этих сеток для приложений резюмируем их свойства [15, 54]: I. Сетка Вороного системы {А} определяется вершинами и ребрами всех многогранников Вороного этой системы. 1. Сетка Вороного совершенна, т.е. у нее нет ни разрывов, ни «мертвых концов». Это следует из теоремы 1, многогранники Вороного смежны по целым граням, а, следовательно, и по ребрам. 2. Каждому узлу сетки Вороного соответствует свой симплекс Делоне, причем узел является центром описанной вокруг этого симплекса сферы. Важное значение этого свойства в том, что оно позволяет однозначно приписывать узлам сетки Вороного какую-либо меру (физическую или геометрическую), характеризующую симплексы Делоне изучаемой системы. 3. Каждая связь сетки Вороного, соединяющая два узла, означает, что симплексы Делоне, соответствующие этим узлам, имеют общую грань. II. Сетка Делоне системы {А} определяется вершинами и ребрами всех симплексов Делоне системы. 1. Сетка Делоне совершенна. Как и в случае с сеткой Вороного, она не имеет «мертвых концов». Это следует из теоремы 2, где доказано, что симплексы в мозаике Делоне смежны целыми гранями. 2. В каждый узел сетки Делоне сходится число связей, равное числу граней многогранника Вороного этого узла. Заметим, что в узлы сетки Делоне может сходиться различное число связей. Сетка Делоне состоит исключительно из трехчленных колец, коими являются грани симплексов. 3. Каждому узлу сетки Делоне соответствует определенный многогранник Вороного. Это дает возможность однозначно приписывать узлам сетки Делоне какую-либо меру (физическую или геометрическую), вводимую для характеристики многогранников Вороного или самих атомов изучаемой системы. 4. Каждая связь сетки Делоне, соединяющая два узла, означает, что многогранники Вороного, соответствующие этим узлам, имеют общую грань. Соответствующие узлы называются геометрическими соседями [54]. § 1.2 Геометрическое представление федоровских групп Прежде всего, рассмотрим, что такое решетка, которая в кристаллографии играет первостепенную роль. Решетки - это полная совокупность точек пространства (узлов) с целыми координатам, относительно какого-либо репера (его называют основным) [15]. Таким образом, всякий репер задает конкретную решетку. Но одной и той же решетке соответствуют бесконечно много реперов, ее задающих, так как основной репер в решетке можно выбирать бесконечным числом способов, что создает затруднения при сравнении решеток. Среди таких реперов наиболее удобным в подавляющем большинстве исследований оказался репер Браве, несмотря даже на то, что он не является основным репером решетки. Для однозначного задания репера используют его метрические параметры — длины его векторов и углы между ними. Две решетки относятся к одной системе, если метрические параметры их реперов Браве имеют одинаковые ограничения [3, 13, 15,21,35,91]. Эта классификация имеет и чисто теоретико-групповое определение. Полную группу преобразований симметрии решетки называют группой Браве. Поскольку решетка — частный случай правильной системы, ее группа Браве является федоровской группой. Две решетки относятся к одному типу Браве, если их группы Браве абстрактно изоморфны, т. е. имеют одинаковое алгебраическое устройство. Заметим, что классификация решеток по типам Браве является также и классификацией федоровских групп по этим же типам. Группы симметрии могут состоять как из конечного числа преобразований симметрии, так и из бесконечного их числа. Число преобразований симметрии - элементов группы - в конечной группе называется ее порядком. Всякая правильная система точек состоит из метрически одинаковых и параллельно расположенных решеток. Следовательно, каждой правильной системе однозначно сопоставляется репер Браве соответствующей решетки [9, 15]. Федоровскими группами также называют дискретные группы с конечной фундаментальной областью. Федоров показал, что во всякой дискретной группе, с конеч- ной фундаментальной областью, содержится подгруппа параллельных переносов. Это Видно из теоремы Федорова - Шёнфлиса [22]. ТЕОРЕМА ФЕДОРОВА - ШЁНФЛИСА. Любая Федоровская группа движений плоскости, пространства содержит подгруппу параллельных переносов, порожденную двумя линейно независимыми переносами. С теоретико - групповой позиции рассмотрения федоровская группа есть дискретное преобразование симметрии с конечной независимой областью. Причем последней называют область преобразования группы, в которую можно «вогнать» каждую точку пространства, а в самой этой области нет ни одной пары точек, которые бы не отличались друг от друга, т.е. переводились бы друг в друга преобразованиями этой группы. Независимая область содержит в себе различные точки пространства и только по одному разу [13, 15]. Федоров показал, что присутствуют 17 плоских и 230 пространственных групп [15, 96]. Рассмотрим, что собой представляют дискретные группы. Дискретные группы движений - эти группы можно определить как такие, относительно которых орбита каждой точки пространства дискретна, т.е. должна удовлетворять г — условию. Так же должна быть дискретна орбита каждой точки этой группы. Где под орбитой точки А (любая точка пространства) относительно группы подразумевается множество всех образов точки А относительно движений из G (произвольная группа движений). Тогда система точек является правильной тогда и только тогда, когда она является орбитой относительно некоторой группы [54]. Дискретная система точек, инвариантная относительно пространственной федоровской группы называется кристаллической структурой. Из определения следует, в частности, что всякая правильная пространственная (г, /?)-система является структурой. Однако в общем случае структура как инвариантная по отношению к федоровской группе система представляет собой набор нескольких правильных систем - орбит разных точек «пространства относительно данной группы». Из дискретности структуры и конечности фундаментальной области, связанной с ней группы, вытекает, что число различных орбит, составляющих структуру, хотя и может быть сколь угодно большим, но всегда конечно. Содержащаяся в федоровской группе трехмерная подгруппа параллельных переносов определяет разложение структуры на конечное число решеток. Кристаллическую структуру, таким образом, можно определить как конечный набор решеток, которые между собой конгруэнтны и параллельны [13, 54]. Отсюда следует, что определенная как инвариантная относительно федоровской группы, кристаллическая структура является адекватным отражением атомной структуры кристалла. Федоровские группы обеспечивают абсолютную неразличимость частиц, составляющих кристаллическую структуру. Но верно и обратное утверждение: если в бесконечном множестве дискретных частиц эти частицы ничем не отличаются друг от друга (как по устройству, так и по окружению), то группой симметрии такой совокупности частиц является одна из 219 федоровских групп. Таким образом,

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23279.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.