Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Индексы 1—форм, обобщенные результанты и многогранники Ньютона

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Индексы 1—форм, обобщенные результанты и многогранники Ньютона

Количество страниц	98

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23547.doc

Содержание	Содержание Введение 2 Глава 1. Приложения основных результатов 8 1.1. Приложения к инвариантам комплексных особенностей 8 1.2. Приложения к инвариантам вещественных особенностей 21 1.3. Приложения к обобщенным результантам... 29 Глава 2. Предварительные сведения 38 2.1. Индексы пересечения... 38 2.2. Вееры, многогранники и объемы . . ... 40 2.2.1. Определения... 40 2.2.2. Некоторые вычисления... 44 2.2.3. Смешанный объем пар многогранников... 51 2.3. Гладкие торические многообразия ... 54 2.3.1. Определения... 54 2.3.2. Главные части сечений линейных расслоений . . 59 2.3.3. Индексы пересечения на торических многообразиях 63 Глава 3. Результантные циклы 70 3.1. Определение... 70 3.2. Торические результантные циклы... 72 3.3. Основные результаты... 77 3.3.1. Индекс пересечения результантных циклов ... 77 3.3.2. Разрешение особенностей результантного цикла 80 3.3.3. Результантные циклы и индексы 1-форм... 88 Литература 98 Введение В этой работе индексы пересечения аналитических множеств некоторого специального вида (результантные циклы, определение 3.1) выражаются через многогранники Ньютона определяющих их наборов функций при условии, что главные части функций находятся в общем положении. Частными случаями результантных циклов являются полные пересечения и множества максимальной коразмерности точек вырождения голоморфных матриц. Частными случаями индексов пересечения таких множеств являются индекс Пуанкаре-Хопфа особенности векторного поля, индекс Гусейн-Заде-Эбелинга набора ростков 1-форм на изолированной особенности полного пересечения ([1], [2]) и вычет Сувы набора сечений векторного расслоения в изолированной точке их линейной зависимости ([10]). Основные результаты работы позволяют вычислять эти инварианты особенностей в терминах многогранников Ньютона, дают описание многогранника Ньютона обобщенного результанта, дополняющее [19] и [26], а также позволяют получить новую форму ответа в некоторых известных формулах для инвариантов особенностей в терминах многогранников Ньютона. Результаты работы основаны на торическом разрешении особенностей ростка результантного цикла, обобщающем конструкции Хованского [13] в случае гиперповерхности и Ока [9] в случае полного пересечения. Кроме индекса пересечения результантных циклов, с помощью этого обобщения выражены в терминах многогранников Ньютона ^-функция монодромии голоморфной функции на ростке результантного цикла (что обобщает результаты [5], [7] и [9] в случае полного пересечения), радиальный индекс ростка 1-формы на особенности результантного цикла ([3], [4]), а также перенесены на результантные циклы результаты работы [14] о полных пересечениях в комплексном торе. Получены также вещественные аналоги некоторых методов и результатов работы. История темы работы такова. В начале семидесятых годов В. И. Арнольд возродил интерес к следующему обобщению понятия старшего члена ряда Тейлора аналитической функции одной переменной. Множество степеней мономов от п переменных - положительный октант Z" решетки Z". Для ростка аналитической функции / : (Кп, 0) —>¦ (К, 0), где К = С или R, рассмотрим множество А С Z" степеней мономов, входящих в ряд Тейлора / с ненулевыми коэффициентами. Выпуклая оболочка всех степеней вида а ¦+- b, a G А, Ь G Щ. называется многогранником Ньютона функции /. Объединение его ограниченных граней называется диаграммой Ньютона функции / и является обобщением степени старшего члена ряда Тейлора одной переменной. Сумма всех мономов ряда Тейлора / со степенями из диаграммы Ньютона называется главной частью функции / (это по определению многочлен) и является обобщением старшего члена ряда Тейлора одной переменной. (Ньютон рассматривал случай п = 2 - многоугольники Ньютона; после этого многоугольники Ньютона использовались при изучении кривых на плоскости.) Анализируя эмпирический материал, накопленный теорией особенностей, Арнольд предположил, что целочисленные характеристики диаграмм Ньютона (количества целых точек, объемы граней) геометрически связаны с инвариантами особенностей функций. В 1975 г. А. Г. Кушниренко получил первые общие результаты в этом направлении - в работе [5] он нашел число Милнора ростка аналитической функции с данным многогранником Ньютона и главной частью общего положения. Он также рассматривал глобальный аналог поставленной задачи, когда вместо ростка функции рассматривается многочлен Лорана на комплексном торе, а его многогранником Ньютона называется выпуклая оболочка степеней его мономов. Кушниренко нашел эйлерову характеристику неособого множества уровня многочлена Лорана общего положения с данным многогранником Ньюто- на, а Д. Н. Бернштейн обобщил этот результат, вычислив эйлерову характеристику совместного множества уровня нескольких многочленов Лорана общего положения с данными (может быть различными) многогранниками Ньютона. Кушниренко использовал алгебраическую технику. Например, число Милнора в [5] он искал как размерность соответствующего локального кольца. Бернштейн использовал более геометрический подход. Например, в [12] он рассматривал однопараметрическое шевеление исходной системы полиномиальных уравнений, что позволяло от подсчета суммарной кратности решений системы перейти к подсчету однократных кривых, по которым решения распадаются. Количество этих кривых можно найти, подсчитав количество "концов этих кривых на бесконечности", что сводится к решению задачи, аналогичной исходной, в размерности, на единицу меньшей. Поэтому можно применить индукцию по размерности. Очень полезной оказалась идея А. Г. Хованского решать задачи, связанные с многогранниками Ньютона, на языке торических многообразий. Торические многообразия можно рассматривать как обобщение проективных пространств - они получаются склейкой карт с помощью мономиальных отображений. В работе [13] Хованский построил такое разрешение особенности функции с главной частью общего положения, что пространство разрешения является гладким торическим многообразием и строится по многограннику Ньютона функции (в [13] описан также глобальный аналог этой конструкции). С помощью этой конструкции в глобальном случае Хованский провел подробное исследование [14] полных пересечений на комплексном торе, заданных уравнениями с главными частями общего положения (это исследование далеко обобщает выражение эйлеровой характеристики полного пересечения через многогранники Ньютона уравнений, найденное Берн-штейном). Торические разрешения Хованского [13] помогают выражать через многогранники Ньютона инварианты особенности, которые можно определить в терминах разрешения особенности: торическое разрешение сводит локальную задачу к соответствующей глобальной задаче на компонентах исключительного дивизора, которая обычно решается легче исходной. Например, формула Н. А'Кампо [6] выражает число Милнора и ^-функцию монодромии особенности функции в терминах топологии разрешения особенности. С помощью этой формулы и то-рических разрешений А. Н. Варченко в работе [7] вычислил ^-функцию монодромии особенности функции с главной частью общего положения в терминах ее многогранника Ньютона, а затем М. Ока обобщил этот результат на изолированные особенности полных пересечений в работе [9]. Также с помощью торических разрешений были выражены через многогранники Ньютона многие другие инварианты особенностей - асимптотика осциллирующих интегралов [8] и т. д. Глобальный вариант идей Арнольда (многогранники Ньютона) и Хованского (торическая компактификация комплексного тора по многограннику Ньютона) был также использован Гельфандом, Капрановым и Зелевинским при изучении многомерных результантов. В книге [19] о многомерных результантах и дискриминантах описан, например, многогранник Ньютона N' некоторого обобщения дискриминанта многочлена с данным многогранником Ньютона N. Оказывается, N' - вторичный многогранник многогранника N (грубо говоря, вершины N' - это триангуляции N). Доказательство проводится с помощью алгебраической техники. Штурмфельс провел аналогичное исследование [26] для обобщенного результанта п многочленов от п — 1 переменной с данными многогранниками Ньютона. Последнее время в разных работах (например, [1], [2], [3], [4], [10]) рассматриваются инварианты особенностей наборов сечений векторных расслоений, которые обобщают индекс Пуанкаре-Хопфа особой точки векторного поля (в том смысле, что участвуют в обобщениях формул типа Пуанкаре-Хопфа на многообразия с особенностями, произвольные характеристические числа, произвольные векторные расслоения и т. д.) Исходная цель данной работы состояла в том, чтобы научиться вычислять инварианты такого типа по многогранникам Ньютона компонент ростков сечений. Идея такого вычисления состоит в следующем. Искомый инвариант особенности набора сечений представляется как индекс пересечения некоторых дивизоров на проективизации расслоения, двойственного к данному - эти дивизоры состоят из гиперплоскостей, ортогональных данным сечениям. Найти индекс пересечения этих дивизоров можно за счет того, что тотальное пространство проективизации ростка векторного расслоения является ростком торического многообразия. Индексы пересечения ростков дивизоров на торическом многообразии можно искать с помощью шевелений, похожих на метод Д. Н. Берн-штейна, при которых пересечения этих дивизоров уходят с "абсолюта" торического многообразия по однократным кривым. Кривые, по которым они уходят, можно подсчитать, найдя количество их "концов" на исключительном дивизоре подходящего торического разрешения "абсолюта". Работа состоит из следующих частей. В главе 1 сформулированы следствия основных результатов работы для некоторых известных инвариантов особенностей и многомерных результантов. В разделе 2.1 определяется топологический аналог групп алгебраических циклов многообразий над С, с помощью которого удобно будет проводить некоторые вычисления с индексами пересечений (подробности см. в [18]). В разделах 2.2 и 2.3 вводятся необходимые обозначения и одновременно напоминаются в удобной нам форме и общности некоторые факты о многогранниках и торических многообразиях из работ Хованского [14], [13] и Данилова [16] (факты, которые приводятся без доказательства, доказаны в этих работах). В частности, в разделе 2.2.3 определяется "относительный" вариант смешанного объема, с помощью которого в разделе 2.3.3 (теорема 2.3) индексы пересечения дивизоров на некомпактных торических многообразиях выражаются в терминах многогранников Ньютона. В разделах 3.1 и 3.2 определяются результантные циклы и изучаются их простейшие свойства. В разделе 3.3.1 индексы пересечения торических результантных циклов представляются как индексы пересечения дивизоров на некомпактных торических многообразиях (лемма 3.6). Применение к этому случаю теоремы 2.3 дает основной результат работы - теорему 3.1. В разделе 3.3.2 строится торическое разрешение изолированной особенности результантного цикла (теорема 3.2) и дается его приложение к вычислению числа Милнора и ^-функции мо-нодромии функции на особенности результантного цикла (лемма 3.8), а также некоторых дискретных инвариантов результантных циклов в комплексном торе (лемма 3.10). В разделе 3.3.3 объясняется связь индексов пересечения результантных циклов с индексами Гусейн-Заде — Эбелинга, и с помощью результатов разделов 3.3.1 и 3.3.2 выражаются в терминах многогранников Ньютона индекс 1-формы на изолированной особенности полного пересечения (теорема 3.3) и радиальный индекс 1-формы на особенности результантного цикла (теорема 3.4 и замечание после нее). Я благодарен своему научному руководителю профессору С. М. Гусейн-Заде за постановку задачи, полезные обсуждения и постоянное внимание к работе. Глава 1. Приложения основных результатов. 1.1. Приложения к инвариантам комплексных особенностей Через Сп обозначается га-мерное комплексное пространство с системой координат (xi,...,xn)} Zn отождествляется с множеством мономов от xi,...,xn, W1 = Zn <2> К, R" - положительный октант. Для упрощения обозначений мы не будем различать векторное пространство Ж" с системой координат (zi,...}zn) и двойственное к нему. Для / С {1,...,п} обозначим через N1 пересечение множества N С R" с координатной плоскостью {zi = 0, i $¦ /}. Все рассматриваемые в Ш.п многогранники выпуклы и имеют целочисленные вершины, если не оговорено обратное. Введем следующие обозначения: Ny - опорная грань {х Е N\ry(x) = min7(y)} многогранника N С Кп относительно ковектора 7 ? Л&п> -W(t) - значение 7 на точках этой грани (функция N(-) называется опорной функцией многогранника N), ON - объединение ограниченных собственных граней многогранника (его диаграмма Ньютона), N* - множество примитивных ковекторов, опорных к ограниченным гиперграням многогранника, Vol(«, ...,•)- смешанный объем многогранников, Ni + N2 — сумма Минковского многогранников N\ и N2 (эти определения напоминаются в разделе 2.2.1). Множество многочленов (соответственно, множество ростков голоморфных функций) на Сп со степенями мономов (разложения в степенной ряд) из N С\Ъп будем обозначать C[iV] (соответственно C{iV}). Сумму тех мономов элемента / G C[N] (соответственно C{7V}), которые соответствуют целым точкам множества Л С Мп, обозначим /\|л, многочлен f\g^ назовем главной частью / относительно многогранника N. Многогранником Ньютона многочлена называется выпуклая оболочка степеней его мономов. Многогранником Ньютона ростка функ- ции / : (Cn,0) -» (С,0) называется минимальный многогранник N с областью определения опорной функции Ж", такой что / € C{i\T}-. Для функции / ? C{iV} с главной частью общего положения многогранник Ньютона совпадает с iV, поэтому результаты этой работы (например, следствия 1.1-1.6) можно рассматривать как вычисление инвариантов особенностей в терминах многогранников Ньютона определяющих их функций. Известно, что индекс Пуанкаре-Хопфа изолированного нуля голоморфного векторного поля выражается через многогранники Ньютона компонент поля (см., например, [9]): Следствие 1.1. Пусть vi ? C{N{},i = 1, ...,п, где JV,- С R" -многогранники, и множества R" \ Ni ограничены. Тогда в случае общего положения главных частей функций V{ индекс векторного поля (v\,..., vn) в нуле корректно определен и равен mdPH(Nu ...,Nn) = (n-l)\ а в случае произвольных главных частей индекс не меньше указанного выражения (или не определен). Общее положение означает, что для любого ковектора j E MJ1 с положительными компонентами множество {v\\n2 = ... = уп\х% = 0} содержится в объединении координатных плоскостей. Этот факт также является частным случаем леммы 2.19 (нужно в обозначениях этой леммы положить Дг- = М", Д,- = Ni, Sj = /j). Отсюда следует формула Кушниренко [5] для числа Милнора особой точки голоморфной функции /(ж1,..., хп). Для доказательства нужно положить Vi = Xio?- и применить следствие 1.1 к каждому слагаемому правой части равенства Напомним определения других инвариантов особенностей, которые в этой работе выражаются в терминах многогранников Ньютона. Определение 1.1. Пусть ги1'-7, г = 1,... ,Ij - сечения ростка векторного расслоения ранга kj ^ Ij над (С",0), j — 1,..., J, п = Ylj{hj — -^7 -hi), w только в нуле для каждого j набор ги'-7, г = 1,..., Ij линейно зависим. Тогда, если зафиксировать тривиализации ростков расслоений, эти сечения w1 = {w%{°,... ,гу?7) определяют отображение маленькой сферы 52""1 вокруг нуля в Сп в многообразие C^i1*^ \ S, где C^IiXki - пространство наборов матриц размеров Ij х kj, а подмножество ? состоит из наборов вырожденных матриц. По соображениям размерности H2n-i{^ j jX \ S) = Z. Индексом Гусейн-Заде - Эбелинга набора сечений б начале координат назовем образ фундаментального цикла сферы S271-1 в гомологилх H2n-i(C^I^k^ \E). Замечание. Если в обозначениях этого определения /i = 1, то «Л1 = 0 - полное пересечение, и вместо отображения ((ги1]1),..., (гу1"7,..., ги7-7'7)) сферы 52""1 в пространство наборов невырожденных матриц можно рассматривать отображение ((¦ш1'2,..., г//2'2),..., (w1>J,..., wIjiJ)) зацепления особенности {ги1'1 = 0}. Частным случаем при 1\ = 1, J = 2 является вычет Сува [10] набора сечений (ги1>2,..., it/2'2) векторного расслоения на ростке полного пересечения ги1'1 = 0. Еще один важный частный случай определения 1.1 - индекс Гусейн-Заде - Эбелинга набора 1-форм на изолированной особенности полного пересечения ([2], в случае одной 1-формы - [1]). Определение 1.2. Пусть /i,..., /t - ростки голоморфных функций на (Сп,0), такие что f\ = ... = Д = 0 - изолированная особенность полного пересечения, то есть 1-формы dfi,...,dfk линейно независимы в точках множества {/i = ... = /fc = 0} \ {0}. Пусть ц/л, г = 1,..., Ij, j = 1,..., J, Ij ^ n, X)j(n — Ij + 1) = n — к - ростки голоморфных 1-форм на (С",0), и для любой точки х Е {/i = ... = fk = 0} \ {0} есть номер j, такой что ограничения wI)J, ъ = 1,..., Ij на {/i = ... = fk = 0} линейно независимы в х. Индексом Гусейн-Заде - Эбелинга набора 1-форм о/'-7 на изолированной особенности полного пересечения f\ = ... = fk = 0 назовем индекс Гусейн-Заде - Эбелинга набора сечений ((w1'1, • • •, с/1'1, d/ii • • • j ^/a)? • • •} (^1)l7j • • • j tJ7-7'"7, dfi» • • • j d/fc)» (/i» • • •»/fc)) • Этот индекс - обобщение индекса Пуанкаре-Хопфа в том смысле, что сумма индексов Гусейн-Заде-Эбелинга набора 1-форм на локально полном пересечении V с изолированными особенностями равна некоторому характеристическому числу сглаживания V. В частности, сумма индексов одной 1-формы на V равна эйлеровой характеристике сглаживания V. Разность индекса 1-формы на изолированной особенности полного пересечения и числа Милнора этой особенности обобщается на случай 1-формы на произвольной изолированной особенности аналитического множества ([3]): Определение 1.3. Радиальным индексом Гусейн-Заде - Эбелин-га вещественной 1-формы ы^ на ростке изолированной особенности аналитического множества (V,0) называется число 1 + s, где s -сумма индексов нулей непрерывной 1-формы ?/r, которая вне некоторой окрестности нуля совпадает с ljr, а внутри некоторой меньшей окрестности нуля совпадает с дифференциалом вещественной непрерывной функции, гладкой вне нуля и имеющей в нуле строгий минимум. Радиальным индексом Гусейн-Заде - Эбелинга комплексной 1-формы на изолированной особенности п-мерного комплексно-аналитического множества (V,Q) называется радиальный индекс ее овеществления, умноженный на (—1)п. Здесь овеществление Re cj комплексной 1-формы ш определяется равенством (Rea;)(v) = Re(u>({T)) для любого касательного вектора v (в частности, Red/ = dRef для голоморфной функции /). Лемма 1.1 ([3]). 1) В случае гладкого V радиальный индекс 1-формы (вещественной или комплексной) совпадает с индексом Пуан-каре-Хопфа. 2) Радиальный индекс дифференциала dg голоморфной функции на изолированной особенности аналитического множества V равен (—1)п(1 — Е), где Е - эйлерова характеристика неособого слоя ростка g на V. 3) Если V = {/i = ... = fk = 0} С Cn+fc - изолированная осо- бенностъ полного пересечения, то радиальный индекс дифференциала dg голоморфной функции на V равен числу Милнора отображения (g,fi,---,fk) '- C"+fc —> Ck+1, а радиальный индекс произвольной 1-формы на V равен ее индексу (определение 1.2) минус число Милнора отображения (/i,..., Д) : Сп+к —• Ск. Следующие формулы выражают индекс Гусейн-Заде - Эбелинга и радиальный индекс в терминах многогранников Ньютона. Следствие 1.2. Пусть в обозначениях определения 1.1 wx?3 ? С{Щ}, где Щ С R" - многогранники, и множества R" \ Щ ограничены. Тогда в случае общего положения главных частей функций w%jf индекс Гусейн-Заде - Эбелинга набора сечений к/'-7 в нуле корректно определен и равен а в случае произвольных главных частей индекс не меньше указанного выражения. Доказательство следует из леммы 3.11 и пункта 2 теоремы 3.1. Пункт 1 этой теоремы дает ответ более сложного вида в случае, когда многогранники Ньютона функций w]f зависят от г. Следствие 1.2 имеет следующий глобальный аналог. Следствие 1.3. Пусть w1^ G C{N3k}, k = 1,..., kj, j — 1,..., J -многочлены Лорана на комплексном торе (С \ {0})п, где п — и N3k ? W1 - ограниченные многогранники. Тогда в случае общего положения коэффициентов w%^3 количество точек х 6 (С \ {0})п, таких что матрицы (il>iJ(:e)), j = 1,..., J вырождены, конечно и равно Б случае произвольных главных частей это количество не больше указанного или бесконечно. Это частный случай пункта 2 леммы 3.10 (там приведен ответ более сложного вида в случае, когда многогранники Ньютона многочленов w^3 зависят от г). Для выражения индексов 1-форм в терминах многогранников Ньютона нужны следующие определения. Пусть Nq С М" - целочисленный многогранник, обозначим через С®т«{.ЛГо} множество ростков 1-форм ш = ^У1=1Ш{(1х{ на (С",0) таких, что LJiXi G C{iVo}. Для множества А С No и 1-формы и = Y^i=\ui^xi ^ C(g,r«{A^o} определим 1-форму ^Ц = mr=i(CJU)^:c* равенствами {ш\а){Х( = (с^ж,-)\|л. Определение 1.4. Главной частью 1-формы из G С®г{-^о} относительно No называется 1-форма с полиномиальными компонентами uj\dN0 € ^®т[0Щ] (dNo - объединение ограниченных граней многогранника No). Многогранником Ньютона ростка 1-формы и G С®г{К"} на (Сп,0) назовем минимальный многогранник Щ с областью определения опорной функции Е"; такой что ш G С®т{Щ}. Замечание. Очевидно, что для любого многогранника No С М" дифференциал ростка функции из C{iVo} содержится в С®т{^о}, то есть многогранник Ньютона функции равен многограннику Ньютона ее дифференциала. Также многогранник Ньютона обратного образа 1-формы при мономиальном отображении равен образу многогранника Ньютона 1-формы при соответствующем линейном отображении. Определение 1.5. Пусть N,Ni,...,Nk С RJ - целочисленные многогранники с областью определения опорной функции М". Набор, состоящий из 1-формы ш ? ^®t{N} и к функций fi ? С{ЛГг-}, г = 1,..., к на (Сп, 0) назовем набором с невырожденными главными частями, если для любого ковектора -у G М.п с положительными компонентами ноль является неособым значением отображения v?> • • • > /fcl/^) : (С \ {0})" ~~** &> и ограничение 1-формы u\ni на Ny — ... = $ь\щ = 0} П (С \ {0})" не имеет нулей. Очевидно, выполнение этого условия действительно зависит только от главных частей о;, /i,..., Д и имеет место в случае общего положения. Для многогранников No,...,Nk С К+ определим линейную функцию Voljv0l...,j\r* : R[[so,...,sfc]] -> Е равенствами Vo\No,...,NkFlylisij = Vo\(Ni1}..., Nim) и Voljv0,...,Ar,. = 0 на мономах степени, отличной от т. Обозначим через ieseg(No,..., Nk) сумму Е а через //'(АГ0,..., Nk) сумму Следствие 1.4. Пусть ft 6 C{iV,}, ш G C®T{No}, где Nt G R+ -многогранники, и множества R"\iVt-, i = 0,..., k ограничены. Тогда в случае невырожденности (определение 1.5) главных частей функций fi и 1-формы ш индекс Гусейн-Заде - Эбелинга ш на полном пересечении /i = ... = fk = 0 в нуле корректно определен и равен mdEG{N0; Nu..., Nk) = (-1)п~к а в случае произвольных главных частей индекс не меньше указанного выражения. Также в случае общего положения главных частей радиальный индекс Гусейн-Заде - Эбелинга 1-формы и на f\ = ... = fk = О б нуле корректно определен и равен ..., Nk) = (-I)»"-1 ? //«..., N') + (-1) Приведем два способа доказательства, допускающие обобщения в разных направлениях. Доказательство 1. Первая часть следует из теоремы 3.3 (там дан ответ более сложного вида для 1-формы с произвольными многогранниками Ньютона компонент; в данном случае этот ответ упрощается с помощью леммы 2.6). Вторая часть следует индукцией по к из того, что по лемме 1.1 индекс ш на /i = ... = Д = 0 равен сумме радиальных индексов о; на /i = ... = Д = 0 и rfffc на /i = ... = fk-i = 0, а indEG(JV0; Nu...,Nk)= /i(iV0, Nlt...t Nk) + fi(Nb ...,Nk).D Доказательство 2. Вторая часть следует из теоремы 3.4 (там дан ответ для 1-формы на изолированной особенности более общего вида). Первая часть следует из того, что по лемме 1.1 индекс w на Д = ... = fk = 0 равен сумме радиальных индексов и на f\ — ... = fk = 0 и dfk

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23547.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.