У нас уже 21989 рефератов, курсовых и дипломных работ
Заказать диплом, курсовую, диссертацию


Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Понравилось
Не понравилось





Книга жалоб
и предложений

 





Название Обратные задачи хаотической динамики и проблемы предсказуемости каотическик процессов
Количество страниц 263
ВУЗ МГИУ
Год сдачи 2010
Бесплатно Скачать 23296.doc 
Содержание Содержание
Оглавление

Введение...5

1. Концепция частичной предсказуемости физических процессов

1.1. Введение. Реальный, наблюдаемый и модельный процессы...38

^ 1.2. Степень предсказуемости и время предсказуемости. Концепция частичной предсказуемости...41

1.3. Изменение степени предсказуемости по мере совершенствования прогностической модели. Горизонт предсказуемости хаоса...47

1.4. Основные результаты главы 1...51

2. Пределы предсказуемости линейных и нелинейных авторегрессионных моделей

2.1 .Введение...53

2.2 Принципиальные ограничения времени предсказуемости линейных авторегрессионных методов...57

2.2.1. Авторегрессия первого порядка...61

2.2.2. Процессы случайной (нединамической) природы...61

2.2.3. Дискретные хаотические последовательности...64

2.2.4. Многомерные непрерывные динамические процессы...67

2.3. Линейные и нелинейные авторегрессионные модели с точки зрения предсказуемости. Нелинейные авторегрессионные модели...70

2.3.1. Процессы случайной (нединамической) природы...73

2.3.2. Дискретные модели. Одномерные отображения...77

2.3.3. Многомерные непрерывные динамические процессы...85

2.4. Запаздывающие корреляции между шумом и ошибкой прогноза хаотических систем...94

2.4.1. Влияние шумов на ошибку прогноза в дискретных системах...94

2.4.2. Линейный этап: экспоненциальный рост...97

2.4.3. Нелинейный этап: насыщение и спад корреляций...99

2.5. Основные результаты главы 2...103

3. Применение дискриминантного анализа для решения задач реконструкции нестационарных хаотических систем

3.1. Введение...105

3.2. Дискриминация случайных событий...107

3.3. Модификация алгоритма для решения задач реконструкции...113

3.3.1. Скалярный вариант...113

3.3.2. Векторный вариант...127

3.4. Примеры реконструкция нестационарных временных рядов...130

3.4.1. Одномерные отображения...130

3.4.2. Многомерные процессы...144

3.4.3. Детектирование особенностей фазовых траекторий...157

3.5. Влияние шумов на качество реконструкции...160

3.6. Основные результаты главы 3...166

4. Оценка погрешности реконструкции хаотических временных рядов.

4.1. Введение...168

4.2. Основные источники погрешностей...169

4.3. Анализ алгоритма восстановления модельного отображения методом наименьших квадратов...171

4.4. Анализ погрешностей...172

4.5. Время предсказуемости и оптимальная длина выборки...178

4.6. Иллюстрации. Поведение квадратичного функционала погрешности...181

4.7. Результаты главы 4...190

5. Проблемы предсказуемости при бифуркационных переходах в присутствии шумов

5.1. Введение...191

5.2. Динамические бифуркации и явление спонтанного нарушения симметрии...193

5.3. Стохастический и динамический сценарии бифуркационных переходов. Граница адиабатичности...194

5.4. Зоны притяжения конечных состояний...206

5.5. Динамика флюктуации в точках бифуркаций...229

5.6. Результаты главы 5...239

6. Применение методов хаотической динамики в био- медицинских исследованиях.

6.1. Введение...243

6.2. Возможность оценки состояния пациентов при стрессе по степени хаотичности...245

6.2.1. Клинические исследования...246

6.2.2. Изменение степени хаотичности при стрессе (метод П.С.Ланда и '* М.Розенблюма)...248

6.2.3. Динамика степени хаотичности при нагрузочном стрессе (двухпара-метрический метод оценки)...250

6.3. Применение дискриминантного анализа для оценки аэробно-анаэробного порога...253

6.4. Основные результаты главы 6...258

Заключение...260

Библиографический список использованной литературы...263



Введение

Проблема восстановления динамических уравнений процессов из временных рядов возникла в теории динамических систем около 40-50 лет * тому назад и связана с именами А.Н. Колмогорова, Н. Винера и Дж. Габора.

Основной подход к решению этой проблемы, которая известна также как обратная задача нелинейной динамики, состоит в "подгонке" дифференциального уравнения или системы уравнений определенного класса к экспериментальным данным. Состояние вопроса о восстановлении дифференциальных уравнений в "дохаотическую" эпоху отражено в монографиях [1-5].

Особенность хаотических систем, которые стали предметом всеобщего интереса в 80 - 90-х годах, состоит в их исключительно высокой чувствительности к малым возмущениям, в том числе к шумовым воздействиям, присутствующим в любых физических системах. Малые возмущения в хао-
тических системах нарастают по экспоненциальному закону и довольно быстро достигают размеров аттрактора. Эта особенность хаотических систем получила название локальной неустойчивости. Несмотря на свойство локальной неустойчивости, хаотические системы все же допускают восстановление динамических уравнений на основе стратегии реконструкции, разрабо-тайной ранее для нехаотических динамических систем. Разумеется, свойство локальной неустойчивости не может не отразиться на качестве восстановления дифференциального уравнения: время предсказуемости, то есть интервал времени, на котором восстановленное уравнение обеспечивает удовлетвори-тельное предсказание поведения наблюдаемой системы, для хаотических систем оказывается заметно более коротким, чем для нехаотических систем.

Ранние попытки восстановить динамические уравнения системы из хаотических временных рядов в отсутствие шумов были предприняты Кре-

мерсом и Хублером [6], Кратчфильдом и МакНамарой [7], Бриденом и Хуб-лером [8], Гусбэ [9], Брашем и Кадтке [10] и рядом других исследователей.

В последующих работах [11-13], в первую очередь в работах с участием автора данной диссертации, реконструкция модельных уравнений про-Ш изводилась уже с учетом шумов. Различные подходы к проблеме восстанов-

ления уравнений из зашумленных экспериментальных данных освещены в работах [16,17], опубликованных в книге "Predictability of Complex Dynamical Systems", J.B.Kadtke, Yu.A.Kravtsov, Eds., Springer, 1997. Общая характеристика методов восстановления дана также в представительном обзоре Павло-ва и Янсон, посвященном задачам восстановления динамики из электрокардиограмм [18], в нашем обзоре [92] и в недавно вышедших книгах: Анищен-ко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем., Anishchenko V.S., Astakhov V.V., Neiman A.B., Vadi-vasova Т.Е., L. Schimansky-Geier, Nonlinear Dynamics of Chaotic and Stochastic Systems. Tutorial and Modern Development. Springer, Berlin, Heidelberg, 2002.

Рассмотрим более подробно основные процедуры восстановления динамических уравнений из временных рядов. Для этого определим вектор состояния следующим образом.

Пусть датчик регистрирует дискретные значения одномерного вре-' менного ряда y{t), который может характеризовать процессы произвольной

физической природы (механические, электрические, химические, биологические и др.). Задача состоит в том, чтобы на основе одномерного ряда y{i) восстановить динамическое уравнение (или систему уравнений), которое предположительно описывает исследуемую систему.

При выявлении динамических закономерностей из эксперименталь-

• . ных временных рядов опираются либо на дискретные модели, описываемые

разностными уравнениями (отображениями), либо на непрерывные модели,

описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. В первом

случае экспериментальные данные изначально представлены дискретными

отсчетами д^,у=1,2,...,л, тогда как во втором случае производится замена непрерывного процесса^/) дискретными отсчетами по правилу

(B.I)

где j - номер отсчета, t°- момент начала измерений, величина А - интервал между отсчетами (интервал дискретизации).

Предположим, что наблюдаемая величина у порождается некоторой динамической системой и является либо одной из её переменных, либо скалярной функцией от них. Набор параметров, характеризующих динамику поведения хаотической системы, принято называть вектором состояния системы.

Задача состоит в том, чтобы по одномерному временному ряду: (а). Восстановить фазовый портрет (вид аттрактора) изучаемой системы; (Ь). Восстановить динамические уравнения, в каком-либо приближении описывающие поведение исходной системы.

Для решения задачи (а) в работе [22] был предложен метод задержанных переменных, согласно которому вектор состояния восстанавливался по формуле

(B.2)

где N - размерность вложения, А- задержка вложения. Для дискретного временного ряда задержка выражается через целое число к шагов дискретизации А'= к А, а вектор состояния записывается следующим образом:
Такенс [23] углубил этот результат, показав, что в отсутствие шумов и при размерности вложения N>2d+1, где d - фрактальная размерность исследуемой хаотической системы, множество (2) топологически эквивалентно аттрактору системы (см. также [24]). Теорема Такенса подготовила почву для построения алгоритмов предсказания хаотических процессов с использованием сведений о динамической природе наблюдаемого временного ряда [25-28].

Вектор состояния (В.2), составленный из дискретных задержанных отсчетов (В.1), имеет преимущества при построении конечно-разностных уравнений, описывающих исследуемую систему. Для большинства физических систем, которые описываются не разностными, а дифференциальными уравнениями, в качестве вектора состояния вместо (В.2) удобнее брать совокупность производных исследуемого процесса

r-o.iV1>.../1>}, (в.з)

где у(п) означает производную п-то порядка:

а под производной нулевого порядка понимается сама наблюдаемая функция y(t). Метод последовательного дифференцирования с использованием вектора состояния (В.З), довольно часто используется в литературе (см., например [7,8,11-14,29]).

Фактически производные у^ наблюдаемого процесса y(t) вычисляются через конечные разности, скажем
Очевидно, точность вычисления производных тем хуже, чем больше уровень шумов и больше интервал дискретизации А. Поэтому действие (В.4) является самым ненадежным элементом во всей процедуре восстановления динамических уравнений.

4} Кроме упомянутых алгоритмов имеются и другие возможности вве-

дения вектора состояния. Так, наряду с эквидистантными отсчётами (1) в принципе можно использовать не эквидистантные измерения [30]. В работе [31] (а также [20]) в число компонент вектора состояния предложено ввести ещё интеграл от наблюдаемой переменной y(t), что способствует стабилизации численных процедур.

Относительно оптимального выбора интервала дискретизации А единого мнения в литературе не существует. Так, при формировании вектора задержанных переменных рекомендуется выбирать интервал А из условия минимизации функции минимума взаимной информации [32, 33] или же лога-рифм корреляционного интеграла [34]. Самое важное, что в обоих случаях мы имеем дело с интервалами порядка времени корреляции ткор. В руководствах по методам идентификации динамических систем (например в [1]) интервал А рекомендуется выбирать равным (0,2 + 0,3)т . Такой выбор согла-

ач суется с требованиями теоремы Котельникова, согласно которой интервал

дискретизации А не должен превышать величину 1 /(2/), где 2/ - эффективная ширина спектра сигнала: А < 1 /(2/). Более подробно этот вопрос будет обсуждаться в главе 2.

Независимо от метода восстановления модели - при помощи вектора

V состояния (В.2), составленного из задержанных переменных, или же при по-

мощи вектора (В.З), составленного из производных исследуемого процесса, речь идет о восстановлении динамических уравнений (разностных или дифференциальных) во всем фазовом пространстве, т.е. о восстановлении глобальной модели.
Важным элементом процедуры восстановления динамических уравнений по экспериментальным данным является предварительная оценка размерности исследуемого хаотического процесса, то есть оценка эффективного числа степеней свободы, вовлеченных в динамический процесс.

Как известно, хаотические аттракторы характеризуются фрактальной размерностью d [35, 36]. Вычислению фрактальной размерности d непосредственно из экспериментальных данных посвящена обширная литература, представление о которой дают работы [37-43]. Располагая фрактальной размерностью d, можно оценить размерность вложения ./V по формуле Такенса N>2d+1, хотя эта оценка часто оказывается завышенной [43]. В этих условиях часто прибегают к упрощенным оценкам размерности вложения, используя, например, корреляционную размерность [18, 32, 34, 44-47].

Эффективный способ оценки размерности опирается на вычисление ковариационной матрицы, которая составляется из отсчетов yk = y[tk +(y-l)AJ, сделанных в моменты времени И. Ковариационная матрица

имеет размерность пхп. Удобные алгоритмы оценки размерности по матрице Ckl были предложены Грассбергером и Прокаччиа [48], Брумхэдом и Кингом

[49], Ланда и Розенблюмом [46]. Простой и не требующий больших массивов алгоритм Ланда и Розенблюма [46] опирается на вычисление собственных значений 5t ковариационной матрицы (В.5).

Численным моделированием было установлено, что зависимость логарифма нормированных собственных чисел 5. = Я./^Я. от их номера / испытывает излом наклона при некотором значении УУ(рис. В.1.), которое и ре-
комендуется принять за верхнюю оценку размерности системы (размерность вложения). Считается, что при переходе от малых значений /, для которых характерен большой наклон кривой lnS{i), к большим значениям i>N, где наклон кривой lnS(J) меньше, происходит уменьшение удельного веса "новых" переменных у\ с i>N по сравнению с "базовыми" переменными у\, отвечающими i

Имеются и другие способы оценить размерность, например, с использованием "старых" приемов, развитых в математической статистике [50]. Во всех случаях оценка размерности выступает как экспериментальная величина.

Модельное уравнение порядка N с полиномиальной нелинейностью. Оценив размерность системы, можно приступить к подгонке модельного уравнения к временным рядам. При такой подгонке нелинейные слагаемые в дифференциальных уравнениях чаще всего аппроксимируются полиномами, хотя возможны и иные аппроксимации нелинейных функций, например, кусочно-линейные или кусочно-непрерывные функции. Выбор аппроксимирующих функций диктуется, прежде всего, априорными сведениями о системе.

Если априорные данные о структуре системы отсутствуют, то полиномиальная аппроксимация выступает как разумное начальное приближение, которое может быть уточнено или даже заменено иным, лучшим приближе нием по мере накопления данных о системе в процессе реконструкции. Конечным результатом реконструкции является определение коэффициентов при нелинейных слагаемых в уравнениях определенного класса.
Таким образом, решение обратной задачи нелинейной динамики сводится, в сущности, к параметризации модельного уравнения заданного класса путем наилучшего (в том или ином смысле) согласования модели с экспериментальными данными.

Ниже пойдёт речь преимущественно о восстановлении дифференциальных уравнений системы. Отметим, однако, что приёмы восстановления разностных уравнений во многом подобны приемам реконструкции дифференциальных уравнений [18].

Весьма общее модельное уравнение системы может быть представлено в форме полинома от компонент модельного вектора состояния

а под zq - сама переменная z{t): zo{i)=z{t). Компактная запись модельного '*¦ дифференциального уравнения имеет вид
Здесь Gm - мономы (одночлены), составленные из степеней zo,Zi,...,zn, a A=(Aj,...,AM) - М-компонентный вектор коэффициентов, подлежащих определению.

В силу однородности уравнения (В.6) относительно Ат один из коэффициентов Ат может быть выбран произвольно. Чаще всего полагают равным
единице коэффициент при старшей производной z^jt). Тогда остальные коэффициенты находятся из уравнения (В.6), если в качестве модельных значений вектора z(t) подставить в (В.6) экспериментальные данные y(f), соответствующие моментам времени tj :

Число М неизвестных коэффициентов Ат быстро растет с увеличени ем порядка дифференциального уравнения N и степени нелинейности s. Например, полное (с учётом всех возможных комбинаций) уравнение третьего порядка (N=3) с кубичной нелинейностью (s=3) имеет вид

F(z,A) = A°+ (A0z0 + Axzx + A2z2 + A2z3) +

z\ + •••

Это уравнение содержит 35 коэффициентов, а если положить Аз=\, чтобы третья производная z3 = d3z I dt2 вошла в уравнение (В.8) с единичным

^ коэффициентом, то число неопределенных коэффициентов составит 34. Та-

ким образом, число отсчетов в данном случае не может быть менее М- 34.

По мере увеличения N и s число коэффициентов М, подлежащих определению, катастрофически (факториально) возрастает: оно оценивается как M=(N+s+ \)\/(s+\)\Nl. При переходе от N = s = 3k к N=s=4 оно увеличивается от 35 до 126, при N=s-5 достигает 462, а при N=s=6 переваливает за тысячу: М=1716! Столь стремительный рост числа неопределенных коэффициентов приводит не только к значительным техническим трудностям при их вычислении (фактически речь идет об обращении матриц высокой размерности), но
и к принципиальным затруднениям познавательного характера. Если бы технические трудности удалось преодолеть, т.е. если бы имелась возможность быстро и надежно вычислить огромное число коэффициентов, то польза от такой громоздкой модели была бы сомнительной, поскольку сама модель становится чрезвычайно сложным объектом для изучения. Такая модель имела бы плохо обозримое пространство параметров, которым, к тому же, весьма трудно придать определенный физический смысл. Сказанное заставляет ограничиваться малоразмерными модельными уравнениями и максимально использовать всю доступную априорную информацию об исследуемой системе, чтобы предельно упростить модельное уравнение и уменьшить число коэффициентов, подлежащих определению.

По минимуму число временных отсчетов п должно соответствовать числу М неопределенных коэффициентов. Если учесть необходимость определения производных до N-то порядка, то к М следовало бы добавить еще 2N отсчетов (по N дополнительных отсчетов в начале и конце выборки), так что минимальная длительность выборки должна составить

nmin = M+2N. (B.9)

В действительности из-за присутствия шумов длительность выборки приходится увеличивать по сравнению с (В.9), поскольку восстанавливаемые коэффициенты Ат могут испытывать существенные флуктуации. В этих условиях для оценки неизвестных коэффициентов Ат приходится либо усреднять значения Ат по нескольким соседним выборкам длиной M+2N [11-13], либо брать избыточное (по сравнению с М) число отсчетов п и оценивать затем Ат по методу наименьших квадратов, как это было предложено еще в ранних работах [6] и [7], а также в работе [18].

Модельная система N уравнений первого порядка. Кроме описанного подхода, использующего одно модельное уравнение N-ro порядка (6), возможен и несколько иной подход к выбору модельных уравнений, опирающийся на теорему Такенса [23]. Согласно [23] решение y(t) динамической системы весьма общего вида dX/dt=F(X), допускающей существование аттрактора размерности d, может быть плавным образом отображено на решение x{t) более простой системы

размерности N>2d+1. Поэтому система уравнений (В.10) также может служить удовлетворительной моделью для многих динамических систем.

Указанный подход можно реализовать, например, следующим образом [11,12,16]. Пусть Sj - собственные векторы ковариационной матрицы (В.5). Тогда произвольный вектор состояния Y можно разложить по собст- венным векторам корреляционной матрицы Sj ("оптимальный" базис) и ограничиться в этом разложении членами, соответствующими размерности системы N:

Коэффициенты этого разложения rjk, найденные из временного ряда ykj, могут служить новыми переменными вместо yj. Поведение коэффициентов rjk можно тогда моделировать при помощи переменных ?*, подчиняю- щихся системе уравнений первого порядка вида (В.10):
Нелинейность системы описывается здесь дробно-рациональной функцией 0X?,B)/g(?,C), где Ф и g представляют собой полиномы от компонент вектора ?=(?/,...,?#) с неопределенными коэффициентами Вь и С*, объединенными в векторы В и С. Для полинома g{?C ) можно ограничиться не- высокой (скажем, второй) степенью нелинейности. Общее число коэффициентов Вк и Сь подлежащих определению, может оказаться даже меньше, чем число коэффициентов Ат в уравнении (В.6).

При численном решении системы уравнений (В. 12) приходится преодолевать технические трудности, связанные с наличием полюсов у функции Ф/g. Специальные процедуры, необходимые для преодоления этих трудностей, описаны, например в работе [28]. На практике дробно-рациональные функции в уравнении (В. 12) целесообразно использовать только при наличии априорной информации, да и в этом случае дробно-рациональную функцию часто можно успешно аппроксимировать полиномом.

Другие подходы. Указанными двумя подходами (уравнение порядка N вида (В.6) и система iV уравнений первого порядка вида (В. 12)), использующими полиномиальные аппроксимации нелинейных функций, не исчерпывается все разнообразие приемов, предложенных к настоящему времени.

Следует упомянуть также метод решения краевых задач, заключаю- щийся в подгонке дифференциальных уравнений к экспериментальным данным [51], использование критерия минимальной длины описания для выбора оптимальной модели [15, 52-56], метод радиальных функций [15], использование ортогональных полиномов [6] для аппроксимации нелинейностей, кри-
Список литературы
Цена, в рублях:

(при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)		 1425
Скачать бесплатно 23296.doc 





Найти готовую работу


ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:


Связаться

Доставка любой диссертации из России и Украины

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ


Ссылки:

Выполнение и продажа диссертаций, бесплатный каталог статей и авторефератов

Счетчики:

Besucherzahler
счетчик посещений

© 2006-2024. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.