У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ
Заказать диплом, курсовую, диссертацию


Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Понравилось
Не понравилось





Книга жалоб
и предложений

 





Название Плюригармонический анализ Фурье и теория функций
Количество страниц 189
ВУЗ МГИУ
Год сдачи 2010
Бесплатно Скачать 23610.doc 
Содержание Содержание
Введение

Основные обозначения и определения 10

Работы автора по теме диссертации 13

Глава 1. Плюригармонический анализ мер 15

1.1. Меры Хенкина 18

1.2. Плюригармонические меры и сингулярные множества 26

1.3. Плюригармонические произведения Рисса 31

1.4. Ь2-обобщенные произведения Рисса 37

1.5. ?°°-обобщенные произведения Рисса 44

1.6. L2-допустимые мажоранты 52

1.7. Большие размерности 60

1.8. Многомерная теорема Ивашева-Мусатова 65

1.9. Сверточные степени срез-мер 73

Глава 2. Гладкие меры и их интегралы Пуассона 80

2.1. Гладкие меры на сфере 82

2.2. Меры Зигмунда и симметричные меры 88

2.3. Кубы и параллелепипеды 95

2.4. Гармонические продолжения 100

2.5. Критическая скорость убывания 112

Глава 3. Факторизация и задачи теории функций 119

3.1. Факторизационная теорема для класса Неванлинны 122

3.2. Ограниченные функции из малого пространства Блоха 126

3.3. Внутренние функции из малого пространства Блоха 137

3.4. Исправленные внешние функции и пространства Бесова 144

3.5. Слабо внешние внутренние функции 156

3.6. Циклические функции и теорема о короне 167

3.7. Слабо внешние функции с предписанным модулем 176

3.8. Операторы композиции и обратный сдвиг Лейбензона 183

Литература 189



Введение

v r Настоящая работа в первую очередь посвящена исследованию функций

и мер, заданных на единичной комплексной сфере

п>2.

Отметим, что сфера является однородным пространством, а именно, S = Ы{п)/1А{п — 1), где Ы(п) обозначает группу всех унитарных операторов на гильбертовом пространстве Сп.

Задачи гармонического анализа. Общие конструкции абстрактного гармонического анализа могут быть явно реализованы на сфере S в терминах пространств H(p,q), (p,q) Е Z+.

Определение. Зафиксируем размерность п. Векторное пространство Н(р, q) по определению состоит из однородных гармонических многочленов бистепени (р,q) Е Z+. Это означает, что рассматривае-мые полиномы имеют степень р по переменным z\, 22,..., zn, степень q по переменным ~z\,~z~2i ¦ • • 5~z~n и общую степень р + q. Тот же символ будет использоваться для сужения Н(р, q) на сферу S.

Часто Н(р, q) называют пространством комплексных сферических гармоник.

Обозначим символом а нормированную меру Лебега на сфере. От-

метим, что

L2(a)= 0 H(p,q). ()z2

Особенности гармонического анализа на S удачно иллюстрирует следующее правило умножения для пространств H(p,q): если / Е H(p,q) и д Е H(r, s), то произведение fg принадлежит сумме
где L = min(p, s) +111111(5, г). Доказательства сформулированных фак- тов и дальнейшие сведения о комплексных сферических гармониках изложены в главе 12 монографии [17].

Обозначим символом M(S) пространство всех комплексных регулярных борелевских мер на сфере S. Пусть Kpq(z,C>) — воспроизводящее ядро для пространства H(p,q) С L2(a). Тогда многочлен

fipq(z)= f

f s

называют H(p, д)-проекцией меры ft Е M(S). Обозначение spec(/j) используется для спектра меры \i ? M(S) в терминах комплексных сферических гармоник. А именно, по определению полагаем

spec(^) = {(p,q) ? Ъ\ : pn(z) #0, z G 5} .

Если п = 1 (одномерный случай), то многие пространства H(p,q) являются тривиальными: Н(р, q) = {0} при pq ф 0. Далее, в этом слу- чае имеет место равенство Kpq(z,Q = [z^j , поэтому многочлены [ipq непосредственно выражаются через коэффициенты Фурье: fJ>po(z) = fi(p)zP для р е Z+, z е Т = {С € С : |С| = 1}.

Всюду ниже будем отождествлять функцию / Е L1 (S) и меру fa E M(S). Таким образом, изложенные выше определения распространяются на функции из пространства Ll(S).

В первой главе диссертации решаются задачи гармонического анализа, мотивированные изучением общего принципа неопределенности и поиском количественных границ применимости данного принципа. А именно, вводится и исследуется понятие сингулярного спектрального множества (разделы 1.1-1.2). При этом естественно возникает вопрос о построении Q-плюригармонических сингулярных мер. Соот- ветствующая задача и ее обобщения, связанные с классической теоремой Ивашева-Мусатова, решаются с помощью плюригармонических произведений Рисса (разделы 1.3-1.9).

Вторая глава практически целиком посвящена изучению влияния ifj*, свойств меры на свойства ее интеграла Пуассона и наоборот. Кон-

кретные исследуемые свойства таковы: ограничения на модуль непрерывности (раздел 2.1), свойство Зигмунда и симметричность (разделы 2.2-2.5).

Задачи теории функций. Во многих случаях конкретный выбор рассматриваемых вопросов гармонического анализа обусловлен задачами теории функций в единичном комплексном шаре

В = Вп = {С G Сп : |С| < 1}, п > 2.

Классическим примером подобного взаимодействия гармонического анализа и теории функций может служить взаимопроникновение анализа Фурье на единичной окружности Т и теории функций в единичном круге D = {( 6 С : |?| < 1}. Соответствующие одномерные 'М) результаты часто мотивируют многомерные задачи, исследуемые в

главе 3.

В третьей главе собраны приложения, которые в первую очередь обусловлены поиском правильных аналогов теоремы о канонической факторизации. Изучаются следующие случаи: классы Неванлинны и Смирнова в шаре (раздел 3.1), малое пространство Блоха в шаре (разделы 3.2-3.3), аналитические пространства Бесова в круге (раздел 3.4). Дальнейшее развитие данной темы связано с задачами о (слабо) внешних функциях и циклических векторах (разделы 3.5-3.7). Несколько обособленный вопрос об операторах композиции рассмотрен в разделе 3.8.

Компактные операторы Ганкеля. Также отметим, что связую-™ щим элементом между вопросами, рассматриваемыми в диссертации,

оказывается свойство компактности для операторов типа Ганкеля.

Зафиксируем множество (спектр) Л С Z+ и положим L\(S) = {/ е L2(5) : spec(/) С Л} .

Рассмотрим ортогональный проектор А'л : L2(S) —> L\(S) (проектор Коши-Сегё).

Каждая функция (символ) ip ? L°°(S) порождает Л-спектральный оператор типа Ганкеля (кратко, Л-оператор Ганкеля) Н\г1р : L2(S) —>• L2(S) с помощью формулы

f] - KK[

Определение. Спектр Л С Ъ\ обладает свойством компактного оператора Ганкеля (кратко, Л ? (КГ)), если преобразование Н^)(р сохраняет пространство C(S) и оператор Н\>(р : C(S) —У C(S) компактен для каждого многочлена <р на сфере S.

Сформулированное свойство оказывается решающим при изучении мер Хенкина (раздел 1.1), а также при построении и исследовании плю-ригармонических произведений Рисса (разделы 1.3-1.9 и 3.3) и подобных объектов (см., например, раздел 3.2). Наконец, /^.Г-свойство позволяет доказать факторизационную теорему для класса Неванлинны в шаре (раздел 3.1).

Чтобы немедленно получить иллюстрацию применения подобного свойства компактности рассмотрим правильные тройки, введенные А.Б. Александровым в статье [2]. Здесь уместно отметить, что рассуждения из работы [2] служат отправной точкой для конструкции плюригармонического произведения Рисса.

Правильные тройки и тугие подпространства. Пусть К — се-парабельное топологическое компактное пространство и /г — конечная положительная регулярная борелевская мера на К. В пространстве непрерывных функций С (К) зафиксируем подпространство X. Всюду

ниже символом <р будем обозначать произвольную строго положительную непрерывную функцию на К. Положим по определению

Xv = {feX:\f\<

Определение. Тройка (X,K,pi) называется правильной, если выполнено одно из следующих эквивалентных свойств:

(Ш) Существует число т > 0 такое, что для всех ср выполнена оценка

sup / \f\2d/i >т (p2dfi. fexv Jk Jk

(П2) Для каждой функции ip и любого числа е > О существует функция / G X такая, что

|/| < tp всюду и n{\f\ ф р} < е.

Далее, напомним, что в работе [43] Б. Коул и Т. Гамелин ввели весьма близкое к АТ'-свойству понятие тугого (tight) пространства. Исследование строго тугих пространств было начато С. Сакконе в статье [84] (см. также обзоры [85] и [54]). По определению замкнутое подпространство X С С (К) называется строго тугим, если обобщенный оператор Ганкеля Sg : X —? С(К)/Х, действующий по правилу / *-> fg + X, является компактным для каждой функции д 6 С (К).

Правильные тугие пространства. Для получения вышеупомянутой иллюстрации рассмотрим ограниченную область Т> С Сп и положим X = A(V) = C(V) C\'Hol(V). Отметим, что подпространство X С C(V) является строго тугим, если V — это строго псевдовыпуклая область с границей класса С2.

Напомним, что С. Сакконе ([85], предложение 6.1) доказал равносильность следующих свойств:

(Т1) Пространство X С C(V) является строго тугим.

(Т2) Если последовательность {fj} С X ограничена и сходится к нулю поточечно на V, то для всех д ? С(Т>) выполнено свойство

Таким образом, имеет место следующий факт.

Предложение. Пусть пространство А(Т>) является строго тугим. Рассмотрим положительную меру ц ? М(дТ>). Тогда правильность тройки (А(Т>), дТ>, //) равносильна следующему свойству:

(ПЗ) Для любого числа е > 0 существует такая непостоянная функция f ? A(V), что |/| < 1 всюду и n{\f\ Ф 1} < е.

Доказательство. Свойство (ПЗ) является частным случаем свойства (П2). Поэтому достаточно проверить, что (ПЗ) =^ (П1). Для этого зафиксируем строго положительную функцию ср ? С(дТ>). Выберем столь малое е > 0, что условие цЕ < е гарантирует оценку

f 2 , 1 /" 2 ,

I <р ац < — I if dfi.

JE ^ J&D

Свойство (ПЗ) доставляет соответствующую функцию f? ? A(V). По предположению пространство A(V) является строго тугим, а также степени // ? А(Т>) сходятся к нулю поточечно на V. Поэтому можно воспользоваться свойством (Т2) для g = 3

) такая, что |/| < <р и ^{|/| > /2} > 1 — ?¦ Таким образом,

J&D

Иными словами, свойство (П1) выполнено для т = 1/5. ?

Основные обозначения и определения

• В = Вп — единичный шар из Сп, п > 1.

• S = Sn = дВп — единичная сфера.

% U = U(n) — группа всех унитарных операторов на гильбертовом пространстве С".

• у = ип и а = ап — нормированные меры Лебега на шаре В и сфере S соответственно.

При п = 1 часто удобно использовать специальные обозначения:

• M(S) — пространство всех комплексных регулярных борелевских мер на сфере S.

• LP(S) = Lp{S,cr). Функция / G Ll(S) отождествляется с мерой

fo e M(S).

• и — рг(сг), где рг : С" \ {0} —> СРп~1 ¦— каноническая проекция.

• Л = Лп — мера Лебега на Ж", п > 1.

• Запись Hi

Гармонический анализ на сфере.

• Н(р, q) — пространство однородных гармонических многочленов бистепени (р, q) € Z+.

— Я(р, д)-проекция меры /л G M(S).
• spec(^) = {(p, q) ? Z+ : fipq ф 0} — спектр меры /х ? M(5).

• Мера /г G M(5) называется плюригармонической, если

spec(//) С {(p, ?) G Z\ : pg = 0} .

Пусть Л С Z^.. Тогда

• MA(S) ={це M(S) : spec(^) С Л};

. L\(S) = {/ G L2(5) : spec(/) С Л}. Аналогично определяется пространство C\(S).

• К а : L2(S) -> Ьд(5) — ортогональный проектор.

Ядра и интегралы Пуассона. • Ядро Пуассона в шаре:

Р[ц] — интеграл Пуассона меры jn G M(S):
• Инвариантное ядро Пуассона в шаре:

— инвариантный интеграл Пуассона меры /i G M(S):

ПФ)= fv(z,Odfi(O. Js

• Ядро Пуассона для верхнего полупространства:

Р(х,у) = Ру{х) = Сп У (х G М", у > 0),

(INI2 + y2) ^

где константа Сп выбрана таким образом, что

/ P(x,y)d\(z) = l.
Пространства голоморфных функций.

• Hol(V) — пространство всех голоморфных функций в области V.

• НР(В) — классическое пространство Харди (р > 0):

IP (В) = {/ <= По1(В) : \\f\\pHP = sup / \f(rQpda(Q
= fjr (Qp d*(Q< 00}.

Символ /* обозначает граничные значения функции /. Как обычно, мы будем отождествлять НР(В) и пространство граничных значений HP(S).

= {/ <= Hol(B) : Il/Hoo = suPzGjB \f(z)\ < oo}. — весовое пространство Бергмана (р > 0, a > — 1):

^ APJB) =

Также в главе 3 вводятся и изучаются следующие пространства:

• N(B) — класс Неванлинны;

• N+(B) — класс Смирнова;

• Bq(B) — малое пространство Блоха;

• Лр(В) — аналитические пространства Бесова (0 < р < 2);

• 'МЯ(В) — весовые пространства Харди (q > 0).

Организация работы. Диссертация разделена на три главы; результаты, полученные в первых двух главах, используются в третьей. Ш Главы состоят из разделов. Для нумерации утверждений и формул

используются номер раздела и номер по порядку.
Работы автора по теме диссертации

Щ 1. Дубцов Е.С. Правильные унитарно инвариантные пространства

на комплексной сфере // Записки научных семинаров ПОМИ. 1998. Т. 255. С. 54-81.

2. Дубцов Е.С. Многомерная теорема Ивашева-Мусатова и срез-меры // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14. Вып. 6. С. 101-128.

3. Дубцов Е.С. Слабо внешние внутренние функции // Функциональный анализ и его приложения. 2003. Т. 37. Вып. 2. С. 7-15.

4. Дубцов Е.С. Ограниченные циклические функции в шаре // Записки научных семинаров ПОМИ. 2003. Т. 303. С. 102-110.

5. Дубцов Е.С. Слабо циклические векторы с заданным модулем // Записки научных семинаров ПОМИ. 2003. Т. 303. С. 111-118.

Щ? 6. Doubtsov E. Approximation on the sphere by Besov analytic functions

// Studia Mathematica. 1997. V. 124. No. 2. P. 179-192.

7. Doubtsov E. Corrected outer functions // Proceedings of the American Mathematical Society. 1998. V. 126. No. 2. P. 515-522.

8. Doubtsov E. Henkin measures, Riesz products and singular sets // Annales de PInstitut Fourier (Grenoble). 1998. V. 48. No. 3. P. 699-

728.

9. Doubtsov E. Singular measures with small H(p,q)-projections // Arkiv for Matematik. 1998. V. 36. No. 2. P. 355-361.

10. Doubtsov E. Little Bloch functions, symmetric pluriharmonic mea-jfc sures and Zygmund's dichotomy // Journal of Functional Analysis.

2000. V. 170. No. 2. P. 286-306.
11. Doubtsov E. Nevanlinna functions as quotients // Proceedings of the American Mathematical Society. 2000. V. 128. No. 10. P. 2899-2901.

12. Doubtsov E. Leibenzon's backward shift and composition operators // Proceedings of the American Mathematical Society. 2001. V. 129. No. 12. P. 3495-3499.

13. Doubtsov E. An inner function which is not weak outer // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences de Paris. Ser. I. 2002. V. 334. No. 11. P. 957-960.

14. Doubtsov E., Nicolau A. Symmetric and Zygmund measures in several variables // Annales de l'lnstitut Fourier (Grenoble). 2002. V. 52. No. 1. P. 153-177.
1 Плюригармонический анализ мер

Как отмечалось во введении, исследуемые в данной главе вопросы мотивированы эвристическим "принципом неопределенности", который может быть сформулирован следующим образом:

Если ненулевая мера сосредоточена на малом множестве, то ее преобразование Фурье не может быть слишком малым.

Многочисленные конкретные проявления данного общего принципа представлены, например, в монографии [60]. В частности, классическая теорема братьев Риссов утверждает, что при /i ? М(Т) из условия /}(&) = 0 для всех к ? Z_ следует, что мера fi абсолютно непрерывна.

Зафиксируем множество (спектр) Л С Z+. Напомним, что по определению M\(S) = {ц ? M(S) : spec(fi) С Л}. Далее, положим

Mj^S) = {[Is: fis — сингулярная часть некоторой меры (л ? M\(S)}.

Отметим, что в таких обозначениях теорема братьев Риссов приобретает следующий компактный вид: М| (Т) = {0}. Многомерные обобщения данного результата были получены в статье [36]. Например, множество Мд(5) тривиально, если Л С {(р, д) ? Ъ\ : q < ер} для некоторого е < 1.

Первая цель данной главы — исследовать спектральные множества, для которых заключение теоремы братьев Риссов не выполняется; точнее искомые множества должны обладать следующим довольно редким свойством.

Определение. Множество Л С 1\ называется сингулярным, если

(1.0.1) множества Мд(5) и M^\A(S) нетривиальны;

(1.0.2) если fj,? Мд(5) и */? M^2\A(5), то ц±г/ (взаимно сингулярны).
Пусть Q ? Z+. Положим

4Q) = {(P, 9) e Zj.: (p - Q)(g - Q) = 0, p > Q, q > Q} U {(0,0)}. В разделе 1.2 будет установлен следующий результат.

Теорема 1.0.1 Для всех Q ? Z+ множество A(Q) является сингулярным.

Спектр Л(0) является естественным объектом в комплексном анализе, так как spec()u) С Л(0) тогда и только тогда, когда интеграл Пуассона

является плюригармонической функцией. Соответствующие меры называют плюригармоническими. Отметим, что в теории плюрипотен-циала термин "плюригармоническая мера" применяется для совершенно иного объекта. По аналогии, если

spec(fi) С Л(

то будем говорить, что мера ц является Q-плюригармонической. Отметим, что добавление точки (0,0) к множеству A(Q) позволяет рассматривать положительные Q-плюригармонические меры.

Для доказательства свойства (1.0.2) будет использован аппарат мер Хенкина (см. раздел 1.1), а также асимптотическая формула типа Буля-Виноградова-Хрущева (теорема 1.2.1).

Далее, свойство (1.0.1) фактически известно для всех A(Q). Действительно, в статье [7] показано, что тройка (C^Q^(S),S,cr) является правильной в смысле работы [2] (см. введение). Таким образом, результаты статьи [2] гарантируют, что MLqAS) ф {0}. Последний
факт порождает задачи о свойствах элементов множества с точки зрения анализа Фурье. Отправной точкой для дальнейших результатов служат классические утверждения на окружности о существовании сингулярных мер с малыми (в определенном смысле) коэффициентами Фурье. Отметим, что соответствующие конструкции мотивированы поиском количественных границ применимости принципа неопределенности. В частности, такие утверждения можно формализовать с помощью следующего понятия поточечной допустимой мажоранты.

Определение. Функция h : Z+ —У Ш+ называется Т-допустимой, если существует сингулярная вероятностная непрерывная мера ц ? М(Т) такая, что fi(k) = O(h(\k\)) при к —> оо.

Для решения аналогичных многомерных задач в разделах 1.3-1.5 введены и исследованы плюригармонические произведения Рисса, которые, возможно, представляют самостоятельный интерес. Приложения построенных произведений Рисса к вопросам о допустимых мажорантах изложены в разделах 1.6-1.8. Дальнейшие приложения будут даны в главе 3.

Наконец, отметим, что для Q-плюригармонической меры ц определены срез-меры ц% ? М(Т) для о"-почти всех ? Е СР""1. Более того, в слабом смысле верны интегральные представления

=[

JCP"-1

ц [

JCPn~l

где /is (д|) обозначает сингулярную часть меры ц (//^) (детали изложены в разделе 1.2). Таким образом, возникают естественные вопросы о возможных свойствах семейства {/^|}^€ср"~к Наиболее полные ответы на такие вопросы удается получить с помощью Ь°°-обобщенных произведений Рисса (см., например, разделы 1.8-1.9).
Список литературы
Цена, в рублях:

(при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)		 1425
Скачать бесплатно 23610.doc 





Найти готовую работу


ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:


Связаться

Доставка любой диссертации из России и Украины

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ


Ссылки:

Выполнение и продажа диссертаций, бесплатный каталог статей и авторефератов

Счетчики:

Besucherzahler
счетчик посещений

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.