Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Обратные задачи для параболический уравнений высокого порядка

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Обратные задачи для параболический уравнений высокого порядка

Количество страниц	92

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23591.doc

Содержание	Содержание ВВЕДЕНИЕ 4 ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА 23 §1. Линейная обратная задача с финальным переопределением 23 1.1 Решение линейной обратной задачи с помощью прямого перехода к уравнению составного типа 24 1.2. Решение линейной обратной задачи с помощью перехода к нагруженному уравнению составного типа 32 §2. Линейная обратная задача с интегральным переопределением для одного класса параболических уравнений высокого порядка 38 2.1 Решение линейной обратной задачи с помощью прямого перехода к уравнению составного типа 38 2.2 Решение линейной обратной задачи с помощью перехода к нагруженному уравнению составного типа 47 2.3 Линейная обратная задача с составным внешним воздействием 55 ДОПОЛНЕНИЕ 1 62 ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА 63 §1. Обратная задача с неизвестным коэффициентом при решении в случае интегрального переопределения 63 §2. Обратная задача с неизвестным коэффициентом при решении в случае финального переопределения 76 §3. Обратная задача с неизвестным коэффициентом и неизвестной правой частью 82 ДОПОЛНЕНИЕ 2 91 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 92 ВВЕДЕНИЕ Уравнения параболического типа встречаются во многих разделах математики и математической физики. Поиск решений дифференциальных уравнений с частными производными второго и более высоких порядков всегда находился в сфере повышенных интересов многих выдающихся математиков на протяжении уже не одного столетия. Так, классические уравнения математической физики рассматривались в восемнадцатом веке. В настоящее время известно немало случаев, когда потребности практики приводят к задачам определения коэффициентов дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) по некоторым известным функционалам от его решения. Такие задачи получили название обратных задач математической физики. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности, таких как сейсмология, разведка полезных ископаемых, биология, медицина, контроль качества промышленных изделий и т.д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики. Вопросы разрешимости тех или иных обратных задач для параболических уравнений изучались во многих работах - отметим здесь прежде всего работы А.И. Прилепко [37-48], [72], Ю.Е. Ани-конова [1], [55-58], Б.А. Бубнова [11-12], Е.Г. Саватеева [50], Н.Я. Безнощенко [5-8], Ю.Я. Белова [9-10], Д.Г. Орловского [31-35], И.А. Васина [36], В.Л. Камынина [22-23], В.В. Соловьева [51-53], А. Ло-ренци (Италия) [64-65], [70], Н.И. Иванчова (Украина) [17-21], А.И. Кожанова [67-69] и других. Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов разрешимости линейных и нелинейных обратных задач для параболических уравнений высокого порядка. Методика исследования. Для поставленных задач доказываются теоремы существования и единственности регулярных решений. Линейная задача исследуется с помощью перехода к локальной краевой задаче для линейного уравнения составного типа и перехода к нелокальной краевой задаче для линейного "нагруженного" уравнения составного типа. Нелинейная краевая задача исследуется с помощью перехода к нелинейному "нагруженному" уравнению составного типа. Доказывается существование регулярного решения преобразованной задачи и возможность построения с помощью найденной функции решения исходной обратной задачи. Научная новизна и практическая ценность. Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях обратных задач для параболических уравнений высокого порядка. Значение работы также определяется прикладной значимостью исследуемых задач для решения различных проблем современного естествознания. Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на: 1. Научно-техническом совете Рубцовского индустриального института АлтГТУ им. И.И. Ползунова (филиал) (2000-2003 гг.) 2. Семинаре "Неклассические уравнения математической физики" (руководитель - доктор физ.-мат. наук, профессор Кожанов А.И.) (Новосибирск 2000-2003 гг.) 3. Семинаре "Избранные вопросы математического анализа" (руководитель - доктор физ.-мат. наук, профессор Демиденко Г.В.) (Новосибирск 2000-2003 гг.) 4. Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели". Челябинск. 2002. 5. Международной Школе-конференции "Обратные задачи: теория и приложения". Ханты-Мансийск. 2002. 6. На семинаре кафедры математического анализа Стерлита-макского государственного педагогического института (руководитель - доктор физ.-мат. наук, профессор Сабитов К.Б.) (Стерли-тамак 2004 г.) Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ, в которых отражено ее основное содержание [24-29]. Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, где дается краткое содержание работы, двух глав, разбитых на пять параграфов, и списка литературы. Нумерация формул - тройная: первая цифра указывает главу, вторая - номер параграфа, третья - номер формулы в нем. Объем диссертации составляет 102 страницы, включая список литературы, который состоит из 73 наименований. Содержание работы В главе 1 исследуется разрешимость линейных обратных задач для уравнений параболического типа четвертого порядка с неизвестной правой частью. Пусть Q есть прямоугольник {(ж, t) : 0 щ(х, t) + ихххх(х, t) + 7«(ar, i) = h(x, t)q(x) + f(x, t) (1) (7 > 0 — заданная постоянная). Рассмотрим задачу одновременного определения решения данного уравнения и правой части. В подобных задачах задается краевая информация, естественная для соответствующей прямой задачи и информация о дополнительных граничных условиях для функции и(х, t). В § 1 в качестве дополнительного граничного условия мы выбираем условие и(а?,Т)=0, 0<ж<1. (2) Обратная задача: найти функции u(x,t) и q(x), связанные в Q уравнением (1) при выполнении условия (2) и условий u(0it)=ux(Q,t)=u(l,t)=ux(l1t) = O, 0 u(a;,0) = 0, 0<ж<1. (4) Для исследования обратной задачи (1)-(4) мы воспользуемся двумя подходами. Первый подход основан на непосредственном переходе к уравнению составного типа. Пусть выполняется условие h(x,t)^0 (x,t)GQ. (5) Введем обозначения , ( 4\ ht{x,t) ихххх + 7«, сх{х, t) = v (, n[x,t) Вместо обратной задачи рассмотрим прямую краевую задачу: найти в Q решение уравнения Lut - а(х, t)Lu = fi(x, t), (6) удовлетворяющее условиям (2)-(4). Далее проводится исследование разрешимости краевой задачи (6), (2)-(4). Обознаим через Я пространство W^iQ) О ?<х>(0,Т; W22(0,1)). Теорема 1. Пусть выполняются условие (5) и условия 7 > 0, a(x,t) > О, at{x,t) < О, axx(x,t) < О, Gxxxxfat) > 0 при (x,t) e Q; fl(x,t), flx(x,t), flxx{x,t), flXxx{x,t), f\XXXx(x,t) e L2(Q), /i(o,t) = /i(i,t) - /i(o,t) = /ix(i,t) = o. Тогда обратная задача (1)-(4) имеет решение {u(x,t),q(x)} такое, что u(x,t) e H, ut(x,t) е Н, q{x) е ^(0,1). Далее исследуем исходную обратную задачу другим методом -методом, основанным на переходе к нелокальной краевой задаче. Пусть теперь выполняется условие Цх,Т)^0 х €[0,1]. (7) Вычислим функцию q(x), положив в уравнении (1) t = Т: щ(х,Т) - f(x,T) _ h(x,T) Положим С учетом этих обозначений получаем уравнение Щ + ихххх + ju = a(x, t)ut(x, Т) + F{x, t). (Г) В уравнении (1') положим t = 0. Получим равенство: щ(х,0) =a(x,0)ut{x,T) + F(x,0). (8) Далее продифференцируем уравнение (1') по переменной t; если ввести обозначение v(x, t) — ut(x, t), получим уравнение для функции v Щ + vxxxx + 7^ = at(x,t)v(x,T) + Ft(x,t). (9) Рассмотрим краевую задачу: найти решение уравнения (9), удовлетворяющее условиям (2), (3), (8). Уравнение (9) в литературе принято называть "нагруженным" уравнением [30], условие (8) есть нелокальное условие — условие, связывающее значения решения v(x,t) в различных точках границы. Таким образом, краевая задача (9), (2), (3), (8) представляет собой нелокальную краевую задачу для "нагруженного" параболического уравнения. В п.1.2 § 1 именно с помощью решения v(x,t) этой краевой задачи и будет построено решение и(х, t),q(x) исходной обратной задачи. Теорема 2. Пусть выполняются условия: а(х, 0) ? Р^(0,1), F(z,0) G W${0,1), at(x,t) e ?«>№), Ft(x,t) e L2{Q), а также одно из условий 7>0, \|\|a(x,eo(\|) 7>0, \|\|a(^0)i\|\|oo(0il) + 2T\|\|af(a:,0llL(Q) < 1; (П) 7 > 0, \|\|aM)HL(o,i) + f IM.)\|lLw) < !• (12) Тогда обратная задача (1)-(4) имеет решение {u(x,t),q(x)} такое, что u(x,t) 6 Я, щ(х,г) е Ну q{x) в Loo(0,1). Задача, которая будет исследоваться в § 2, также относится к классу линейных обратных задач, то есть таких задач, в которых вместе с решением неизвестной является и правая часть. Для нахождения правой части предлагается дополнительное условие -условие интегрального переопределения. Данная задача исследуется путем перехода к прямой задаче для нового уравнения. В прямоугольнике Q рассмотрим уравнение (1) и краевую задачу для него: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (3), (4). В качестве дополнительного условия переопределения мы выбираем следующее a(t)u(x, t)dt = 0,0 < х < 1. (13) Пришли к обратной задаче: найти функции u(x,t) и д(#), связанные в Q уравнением (1), при выполнении условий (3), (4), (13). Рассмотрим следующую вспомогательную задачу: найти функцию v{x,t), являющуюся в Q решением уравнения vxxxxtt - а(х, t)vxxxxt + A(x, t)vtt + B(x, t)vt = F^x, t), (14) удовлетворяющую условиям «(О,) - v{l,t) = tfe(O,t) = t7x(l,t) = О, v(x, 0) = vt(a?, 0) = 0, v(x, T) = 0, (15) где a(x,t), A(x,t),B(x,t),Fi(x,t) - заданные функции. Заметим, что (14) есть уравнение составного типа. Обозначим через V множество функций v(x,t) таких, что v € W?(Q)i Vxxxx € L2{Q), Vxxxxt 6 L2(Q), Vxxxxtt G ^2(Q) И ДЛЯ НИХ ВЫПОЛНЯЮТСЯ условия (6). Очевидно, что V есть банахово пространство; норму в V можно ввести равенством IMIv = (\HwHQ) + JQlvZxx + 4xxxt + Теорема 3. Пусть выполняются условия a{x,t) € C\Q), A(x,t) € C\Q), B(x,t) в C2{Q), , Flx e L2(Q), Fixx e L2(Q), Fi(0,t) € Fi(l,t) = Fla:(O,t) = FljB(l,t) = 0; a(x,^) > 0,Ом.(ж,) < 0 при х е [0,1]; oi + Л(ж, 0 + Bt(x, t) < 0 при (ж, ?) e Q; Л(ж,^) > a0 > 0 при (ж,^) G <5- Тогда задача (14)-(15) имеет решение v(x,t), принадлежащее пространству V. В п.2.2 § 2 исследуется решение линейной обратной задачи с помощью перехода к нагруженному уравнению составного типа. Вернемся к обратной задаче (1), (3), (4), (13). Введем обозначения , a(t) 2a'(t) ht{x,t) ~1 a(t) h(x,t)' a'{t)ht(x,t) a'(t) ht(x,t) a(t)h(x,t) T a(t) 7< h(x,t) Теорема 4. Пусть относительно введенных функций a(x,t), A(x,t), B(x,t) и Fi(x,t) выполняются все условия теоремы 3 и условия a(t) > «о > О» h(x,t) > hy > 0. Тогда обратная задача (1)-(4) имеет решение u(x,t),q(x) такое, что u(x,t) G V, Wt(a;, ?) G V, g(a;)€Loo(0,l). Покажем теперь, что обратная задача (1), (3), (4), (13) может быть исследована и иным методом - методом, основанным на переходе к так называемым "нагруженным" параболическим уравнениям. Введем обозначения: fi(x,t) = Jo a(T)f{x,r)dr, h\(x,t) — a(T)h(x,r)dr, P(x,t) = F(x,t) = f(x,t) /o h(x,t) hi{x,TY h(x,i)h(x,T) hi{x,T) Теорема 5. Пусть выполняется условие Нг{х,Т)фО (16) и условия 27 - 3Tmax[a(T)0(x, t)]2 > 0, (17) 72 - 3Tmax[(3(x,t)]2 f a'2{t))dt > 0. (18) Тогда обратная задача (1),(3), (4), (13) имеет решение u(x,t) 6 H,q{x)eL2(0,l). В п. 2.3 § 2 гл. 1 исследуется разрешимость обратной задачи с составным внешним воздействием. В прямоугольнике Q рассмотрим уравнение с неизвестной правой частью. щ(х, t) + uxxxx(x, t) + ju(x, t) = = $i(a?)MM) + q2{x)h2(x,t) + f{x,t), (19) где 7 > 0 - заданное положительное число. В качестве дополнительных условий переопределения выбираем следующие: HP ai(t)u(x,t)dt = O, ( a2(t)u(x,t)dt = 0. (20) JO В результате приходим к обратной задаче: найти функции u(x,t), qi(x) и q2(x), связанные в Q уравнением (19), при выполнении условий (3)-(4). Покажем, что обратная задача (19), (3), (4) может быть исследована методом, основанном на переходе к "нагруженным" параболическим уравнениям. Введем обозначения: гТ fl fl Pn{x) — I ai(t)hi(x,t)dt, (3u(x) = I a\(t)h2(x,t)dt, rp rp /^21 {x) — I a2(i)hi(x,t)dt, (322(x) = / a2(t)h2(x,t)dt. /i(a:) = f* ai{t)f(x,t)dt, h(x) = ? a2(t)f(x,t)dt. a2(x,t)= h2^l) Pn(x){322(x) - /312(x)j321(x)' Теорема 6. Пусть выполняется условие 0u(x)fci(x) - /З12(х){321(х) ф 0. (21) и условия 72 - T[ 72 - T[max \a\(x, t)(3222{x) j* d?(t)dt\- rp -mgx\al(x,t)f32l2{x)JQ o!}(t)dt\+ rp max.\c%(xit)Pl1(x)fQ a'i{t)dt\- rp - max \a\{x, t)^(яг) fQ d?{t)dt\] > 0 (22) 27 - Г[тах \a\{x, t)(3222{x)a\{T)\ - max \a\{xt t)/3J2{x)a22(T)\+ m&x\a2(x,t)(322l(x)a\(T)\] > 0 (23) Тогда обратная задача (19), (3), (4) имеет решение u(x,t) ? Я, Глава 2 посвящена исследованию разрешимости нелинейных обратных задач для параболических уравнений четвертого порядка. В § 1 главы 2 исследуется разрешимость обратной задачи с неизвестным коэффициентом при решении в случае интегрального переопределения. Обратная задача: найти функции u(x,t) и q(x), связанные в прямоугольнике Q уравнением щ (я, t) + uxxxx(x, t) + q(x)u(x, t) + чи(х, t) = f(x, t), (24) при выполнении условий u(x,0) = 0, же (0,1), (25) u(0,t) = v?oM> «(1,) = (Pi(t), ««(0,) = Фо(), 1^(1,) = ^1(), €(0,Г), (26) jn(t)u(x,t)dt ~ щ(х), х е (0,1). (27) Данную обратную задачу в литературе принято называть "обратной задачей с интегральным переопределением". Всюду ниже будем считать выполненным условие щ{х) >к>0, же [ОД]. (28) Определим функции и постоянные, которые понадобятся нам при исследовании разрешимости нашей обратной задачи.

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23591.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.