У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ
Заказать диплом, курсовую, диссертацию


Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Понравилось
Не понравилось





Книга жалоб
и предложений

 





Название Компоненты скемы модулей полустабильнык пучков ранга два на трекмерной квадрике
Количество страниц 63
ВУЗ МГИУ
Год сдачи 2010
Бесплатно Скачать 23527.doc 
Содержание Содержание
Оглавление

1. Введение. 3

2. Предварительные сведения из геометрии на трехмерной квадрике Q. 7

3. Модельный пример: однопараметрическое семейство расслоений с вырождением в стабильный пучок с особенностью. 14

4. Существование сечений у Е(1) для пучков из схемы Mq(2; 0,2,0). 20

5. Компонента Мо- 34

6. Некоторые другие квартики, не дающие новых компонент. 52

6.1. Эллиптическая квартика ЧИ4... 52

6.2. Нормкубика и прямая °С3 и?. ... 57

6.3. Коника и прямые... 60

6.4. Кривые с двойной структурой... 63


Введение.

Стабильные векторные расслоения на алгебраических многообразиях являются одним из центральных объектов алгебраической геометрии. Наиболее хорошо изучены свойства пространств модулей стабильных расслоений для малых размерностей один и два базы, то есть когда основное многообразие является алгебраической кривой или поверхностью. В случае многообразий высших размерностей геометрия пространств модулей стабильных расслоений уже значительно сложнее и более или менее изучена лишь для некоторых специальных классов многообразий. В последние годы возрос интерес к изучению стабильных расслоений и, более общо, полустабильных когерентных пучков ранга ^ 2 без кручения на трехмерных многообразиях Фано. Традиционно свойства таких пучков изучались с середины 70-ых годов на проективных пространствах Рп, п ^ 3, (см., в частности, работы [4, 5, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 26, 27, 31, 32]).

Первые работы по описанию расслоений на других многообразиях Фано относятся к концу 80-ых — началу 90-ых годов прошлого века. (см. [34, 29]). Описанию некоторых общих свойств многообразий модулей расслоений ранга ^ 2 на трехмерных многообразиях посвящена работа А. Н. Тюрина [33]. В ней, в частности, выясняется взаимосвязь между многообразиями модулей расслоений на многообразиях Фано и на /^З-поверхностях — гиперплоских сечениях многообразий Фано, устанавливаемая операцией ограничения.

Более детальное изучение геометрии пространств модулей расслоений на многообразиях Фано, близких к Р3, началось в конце

90-ых годов. Здесь необходимо отметить статьи Д. Маркушевича и А. С. Тихомирова [19],[21] и А. С. Тихомирова [30] по расслоениям и пучкам на многообразиях Фано индекса 2 — трехмерной кубике в Р4 и двойном пространстве Р3.

Среди недавних работ по расслоениям ранга два на других многообразиях Фано следует отметить работы [1, 8]

Первая работа по многообразиям модулей расслоений ранга 2 на трехмерной квадрике, Q, являющейся многообразием Фано индекса 3,— это работа Дж. Оттавиани и М. Шурека, в которой дается точное описание многообразия Mq(2; 0,2) модулей стабильных векторных расслоений с с\ = 0 и с^ = 2 на гладкой трехмерной квадрике Q. В этой работе доказывается, что многообразие Mq(2; 0,2) изоморфно открытому подмножеству Р9, дополнение к которому есть нормальная гиперквартика V4 С Р9, однозначно определяемая квадрикой Q и конструкцией плюккерова вложения грассманиана G(1,P4) в Р9. В этой работе рассматриваются также многообразия Mq(2; —1,2), Mq(2;—1,3) и Mq(2;0,4), относительно которых выяснено следующее:

Mq(2;—1,2) — локально тривиальное расслоение над Q^ \ Q$ со слоем Р2 \ Qi,

Mq(2;— 1,3) — неприводимое унирациональное приведенное двенадцатимерное многообразие,

Mq(2; 0,4) — неприводимое унирациональное приведенное двадцатиодномерное многообразие.

Стабильные расслоения на квадрике Q представляют собой от-крытое подмножество неприводимой компоненты Mq(2; 0,2) схемы модулей Гизекера - Маруямы Mq(2; 0,2,0) полустабильных пучков ранга 2 без кручения с с\ = сз = 0, сч = 2.

Настоящее диссертационное исследование посвящено нахождению других компонент в Mq(2;0, 2,0), общие точки которых, в силу неприводимости Mq(2; 0,2) являются стабильными когерентными пучками ранга 2 без кручения, не являющимися расслоениями.

Введем несколько обозначений, которыми, для краткости, будем пользоваться ниже.

• Mq(2;0,2) — многообразие модулей стабильных векторных расслоений Е на Q, с rkE = 2 и классами Черна ci(E) = 0 и С2(Е) = 2.
• Mq(2;0, 2) — замыкание многообразия модулей расслоений Mq(2; 0,2) в схеме Mq(2; 0,2,0).

• Через 3YIq(2;O, 2,0) обозначим множество классов изоморфизма пучков ранга два без кручения на трехмерной квадрике Q с классами Черна с\ = 0, c

• Пусть х € V произвольная точка некоторого векторного пространства V над полем к. Обозначим (х) подпространство кх G P(V).

Известно, что Mq(2; 0,2, 0) не пусто и содержит неприводимую компоненту Mq(2; 0,2) , содержащую в качестве открытого плотного подмножества многообразие Mq(2; 0,2) модулей стабильных голоморфных векторных расслоений ранга два на квадрике с нулевым первым классом Черна и, минимально возможным, согласно условию Шварценбергера (см. [24, с. 194]), вторым классом Черна, равным 2.

В работе дается геометрический метод описания компонент схемы Mq(2; 0,2,0). Для этого выясняется, что схема Mq(2; 0,2,0) не содержит чисто полустабильных пучков, и любой пучок из

Mq(2;0,2,0), подкрученный на 1, имеет сечения, причем нулями общего сечения является кривая степени 4, возможно, с добавленными точками.

В работе также доказывается, что Mq(2;0,2,0) содержит еще, по крайней мере, одну неприводимую 13-мерные компоненту, пе-ресекающую компоненту Mq(2;0, 2) по дивизориальной компо-ненте границы <9Mq(2; 0,2) := MQ(2; 0,2) \ Mq(2; 0,2).

В работе рассмотрены все квартики без кратных компонент, а также кривые содержащие в качестве компоненты «сдвоенную», прямую.

Основной результат работы заключается в следующих двух теоремах:

Теорема 1. Пусть Е — полу стабильный пучок ранга два без кручения на трехмерной квадрике Q С Р4, с классами Черна сх(Е) = О, С2(Е) = 2, и сз(Е) = 0. Тогда пучок Е стабилен, и у пучка Е(1) есть сечения, причем нулями сечения является кривая С С Q степени четыре.

Теорема 2. В Mq(2; 0,2,0) существует неприводимая компонен-та Mq(2;0, 2)0, которая есть замыкание неприводимого тринадцатимерного многообразия Мо- Все точки Мо — стабильные пучки, схема Mq(2; 0,2,0) неособа вдоль Мо, и Мо пересекает Mq(2;0, 2) по неприводимому восьмимерному многообразию, ле-жащему в Mq(2;0, 2) , точное описание котрого дается формулой (5.23).

2. Предварительные сведения из геометрии на трехмерной квадрике Q.

Когомологическое кольцо H*{Q, Z) порождено классами гиперплоского сечения [h] G #2(Q,Z), прямой [?] € -fiT4(Q, Z) и точки [р] € #6(Q,Z). Причем умножение в #*(Q, Z) устроено следующим образом:

И2 = 2М, и • И = м-

Следующая лемма дает нам многочлены Черна структурного пучка точки и пары точек на Q

Лемма 2.1. Пусть х и у — две произвольные не совпадающие точки на квадрике Q, тогда:

Доказательство. Заметим, что из точной тройки

0-»ка.->кя:фк1,->-ку-»-0

следует, что Ct(k.x ф ky) = (ct(kx)} . Рассмотрим локально свободную резольвенту пучка кх ф ку:

О -> OQ(-3) -> 3Oq(-2) -> 3Oq(-1) -> OQ -> кж ф Ц -+ 0.

Получаем:

с,(OQ). с,(3OQ(-2)) - ^(зо^.!)) . Ct(OQ(-3))

12[h}42 - 8И3?3 _ 1 - 6[h]t

12[h]42 - 10[h]4z ~ 1 - 6[h]t

= 1 + 4[p]t3.

Отсюда получаем и ct(kx) = 1 + 2[p]t3. D
На самом деле, имеется более сильный факт:

Лемма 2.2. Пусть S — артинов пучок длинып, тогдаq(S) = 1+ 2n\p}t\

Доказывается лемма индукцией по длине п. Еще одна лемма, дающая нам многочлен Черна структурного пучка и пучка идеалов некоторых кривых на квадрике.

Лемма 2.3. Пусть Cd С Q — кривая степени d — deg Cd и рода О на квадрике Q и п Е Z — целое число, тогда: l)ct{OC4{n)) = 1 - d[i]t2 + (d(2n - 3) + 2)\p]t3, 2)ct(lc

Доказательство. 1) Индукция по степени кривой:

база индукции: d = 1, кривая степени 1 — прямая, вычислим

многочлен Черна структурного пучка прямой. Имеем две точных

тройки

0-> C>pi -*O(p(l) -»0pi(l) ->0, где С2 - коника, и (2.1)

О -> Opi -> C?pi(n) -> ф kXi -> 0, где ж^ - точки. (2.2)

г=0

Вычислим сперва многочлен Черна структурного пучка коники. Для этого запишем его локально свободную резольвенту:

О -> OQ(-2) -+ 2OQ(-l) -> Oq -> Ос72 -> 0. Подкрутив ее на (9q(7T.), получаем:

0 -> 6>Q(n - 2) -> 2OQ(n - 1) -> OQ(n) -> OC2(n) ->> 0,

откуда

(ct(OQ(n - 1)))

(2n - 2)\h]t + (2n2 - 4n)\?]t2 rin 9 , „чг . ч

1 + (2n - 2)[fc]t + (2n2 - 4n

(2.3)

Вспоминая (2.1) и (2.2), получим:

ct(O^{n)) = 1 - [?]t2 + (2n - l)[p]^3-индуктивный переход: Имеем точную тройку:

О -> ОР1 -^ С?с««(1) ~> Oc«f-i(l) -> О, из которой непосредственно получаем

- 1)) ¦

= 1 - d[?]t2 + (rf(2n - 3) + 2) \p]t\

Таким образом утверждение 1) доказано.

Докажем теперь утверждение 2). Имеем точную тройку

О -> XCj,q -+Oq^ Осл -> О, из которой непосредственно получаем:

+ n[h]t)

1 + п[/ф + d[i]t2 - (3d(n - 1) + 2)

П

Нам понадобится также формула для Эйлеровой характеристики пучка ?, доказывать которую мы не будем, так как доказательство есть простое, но длинное вычисление формулы Римана - Роха, которое требует только аккуратности.

Лемма 2.4. Пусть 3 — некоторый пучок на квадрике Q, ранга ткЭ^ = г с классами Черна с^З) = с\, сг(Эг) = с2 w сз(Эг) = сз, тогда

2j+2r +ГС1

n2

+ 3ci - c2 + c? + — r n+

| 2cj - 3cic2 + Зс3 [ 3(

В частности, при гкЭ7 = 2, гшее.м:

(ел + 3)п2 + f 3ci - с2 + cf

2с? - 3cic2 + Зс3 3(tj - с2) 13С1

+ + +

Следствие 2.4.1. Пусть 3 — пучок ранга 2 с классами Черна = 0, с2(Эг) = 1 и сз(Эг) = сз, тогда

Следствие 2.4.2. Пусть У — пучок ранга 2 с классами Черна d(5F) = 0, c2(iF) = 2 и сз(Эг) = сз, тогда

Х(У(1)) = 5 + |.

Также нам понадобится Лемма о неотрицательности третьего класса Черна рефлексивного пучка на квадрике Q ранга 2. Эта лемма является аналогом Леммы 2.6 из [14], там доказывается тот же факт для Р3.
Лемма 2.5. Пусть ? — рефлексивный пучок ранга 2 на Q. Тогда с3(?) = ^(S^^S.Oq)). Го есть с3(?) ^ 0, и с3(?) = 0 тогда и только тогда, когда ? локально свободен.

Доказательство. Здесь, несмотря на то, что факт верен для любого рефлексивного пучка, мы будем рассматривать только пучки с ci(?) = 0, так как именно они нас будут интересовать в дальнейшем.

Замети сразу, что в этом случае (см. [14, proposition 1.10])

?v~?®(det?)-1 = ?. (2.4)

Рассмотрим локально свободную резольвенту пучка ?. В силу его рефлексивности, она будет иметь длину два:

0 -> ?i ->- ?0 -)• ? -> 0. (2.5) Очевидно следующее соотношение:

„ /е\ с*(?о) /о лч

С((?) = ^)- (2-6)

С другой стороны, имеем двойственную к последовательности (2-5)

0 -> ?v-^> ,CVO -> ?vj -^ ?ж^(?,Оо) -> 0,

из которой, в силу (2.4), следует

где с^(-С^) = c_t(,Ci), в силу локальной свободы пучков ?*, и, по Лемме 2.2, ь(Ы}(е.,Оо)) = 1 + 2n[p]t3, где п = /г0(?я; Таким образом предыдущая формула принимает вид:
Другими словами

+ (2п - с3(?))[р]*3-То есть с3(?) = п = ^(8x^(8,, OQ)). П

В работе мы будем пользоваться приведенным ниже определением спектра рефлексивного пучка ранга два с нулевым первым классом Черна. Подробно спектры рефлексивных пучков описаны в работе Айна и Солса [11]. Приведенная ниже Лемма 2.6 есть несколько упрощенная Теорема 2.2. из вышеуказанной работы.

Лемма 2.6. Пусть ? — стабильный рефлексивный пучок ранга 2 на квадрике с ci(?) = 0. Тогда существует единственный набор т = с2(?) целых чисел {fci,... km},называемый спектром пучка ?, удовлетворяющий следующим свойствам:
Пусть ? = ф <9pi(fci)

1) a) /i1(?(n)) = Н°(Цп + 1)) для всех п < -1. б) h2(E(n)) = Ь}(Цп-\-1)) для всехп ^ -2.

2) а) Если некоторое число к > 0 лежит в спектре, то и все

числа 0,1,..., к — 1 тоже лежат в спектре.

б) Если некоторое число к < 0 лежит в спектре, то и все числа — 1, —2,..., к + 1 тоже лежат в спектре.

4) Если ? — векторное расслоение, то {—ki — 1} =

Доказательство см. [11, стр. 19]

Следующая лемма дает нам все возможные спектры интересующих нас пучков
Лемма 2.7. Пусть ? — стабильный рефлексивный пучок ранга 2 на квадрике с ci(?) = 0 и сг(?) = 2. Тогда есть ровно три возможных различных спектра ?:

1) {0,1}, ес/ш с3(?) = 4,

2) {0,0}, ес/шс3(?) = 2, 5; {0,-1}, ес/ш с3(?) = 0.

Доказывается Лемма простым перебором.

Лемма 2.8. Пусть ? — стабильный рефлексивный пучок ранга 2 на квадрике с ci(?) = 0 и С2(?) = 1. Тогда его спектр равен {0}, а сз(?) = 1.

Доказывается Лемма также простым перебором.
3. Модельный пример: однопараметрическое семейство

расслоений с вырождением в стабильный пучок с особенностью.

Оттавиани и Шурек в [24] показали, что любое расслоение Е на квадрике Q с ci(E) = 0 и сг(Е) = 2 является когомологией следующей монады:
где / : Oq(-I) -> 4Oq и д : 4(9q ->• Oq(1) — линейные отображения с матрицами А и Вт соответственно, где А, 1? ? Ма^Х4(к), и АВТ кососимметрическая 5 х 5-матрица. Если АВТ ? V4 \ G, то точка (х), где х — решение систем Атх = О и Втх = 0 попадет на квадрику, и мы будем иметь последовательность точную, везде, кроме второго члена:
Пусть С Э 0 — гладкая кривая, для которой заданы отображения f: С -> Ма?бх4(к) : t ь-> At и 0 : С ->¦ Ма*5х4(к) :ty-+Bt такие, что .A*i?7 — кососимметрические матрицы. То есть f) : С —)¦ Р9 \ G : t ь* (Л^В4Т) — корректно определенное отображение. Пусть также f и g таковы, что f) — вложение, причем Ро = f)(0) G V4 \ G и кривая J)(C) пересекает V4 в точке Pq ? G трансверсально. Нетрудно видеть, что такая тройка (С, f, q) всегда найдется. Отображения f и 0 могут быть заданы морфизмами f : Oq(—1) Kl
Ос и- 4Oqxc и g : 4<9qX(7 »->• ^q(I) И Ос- Рассмотрим Q х С, из (3.1) получим следующую последовательность, также как и (3.2) точную во всех членах, кроме второго:
где Аох = Вох = О, х G Qo, %о = (я, О) е Q х С, и Е := kerg/imf — пучок на Q х С. Пусть Е* = Е® 6>q4, где Qt = Q x {t} С Q х С.

Предложение 3.1. 1) Пучки Ео г* ?о связаны следующей точной последовательностью: 0 —> Ео —>¦ во -> кх —>• О #,) Семейство {Е^} — плоское над С.

Доказательство. Рассмотрим дисплей последовательности (3.3):

О 0 (3.4)

О—*Oq(-1)HOc---kerg-----Е----О

О—*Oq{-1)MOc—-4<9qxc7—-cokerf

I I

img
0 0

и точную последовательность:

0—-imfl—^Oq(I) HC?c—"k*o—"°' (3-5)

где (3.5) —просто вторая часть последовательности (3.3). Умножим (3.5) тензорно на Oq0 (Qo := Q x {0} и ®Oq0 := <8)Oq № k{0}),
и, заметив, что Qo — Q, получим точную последовательность:

... -> Тог2(кЖо, Oq0) -» Ton(im0, Oq0) -»-

-+ Ton(OQ(l) В Ос, Oq0) -> Tontk^, OQJ ->

>i!Lx-i'Q. (3.6)

Заметим далее, что Тог>2(кх0. ^Qo) = ° и Tori(OQ(l) В Ос, <9q0) = О, тогда первая часть последовательности (3.6) примет вид:

О -> Ton(imfl, GQo) -)> 0, откуда Tori(im0, Oq0) = 0. (3.7) Рассмотрим стандартную точную последовательность:

0 -> Ос(-{0}) -А Ос ^ ко -+ 0. (3.8)

Если С — аффинная кривая, то все дивизоры на С линейно эквивалентны нулю, и Ос(—{0}) = Ос- Тогда умножая последовательность (3.8) на Oq0, получим последовательность:

0 -> Oqxc -» Oqxc -> Oq0 -> 0.

Умножая ее тензорно на к^ и заметив, что Tori(OQXc,kXo) = 0, получим:

0 -> Ton(OQ0, кхо) -^ кхо ^^ кхо ^-> кхо -> 0.

Зная, что c*i сюръективно, получим что а\ = id, поэтому ач = 0, откуда аз = id, следовательно Tori(OQ0,ka;0) = kXo. Далее, вспоминая (3.6), получим точную последовательность
Умножив вторую вертикальную точную последовательность из дисплея (3.4) на Oq0 и вспомнив что Tori(img, Oq0) = 0 (3.7), получим:
Список литературы
Цена, в рублях:

(при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)		 1425
Скачать бесплатно 23527.doc 





Найти готовую работу


ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:


Связаться

Доставка любой диссертации из России и Украины

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ


Ссылки:

Выполнение и продажа диссертаций, бесплатный каталог статей и авторефератов

Счетчики:

Besucherzahler
счетчик посещений

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.