Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Кольца и модули, имеющие топологическую размерность Крулля

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Кольца и модули, имеющие топологическую размерность Крулля

Количество страниц	52

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23525.doc

Содержание	Содержание Введение 4 Топологическая размерность Крулля 12 1 Необходимые определения и обозначения из теории топологических колец и модулей... 12 2 Определение топологической размерности Крулля и некоторые её свойства... 13 3 Топологическая TV-размерность. Критические модули... 17 4 Бесконечная прямая сумма замкнутых подмодулей ... 19 5 Топологическое кольцо полиномов... 22 6 Топологический аналог леммы Леиагана ... 23 3 Топологический радикал Бэра и топологическая размерность Крулля 26 1 Определение топологического радикала Бэра... 27 2 Топологическая точность... 28 3 Сумма всех Е-нильпотентных идеалов топологического PI-кольца, обладающего топологически точным топологически нетеровым модулем ... 31 4 Топологический радикал Бэра топологического Р/-кольца, обладающего топологически точным топологически нетеровым модулем... 35 5 Топологический радикал Бэра кольца с топологической размерностью Крулля... 38 6 Топологические Р/-кольца, обладающие топологически точными модулями с топологической размерностью Крулля... 41 Литература 52 Введение Областью исследования диссертационной работы является "теория топологических колец и модулей". Теории топологических колец посвящены такие работы как [1], [12], [13]. Цель работы — построение теории топологических колец и модулей, имеющих топологическую размерность Крулля, а также применение этой теории для изучения топологического радикала Бэра некоторых классов топологических колец. Актуальность темы диссертации. Многие теоремы в теории топологических колец получены как результат обобщения соответствующих теорем из теории колец на топологический случай. Если что-то казалось содержательным в дискретном случае, то делалось предположение, что это может быть интересным и в общем, топологическом случае. Например, уже разработана общая теория топологических радикалов, на основе общей теории радикалов. В [11], Ренчлер и Габриэль определили размерность Крулля для модуля как девиацию частично-упорядоченного множества всех подмодулей с упорядочением по включению. Все артиновы и нетеровы модули являются модулями с размерностью Крулля. Оказалось, что многие утверждения, справедливые для нетеровых модулей и колец, выполняются также и для модулей и колец с размерностью Крулля. Класс колец, имеющих размер- ность Крулля, строго больше, чем класс всех нетеровых колец даже в случае коммутативных колец. Методы, используемые при рассмотрении колец с размерность Крулля, аналогичны методам, используемым для получения результатов в теории артиновых колец. Обзор результатов по размерности Крулля можно найти, например, в работе Гордона и Робсон [3]. Теория размерности Крулля усилиями различных авторов (Леиаган, Рен-члер, Габриэль, Лемоньер, Гордон, Робсон и другие) получилась весьма содержательной. В теории кручений существует обобщение размерности Крулля на случай относительной размерности Крулля, например в [27]. Но это частный случай, так как топология относительно кручения является линейной топологией. В данной работе автором предлагается обобщение понятия размерности Крулля на топологический случай. Топологическая размерность Крулля топологического модуля определяется как девиация частично упорядоченного множества всех замкнутых подмодулей с упорядочением по включению. Аналогичным образом определяется правая и левая размерность Крулля топологических колец. В предлагаемой работе построена теория топологической размерности Крулля. В качестве проверки жизнеспособности этой теории в данной работе исследуется топологический радикал Бэра колец либо с топологической размерностью Крулля, либо Р/-колец, обладающих модулями с топологической размерностью Крулля. Для изучения топологических колец используются различные нильрадикалы. Топологическому локально-нильпотентному радикалу посвящены работы Махарадзе [20], [21]. Водинчар рассматривал максимальный над-нильпотентный радикал ([17]). Арнаутов ([14]) и Урсул исследовали топологический радикал Бэра. В данной работе рассматривается только один радикал, а именно, топологический радикал Бэра, а также различные свойства Е-нильпотентных идеалов. Научная новизна. Полученные результаты являются новыми. Среди них: • Построение теории топологической размерности Крулля для топологических колец и модулей. • Доказательство топологической нетеровости кольца коэффициентов, если соответствующее полиномиальное кольцо имеет топологическую размерность Крулля. • Топологический аналог теоремы о конечности прямой суммы подмодулей модуля, имеющего размерность Крулля. • Топологический аналог леммы Ленагана. • Топологическая дуальная размерность Крулля. • Определение топологически точного модуля. Исследование взаимосвязи между топологической точностью и обыкновенной точностью, а также свойств топологических модулей, являющихся топологически точными. • Обобщение на топологический случай теоремы о том, что радикал Бэра Р/-кольца, обладающего точным нетеровым модулем, нильпотентен. • Исследование топологического радикала Бэра колец с топологической размерностью Крулля. • Обобщение на топологический случай теоремы о том, что радикал Бэра Р/-кольца, обладающего точным модулем с размерностью Крулля, нильпотентен. Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных задачах теории топологических колец и модулей. Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Кольца и модули", на международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры в Москве. Список публикаций по теме диссертации из 3-х работ приведен в конце рукописи. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Нумерация лемм, предложений, утверждений и теорем привязана к своей главе, а нумерация примеров сквозная. Полный объем диссертации — 54 страницы, библиография включает 27 наименований. Краткое содержание. В первой главе строится теория топологической размерности Крулля колец и модулей. Топологическая размерность Крулля для топологического модуля М, которую будем обозначать через top К dim M, определяется как девиация множества всех замкнутых подмодулей модуля М. Левой (правой) топологической размерностью Крулля топологического кольца R называется топологическая размерность Крулля левого (правого) /2-модуля R. Далее рассматриваются некоторые свойства топологических модулей с топологической размерностью Крулля, например, приводится достаточное условие того, когда модуль не имеет топологической размерности Крулля. Вводятся понятия критического модуля, дуальной топологической размерности Крулля, топологической нётеровости модуля. Так же как в дискретном случае справедливо, что топологически нетеров модуль имеет топологическую размерность Крулля. Выясняется, что модуль имеет топологическую размерность Крулля тогда и только тогда, когда он имеет дуальную топологическую размерность Крулля. Доказывается, что если М — топологический модуль, а N является его замкнутым подмодулем, и если N и M/N имеют топологическую размерность Крулля, то top К dim M = sup{ top К dim M/N, top К dim N }. Показывается, что если В дискретном случае модуль, имеющий размерность Крулля, не содержит никакую бесконечную прямую сумму подмодулей (см. [3]). Рассматривается аналог этого утверждения для топологических модулей. Существует топологический модуль, обладающий топологической размерностью Крулля, который содержит бесконечную прямую сумму замкнутых подмодулей. Но верно следующее похожее утверждение с дополнительным условием на бесконечную сумму Теорема 1.1. Пусть топологический R - модуль М имеет топологическую размерностью Крулля. Тогда не существует бесконечной прямой суммы замкнутых подмодулей ф Л{ в М таких, что А{ П \А\ + ... + Ai + ...] = 0, г е N. Определим в кольце полиномов R[x] базис окрестностей нуля как семейство множеств вида Вщх] = {U(V,ri)}VeT(R)tn&ii где U(V,n) = {/ G R[x] \| 3v0,..., Vn-г GV,ge xnR[x] : / = E vkxk + g}. Теорема 1.2. Пусть R - топологическое кольцо. Если топологическое кольцо R[x] с вышеопределенной топологией, имеет левую топологическую размерность Крулля, то кольцо R - топологически нетерово слева. Доказывается топологический аналог леммы Ленагана ([8]). Лемма 1.3. Пусть В\ С ??2 Q • ¦ • и Mi Э M оо мерностью Крулля, и (J В{ — М. При этом для любых трех замкнутых г=1 подмодулей А, В, С : А Э В =>• А П [В + С] = [В + А П С]. Тогда найдутся такие натуральные числа i,j, что М{ С [Mj+i + Вторая глава диссертации посвящена изучению топологического радикала Бэра либо колец с топологической размерностью Крулля, либо Р/-колец, обладающих модулем с топологической размерность Крулля. Пусть R — топологическое кольцо, тогда идеал / называется ?-нильпотентным идеалом, если для любой окрестности нуля V кольца R существует такое натуральное п, что 1п С V. Напомним определение топологического радикала Бэра. Для каждого порядкового 7 определим замкнутое множество IZy(R). Положим TZq(R) = 0. Пусть уже определены все TZa{R) для каждого порядкового а < (5. Тогда IZp(R) определим следующим образом: если (5 - предельное, то TZ^R) = [ (J 7Za(R)], иначе существует по- рядковое (3 — 1, в этом случае 1Zp(R) представляет собой замыкание суммы всех идеалов N, таких что фактор N/1Zp-i(R) является Е-нильпотентным. Существует такое порядковое г, что для любого порядкового числа ^ > 6 справедливо 7Z7(R) = 7ZT(R). Идеал C{R) = 1ZT{R) называется топологическим радикалом Бэра. Для каждой окрестности нуля W топологического Д-модуля М введем следующее обозначение Апп(М, W) = {х ? R : хМ С W}. Назовем топологический 7?-модуль М топологически точным, если для любой окрестности нуля V в R существует такая окрестность нуля W в М, что V D Ann(M, W). Доказывается, что в любой топологии топологически точный модуль является точным. Для топологического модуля над бикомпактным кольцом понятия точности и топологической точности совпадают. Также показывается, что в общем случае понятия точности и топологической точности различны. Рассматривается топологический аналог теоремы из статьи В.Т. Маркова [18], утверждающей, что радикал Бэра Р/-кольца, обладающего точным нетеровым модулем, нильпотентен. Теорема 1.4. Если топологическое PI-кольцо R обладает топологически нетеровым топологически точным R-модулем М, то замыкание суммы всех И-нильпотеитпых идеалов 7l(R) будет Т,-нилъпотентным идеалом. Предложение 1.5. Если N - замкнутый топологически Т,-нильпотент-ный идеал ограниченного топологического кольца R и фактор-кольцо R/N является Yl-нилъпотентым, то само кольцо R также Ti-нильпотентпо. Показано, что S-нильпотентпый идеал не обязан быть ограниченным. Также на примере показано, что существует топологическое кольцо R, а в нем идеал N и идеал /, содержащий N, такие что N и фактор I/N Е-нильпотентны, а / не является Е-нильпотентным. Теорема 1.6. Если топологическое ограниченное PI-кольцо R обладает топологически нетеровым и топологически точным R-модулем М, то топологический радикал Бэра ?(R) будет топологически нильпотентным. Рассматриваются топологически идемпотентные идеалы в топологическом радикале Бэра. Теорема 1.7. Пусть топологическое кольцо R обладает топологическим левым модулем М с топологической размерностью Крулля. Тогда если левый идеал J — топологически идемпотентен, то есть [J2]j = J, и содер-о/сится в топологическом радикале Бэра, то JM = 0. Теорема 1.8. Топологический радикал Бэра кольца, имеющего топологическую размерность Крулля, не codepoicum односторонних непулевых топологически идемпотентных идеалов. Следствие 1.9. Топологический радикал Бэра топологического кольца с топологической размерностью Крулля не содерэюит единицу. Заметим, что в общем случае топологический радикал Бэра даже может содержать единицу (см. [16]). В заключении рассматривается топологический аналог теоремы из статьи Маркова В.Т. о том, что радикал Бэра Р/-кольца, обладающего точным модулем с размерностью Крулля, нильпотентен. Теорема 1.10. Пусть топологическое Р1-%олъцо R обладает топологически точным модулем М с не более чем счетной топологической N-размерпостъю и для этого модуля выполняются следующие два условия: (1) если Р-И-нильпотентный идеал кольца R, то для всякой окрестности нуля W в М найдется натуральное число т, такое что РпМ С W; (2) для любых трех замкнутых подмодулей А, В, С, таких что AD В, верно АП[В + С\ = [В + АПС]. Тогда замыкание суммы всех И-пильпотентных идеалов кольца R является также И-нильпотентиым идеалом. Поясняются ограничения в последней теореме. Теорема 1.11. Пусть для ограниченного кольца R выполняются условия предыдущей теоремы. Тогда топологический радикал Бэра этого кольца S-нильпотентен. Существует пример, показывающий существенность дополнительного условия (ограниченности кольца) в последней теореме, так как существует кольцо, для которого верны все условия из предпоследней теоремы, но топологический радикал Бэра этого кольца не только не является Е-нильпотентным, но и пересечение всех степеней этого радикала не равно нулю. Автор выражает свою глубокую благодарность своему научному руководителю, к.ф.-м.н., доценту Маркову Виктору Тимофеевичу за постановку задачи, постоянное внимание и всестороннюю поддержку. Глава 2 Топологическая размерность Крулля 1 Необходимые определения и обозначения из теории топологических колец и модулей На протяжении всего изложения в диссертационной работе будем придерживаться терминологии, приведенной в [13]. Определение. Абелева группа А называется топологической абелевой группой, если на А задана топология и отображение (а, 6) н—> a — b топологического пространства А х А на топологическое пространство А непрерывно. Определение. Топологическое кольцо — это ассоциативное кольцо, являющееся хаусдорфовым пространством, в котором операции кольца непрерывны, то есть удовлетворяют следующим условиям (где R — кольцо): а) отображение (а, Ъ) н-> а — Ь топологического пространства их Дна топологическое пространство R непрерывно; б) отображение (а, Ъ) \—> аЪ топологического пространства R x R на топологическое пространство R непрерывно. Идеалом топологического кольца будем считать двусторонний, не обязательно замкнутый, идеал. Определение. Пусть R — топологическое кольцо. Левый Л-модуль М называется топологически левым Я-модулем, если на множестве М задана то- пология, относительно которой М является топологической абелевой группой, и выполняется следующее условие: отображение (г,т) *-> гт из топологического пространства R х М в топологическое пространство М непрерывно. Далее везде под топологическим Д-модулем будем подразумевать топологический левый Д-модуль. Через т{Х) будем обозначать множество всех окрестностей нуля топологической абелевой группы X. Если л" — факторное отображение из М в M/N, где М — топологический модуль, а N — замкнутый подмодуль этого модуля, то топология на M/N определяется следующим образом: множество А является открытым в M/N тогда и только тогда, когда прообраз тг"~1(А) открыт в М. 2 Определение топологической размерности Крулля и некоторые её свойства Гордон и Робсон в своей работе [3] размерность Крулля для модулей и колец определили следующим образом: Определение. Размерность Крулля (К dim М) Д-модуля М определяется при помощи трансфинитной индукции: 1) если М = 0, то К dim M — -1; 2) если KdimM 3) если не существует порядкового числа а, такого что KdimM = а, то тогда модуль М не имеет размерности Крулля. Определение. Размерностью Крулля кольца R называется размерность Крулля правого Я-модуля R. В диссертационной работе предлагается некоторый топологический вариант этого понятия, а также изучаются топологические модули и кольца, имеющие топологическую размерность Крулля. Напомним определение девиации. Пусть L - частично упорядоченное множество. Введем следующее обозначение, если элементы а, Ъ принадлежат L, то [а, Ь) := { х 6 L \ а ^ х ^ Ь } Определение. Девиация множества L, которая обозначается как dev L, определяется по индукции следующим образом: 1) если L = О, то devL = —1; 2) если dev L ^ а и для любой убывающей последовательности {xn}'^L1 элементов из L найдется натуральное число iV такое, что для любого натурального п большего iV выполняется dev[xn+i,xn] < а, то dev L = а; 3) множество L не имеет девиации, если не существует порядкового числа а, для которого dev L = а. Нетрудно заметить, что если в качестве упорядоченного множества L рассмотреть множество всех подмодулей модуля М, включая и сам модуль, с упорядочением по включению, то KdimM = dev L. Предлагается следующее определение топологической размерности Крулля. Под топологической размерностью Крулля модуля М мы будем понимать девиацию множества всех замкнутых подмодулей модуля М и будем обозначать её как top К dim M. Это определение можно переформулировать следующим образом. Определение. Пусть М - топологический Я-модуль. Топологическую размерность Крулля [top К dim M) определим при помощи трансфинитной индукции: 1) если М = 0, то top К dim M - -1; 2) top К dim M = а, если top К dim M ? а и не существует бесконечной убывающей цепочки замкнутых подмодулей М = Mq Э М\ D ... такой, что top К dim(Mi-i/Mi) 3) если не существует порядкового а, такого что top К dim M = а, то тогда считаем, что модуль М не имеет топологической размерности Крулля. Определение. Определим для топологического кольца R левую (правую) топологическую размерность Крулля / top К dim R (r top К dim R) как топологическую размерность Крулля левого(правого) Я-модуля R, то есть / top К dim R := top К dim rR (г top К dim R := top К dim Rr) . В дискретном случае понятия топологической размерности Крулля и просто размерности Крулля совпадают. Если модуль имеет обычную размерность Крулля, то он в любой топологии имеет топологическую размерность Крулля. Но в общем случае может быть так, что топологический модуль обладает топологической размерностью Крулля, но не имеет обычной размерности Крулля. Пример 1. В качестве такого модуля М рассмотрим пространство всех действительных чисел R над кольцом целых чисел R = Ъ. Легко проверяется, что модуль М действительно является топологическим над R. Пусть в - трансцендентное число, тогда М содержит прямую сумму подмодулей вида Ъ6п, где п - натуральной число. Следовательно модуль М не имеет обычной размерности Крулля (f3j,1.4)- Любой замкнутый подмодуль данного модуля М имеет вид аЪ для некоторого действительного числа а (см. [13], §1.4)- Если a{L С а{1> для некоторых действительных чисел ai,u2, то ^ Е Z и следовательно фактор-модуль а\Ца{Ь содержит конечное число элементов. Поэтому top К dimM = 1. Из определения топологической размерности Крулля очевидным образом получается Предложение 2.1. Если в топологическом модуле М содержится убывающая цепочка замкнутых подмодулей Mq Э М\ Э М2 2 • • •; таких что фактор-модуль Mi-\/Mi топологически изоморфен самому модулю М, тогда модуль М не имеет топологической размерности Крулля. Пример 2. Пространство непрерывных функций на отрезке [О,1] не имеет топологической размерности Крулля. Достаточно рассмотреть убывающую цепочку из подпространств Vo Э V\ ~Э V В дальнейшем нас будет интересовать не само значение топологической размерности Крулля, а те свойства, какими обладают топологические кольца и модули, имеющие топологическую размерностью Крулля. Следующие свойства топологических модулей с топологической размерностью Крулля, являются топологическими аналогами дискретного случая. Предложение 2.2. Если М — топологический модуль, а N является его замкнутым подмодулем и если N и M/N имеют топологическую размерность Крулля, то top К dim М = max{ top К dim M/N, top К dim N }. Доказательство. Из определения топологической размерности Крулля следует, что top К dim M ^ max{ top К dim M/N, top К dim N }. Пусть множество Е состоит из всевозможных пар (А, В), где А является замкнутым подмодулем модуля N, а В является замкнутым подмодулем фактор-модуля M/iV. Определим на множестве S порядок следующим образом: пусть (Ai,Bi), (Л2,В2) G Е, тогда считаем, что (Ai,Bi) < (А2,В2) тогда и только тогда, когда А\ С Л2 и В\ С В\. Сопоставим каждому замкнутому подмодулю Р модуля М пару (Р Г) N, (Р + N)/N) из Е. Заметим, что Р П N и (Р + N)/N, топологически изоморфный замкнутому подмодулю фактор-модуля Р/Р П N, замкнуты в N и M/N соответственно. Очевидно, что если для двух подмодулей выполняется Pi С Р2> то (Pi П Nt (Pi + N)/N) < (Р2 П iV, (P2 + N)/N) Докажем теперь обратное. Пусть PidN С P2rW и (Pi+N)/N С {P2+N)/N, то есть Pi С Р2 + N. Докажем, что тогда Pi С Р2- Pi С Pi П Pi С Pi П (Р2 + N) По свойству модулярной решетки Pi П (Р2 + JV) С Pi П Р2 + Pi П iV С Р2 + Р2 П JV С Р2 Итак, частично-упорядоченное множество всех замкнутых подмодулей модуля М изоморфно некоторому подмножеству частично-упорядочешюго множества S. Поэтому top К dim M ^ devTl. Тогда используя свойство Ь) из статьи [11], получаем, что S = max{ top К dim N, top К dim M/N }. Следовательно top К dim М < max{ top К dim N, top К dim M/N }. Следствие 2.3. Пусть (р - непрерывный гомоморфизм из топологического кольца R в топологическое кольцо R'. Тогда, если кольцо R имеет топологическую размерность Крулля, то top К dim(p(R) ^ top K'dimR. Доказательство. Так как ip - непрерывное отображение, то ker (p - замкнутый идеал кольца R. Тогда R/kev 3 Топологическая iV-размерность. Критические модули В дискретном случае достаточно полезными являются такие понятия как критический подмодуль, дуальная топологическая размерность Крулля, или

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23525.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.