Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Магнитный геодезический поток на однородном симплектическом многообразии

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Сделать закладку на сайт

Заказать диплом, курсовую, диссертацию

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Магнитный геодезический поток на однородном симплектическом многообразии

Количество страниц	57

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23526.doc

Содержание	Содержание 0 Введение 3 1 Магнитный геодезический поток в однородном поле на комплексном проективном пространстве 11 1.1 Основные определения... 11 1.2 Метрики Фубини-Штуди... 13 1.3 Свойства формы Фубини-Штуди... 15 1.4 Отображение момента... 18 1.5 Метод Тимма... . 25 1.6 Пример: магнитный геодезический поток на С.Р1 ... 28 2 Магнитный геодезический поток на однородном сим-плектическом многообразии 32 2.1 Основные определения и факты... 32 2.2 Форма Кириллова... 35 2.3 Отображение момента... 37 2.4 Доказательство теоремы 3... 45 2.5 Пример: магнитный геодезический поток на СР2 ... 52 Список литературы 57 Введение Пусть (М, си) — симплектическое многообразие. Обозначим через {•, •} скобки Пуассона на М, соответствующие симплектической форме ш. Гамилътоновой системой с функцией Гамильтона Н на симплекти-ческом многообразии (М, и) называется поток задаваемый системой уравнений х = sgradH(x), где sgradiJ — гамильтоново векторное поле функции Н, определяемое по правилу dH(x)Y = u(Y, sgmdH(x)), Y G TM. Пространство гладких функций С°°(М) образует алгебру Ли относительно скобки Пуассона {/, 9} = o/(sgrad#, sgrad/). Функция / называется интегралом гамильтоновой системы, если она коммутирует с функцией Гамильтона относительно скобки Пуассона {/, Я} = 0. Гамильтонова система на (М, uj) называется интегрируемой по Лиувиллю, если она обладает попарно коммутирующими интегралами /i,...,/n (2n = dimM), которые почти всюду функционально независимы, то есть их дифференциалы линейно независимы почти всюду на М. Про функции /i,...,/n говорят, что они находятся в инволюции и называют полным инволютивным (или коммутативным) набором интегралов на М. Вопрос нахождения интегрируемых гамильтоновых систем всегда представлял большой интерес как для математиков, так и для физиков. Задачи классической механики описываемые интегрируемыми гамильтоновыми системами достаточно долго оставались единственными проблемами, которые можно было успешно решать. Основанием для этого была классическая теорема Лиувилля по которой, ес- ли гамильтонова система обладает полным коммутативным набором независимых интегралов, то уравнения Гамильтона могут быть ре- шены (локально) в явном виде (или еще говорят , что система "интегрируема в квадратурах"). При этом неособые компактные совместные поверхности уровня интегралов системы диффеоморфны торам (торам Лиувилля), а движение на этих торах, задаваемое фазовым потоком, является условно-периодическим. Сформулируем теорему Лиувилля (см. [1]) Теорема. Пусть Mf = {/х = ci,..., fn = Сп} — совместная поверх- ностъ уровня первых интегралов гамилътоновой системы. Предпо- ложим, что эта поверхность компактная, связная и неособая (то есть дифференциалы функций /i, - - -, /п линейно независимы всюду на ней). Тогда 1. Mf диффеоморфна п-мерному тору 2. фазовый поток определяет на Mf условно-периодическое движение, то есть в угловых координатах (р = ((pi,..., срп) уравнения движения становятся линейными Pi() i(), ,pn() = wn(c)t, гдес= (сь...,с„). Мищенко А.С. и Фоменко А.Т. предложили метод некоммутативной интегрируемости гамильтоновых систем в работе [2] (см. также [3],[4]). Этот метод удобен в случае, когда система обладает избыточным набором первых интегралов, которые не коммутируют между собой. Тогда при определенных дополнительных условиях компактные совместные поверхности уровня первых интегралов являются торами размерности меньше чем половина размерности фазового пространства, при этом движение задаваемое потоком является условно-периодическим. ^\ Пусть Т пространство первых интегралов гамильтоновой систе- мы, которое образует алгебру Ли относительно скобки Пуассона. Для каждой точки х ? М определим два подпространства в ТМ: Fx С ТМ - пространство, порожденное дифференциалами функций / Е J7, и Кх С Fx - ядро ограничения пуассоновой структуры на Fx: Fx = {df(x), f Если имеется открытое всюду плотное подмножество U С М такое, что для всех х G U величины dimFx и dimi^ постоянны и равны соответственно I и г, и кроме того выполняется соотношение dimFx -f dimifa; = / + г = dimM, то гамильтонова система называется интегрируемой в некоммутативном смысле. В этом случае число dimi^ = / называется дифференциальной размерностью алгебры интегралов Т и обозначается ddim^", a dimi^ = г - дифференциальным индексом и обозначается Поясним смысл этого определения. Фактически, ddinxF = / является размерностью алгебры интегралов, a dindJF = г — размерностью максимальной коммутативной подалгебры. Если I 4- г равно размерности фазового пространства dimM, то инвариантные торы алгебры интегралов имеют размерность г = dimM — I. Тогда максимальная коммутативная подалгебра (в силу своей коммутативности) задает на инвариантных торах транзитивное действие коммутативной группы W. Поэтому если тор компактен, то он диффеоморфен r-мерному то-ру. В случае некоммутативной интегрируемости имеет место аналог теоремы Л иу вил ля (см. [2],[3],[4]). Среди всех гамильтоновых систем особый интерес представляют геодезические потоки римановых метрик. Напомним, определение геодезического потока. Пусть М — кокасательное расслоение некоторого риманова многообразия (N,g), g — риманова метрика, с естественной симплекти-ческой структурой ш = dpi A dx\ Геодезическим поток называется гамильтонова система на (М, и) с функцией Гамильтона гдер=(р1,...,р„) <=TxiV. Известны некоторые топологические препятствия к интегрируемости геодезических потоков, из-за которых невозможно их существование на многообразиях с достаточно сложной топологией (см. [5]-[10]). Например, в работах И.А. Тайманова [7, 8] указаны топологические препятствия к интегрируемости в терминах фундаментальной группы многообразия: фундаментальная группа многообразия допускающего интегрируемый геодезический поток (в аналитическом случае) должна быть почти коммутативной. С другой стороны, есть несколько серий многообразий, на которых известны примеры римановых метрик с интегрируемыми геодезическими потоками (см. [4],[11]-[23]). Почти все эти многообразия топологически являются однородными пространствами. А.В. Болси-нов и Б. Йованович показали интегрируемость геодезических потоков биинвариантных метрик на двойных частных компактных групп Ли [24]. Классическими примерами римановых многообразий с интегри- руемыми геодезическими потоками являются — 2-мерные поверхности с метриками Лиувилля, — поверхности вращения (интегралы Клеро), — n-мерные эллипсоиды (Якоби), — плоские торы, — группа Ли 50(3) с левоинвариантной метрикой (Эйлер). Мищенко А.С. и Фоменко А.Т. показали интегрируемость некоторых левоинвариантных метрик на компактных группах Ли [17],[2]. Метрики с интегрируемыми геодезическими потоками на симметрических пространствах в своих работах описали Тимм А. [16], Мищенко А.С. [18],[19], Микитюк И.В. [21] и Браилова А.В. [20],[4]. В работе [13] Болсинов А.В., Йованович Б. доказали некоммутативную интегри- руемость геодезического потока биинвариантной метрики на любых однородных пространствах вида G/H, где G — компактная связная группа Ли. Также известны примеры двойных частных групп Ли (естественные обобщения однородных пространств) с интегрируемыми геодезическими потоками, найденные в работах Базайкина Я.В. [15] и Г. Патернайна, Р. Спатцера [23]. Пусть на римановом многообразии (N, д) есть некоторая замкнутая 2-форма F = Ft]dxx Adx3. Дифференциальная форма ш = ш + F, где и) — в,рг A dx% — естественная симплектическая форма на кокаса-тельном расслоении, является замкнутой невырожденной 2-формой, и таким образом задает симплектическую структуру на кокасатель-ном расслоении риманова многообразия. Если теперь рассматривать на М = TN симплектическую структуру задаваемую формой п, то это влечет деформацию скобок Пуассона, а деформация скобок Пуассона в свою очередь влечет изменение гамильтоновых векторных полей и соответственно уравнений движения. Определение. Гамильтонова система на (TN,cj) с функцией Гамильтона (1) называется магнитным геодезическим потоком задаваемым формой F. Согласно уравнениям Максвелла, включение магнитного поля задается замкнутой 2-формой. Таким образом включение магнитного поля не меняет гамильтониан геодезического потока, а состоит в деформации скобок Пуассона (см. [25]). Основными объектами изучения в данной диссертации являются магнитные геодезические потоки, задаваемые замкнутой невырожденной формой, на однородных симплектических многообразиях. В первой главе доказана теорема Теорема. Магнитный геодезический поток на ТСРп, задаваемый формой Фубини-Штуди, допускает полный коммутативный набор независимых интегралов, то есть он интегрируем. В теореме рассматривается комплексное проективное пространство <СРп с римановой метрикой (метрика Фубини-Штуди) индуцированной стандартным эрмитовым скалярным произведением на В качестве формы деформирующей скобки Пуассона берется форма Фубини-Штуди (мнимая часть эрмитова скалярного произведения). Известно, что геодезические потоки метрики Фубини-Штуди интегрируемы (см., например, [16]). Для доказательства интегрируемости магнитного геодезического потока используются интегралы геодезического потока. Сформулируем теорему. Теорема (Нетер). Пусть риманова метрика g на многообразии N допускает однопараметрическую группу изометрий А : N —$¦ N. Тогда геодезический поток этой метрики имеет линейный первый интеграл вида где То есть компонента импульса вдоль векторного поля ассоциированного с однопараметрической группой постоянна на траекториях потока. В случае комплексного проективного пространства унитарные преобразования являются изометриями, поэтому однопараметри-ческим группам унитарных преобразований соответствуют линейные интегралы геодезического потока. Сначала доказывается, что все линейные интегралы геодезического потока, соответствующие однопараметрическим группам унитарных преобразований, можно превратить в интегралы магнитного потока с помощью небольшой поправки. В разделе 1.3 приведен вид этой поправки. Полученные линейные интегралы магнитного потока используются в разделе 1.4 для коррекции отображения момента • Р:ГСРп->и(п Подкорректированное отображение момента постоянно на траекториях магнитного потока, и следовательно любые функции вида /оР, где / — произвольные функции на алгебре и(п + 1), являются интегралами магнитного потока. Причем, если рассматривать инвариантные функции / на алгебре и(п + 1), то можно получить достаточно большое семейство интегралов в инволюции. Далее используется метод вложенных цепочек подалгебр для построения полного инволютивно-го набора независимых интегралов. Основная трудность заключается в доказательстве независимости полученного набора интегралов. Для доказательства независимости полученного семейства интегралов используется приведенный в разделе 1.4 явный вид гамильтоновых векторных полей интегралов и специальный вид вложенных подалгебр (раздел 1.5). В последнем разделе главы подробно разобран пример магнитного геодезического потока на комплексной проективной прямой. Во второй главе доказана теорема Теорема. Пусть М = G/H — односвязное однородное симплекти- ческое многообразие, где G — компактная полупростая группа Ли. Тогда существует риманова метрика на М такая, что магнитный геодезический поток, задаваемый симплектической формой, интегрируем в некоммутативном смысле. Согласно результатам Костанта [26], любое односвязное однородное симплектическое многообразие из теоремы симплектоморфно орбите присоединенного представления группы G в алгебре д, где сим-плектическая структура на орбите задается формой Кириллова [27]. Таким образом достаточно доказать существование римановой метрики на орбите, для которой магнитный геодезический поток задаваемый формой Кириллова интегрируем в некоммутативном смысле. Все сводится к доказательству следующей теоремы. Теорема. Рассмотрим орбиту присоединенного представления ком- пактной полупростой группы Ли G и риманову метрику g индуцированную формой Киллинга на алгебре Ли группы G. На орбите существует стандартная симплектическая структура О. (форма Кириллова). Тогда лгагнитный геодезический поток, задавашый формой Q, интегрируем в некоммутативном смысле. Как и в первой главе сначала рассматриваются линейные интегралы порожденные однопараметрическими группами изометрий (одно-параметрические подгруппы группы G) римановой метрики на орби- те. Такие линейные интегралы будут интегралами любого потока с G-инвариантной функцией Гамильтона. Для этих интегралов строится поправка, необходимая для того, чтобы они были интегралами магнитного потока. Далее, в разделе 2.3 с помощью линейных интегралов строится отображение момента Р : ТМ —> Q, где М — орбита, которое постоянно на траекториях любого потока задаваемого G-инвариантным гамильтонианом. G-инвариантные функции и функции вида / о Р, где / — функция на алгебре, являются интегралами геодезического потока римановой метрики, полученной ограничением формы Киллинга с алгебры на орбиту. В разделе 2.3 приведен явный вид гамильтоновых полей та- ких функций. Обозначим через Т\ семейство функций на орбите вида /оР, через Тч семейство G-инвариантных функций. Функции из Т\ являются интегралами любого потока с гамильтонианом из второго семейства в силу инвариантности отображения момента, поэтому любые две функции из разных семейств коммутируют. В этом же разделе доказано, что эти семейства функций замкнуты относительно скобок Пуассона. В разделе 2.4 доказано, что алгебра интегралов Т^КЗТъ удовлетворяет всем условиям некоммутативной интегрируемости. При доказательстве использовалась схема предложенная в работе [13]. Автор благодарит научного руководителя И.А. Тайманова за постановку задач и полезные обсуждения, и Я.В. Базайкиназа полезные обсуждения. 1 Магнитный геодезический поток в однородном ^ поле на комплексном проективном пространстве 1.1 Основные определения Пусть Мп — многообразие с римановой метрикой gtj, которая задает изоморфизм касательного и кокасательного расслоений (преобразование Лежандра) ? 6 ТхМп -> р е ТМп по формуле Кокасательное расслоение ТМп является симплектическим многообразием с естественной симплектической структурой ш = dpt A dx%, которое обозначим парой (ТМп>и>). Симплектическая форма из задает на пространстве гладких функций на кокасательном расслоении С°°{ТМп) скобки Пуассона д/дд\ ,=1 ч---- дргдх1) ' При этом пространство функций становится алгеброй Ли со скобками Пуассона в качестве коммутатора. Говорят, что функции /, g находятся в инволюции, если их скобка Пуассона тождественно равна нулю Определение. Гамильтоновой системой с функцией Гамильтона (гамильтонианом) Н : ТМп —> Ж на симплектическом многообразии (ТМп, ш) называется поток, который задается уравнением задающим изменение любой гладкой функции вдоль потока. Геодезическим потоком называется гамильтонова система на кокасательном расслоении ТМп риманова многообразия Мп с функцией Гамильтона ^(x)piPh (2) где gij — риманова метрика на Мп и glgjk = <%• Геодезический поток ^, описывает движение частицы по инерции с кинетической энергией \|ж\|2/2 = gijX%i?/2. Траекториями этого потока являются геодезические римановой метрики. Определение. Функции, которые инвариантны относительно потока называются первыми интегралами или интегралами движения потока. Скобка Пуассона двух первых интегралов гамильтоновой системы является первым интегралом в силу тождества Якоби, таким образом совокупность интегралов гамильтоновой системы образует алгебру Ли относительно скобки Пуассона. Определение. Гамильтонова система называется интегрируемой (в коммутативном смысле)1, если она имеет п первых интегралов в инволюции, градиенты которых независимы почти всюду на ТМп. Такое семейство первых интегралов называется полным коммутативным набором независимых интегралов. Включение магнитного поля, которое, согласно уравнениям Максвелла, задается замкнутой 2-формой F = Fijdx1 A dxj состоит в деформации скобок Пуассона путем добавления формы F к симплектической форме ш. Действительно, если форма F замкнута, то форма ш = и + F также задает на кокасательном расслоении сим-плектическую структуру. Скобки Пуассона соответствующие форме Со принимают вид / f а\ - Vх fdf дд df dg\ 4- V f df dg ск\ (cm. [25]). ХВ литературе такие системы называются также вполне интегрируемыми или интегрируемыми по Лиувиллю. Определение. Гамильтонова система на симплектическом многообразии (ТМп,п) с функцией Гамильтона (2) называется магнитным геодезическим потоком задаваемым формой F. Таким образом гамильтониан магнитного геодезического потока совпадает с гамильтонианом геодезического потока, то есть включение магнитного поля не изменяет гамильтониан, а состоит в деформации скобок Пуассона в соответствии с выражением (3). В то время как интегрируемость геодезических потоков на однородных пространствах достаточно хорошо изучена, аналогичная проблема для магнитных геодезических потоков вообще не рассматривалась. Рассмотрим комплексное проективное пространство СР", с рима-новой метрикой заданной вещественной частью индуцированного из Cn+1 эрмитова скалярного произведения. Форма Фубини-Штуди, равная с точностью до коэффициента мнимой части индуцированного из Cn+1 эрмитова скалярного произведения, является замкнутой невырожденной дифференциальной формой. Таким образом имеет смысл говорить о магнитном геодезическом потоке на ТСРП, заданном формой Фубини-Штуди. Основным результатом этой главы является следующая теорема Теорема 1. Магнитный геодезический поток на ТСРп, задаваемый формой Фубини-Штуди, допускает полный коммутативный набор независимых интегралов, то есть он интегрируем. В доказательстве теоремы существенно используется набор интегралов построенный Тиммом ([16]) для геодезического потока наТСРп. 1.2 Метрики Фубини—Штуди Комплексное проективное пространство СРП - это многообразие проходящих через точку 0 комплексных прямых в п + 1-мерном комплексном линейном пространстве Cn+1. Стандартное эрмитово скалярное произведение на Cn+1 индуцирует на касательных пространствах к СРП эрмитову структу- Пусть тг : Cn+1 \ 0 —> СРп — проекция, сопоставляющая точке z ф 0 комплексную прямую, проходящую через Ohz. Каждый вектор С, касательный к СРп в точке тг(<г) представляется (неоднозначно) в виде Следующая формула задает эрмитову метрику на касательных векторах к СРП. Вещественная и мнимая части этой эрмитовой метрики задают, соответственно, риманову метрику на СРп (метрику Фубини-Штуди) и невырожденную кососим метрическую форму fi(Ci,C2) = ~Im(Ci,C2>. (6) Эта форма замкнута и, следовательно, задает на СРп симплектиче-скую структуру (форма Фубини-Штуди). Линейные преобразования Сп сохраняющие эрмитово скалярное .? произведение (4) (унитарные преобразования) индуцируют преобра- ' зования СРП сохраняющие эрмитову структуру (5). Геодезические потоки метрики Фубини-Штуди интегрируемы. Мы будем рассматривать магнитные геодезические потоки, полученные включением магнитного поля Функция Гамильтона остается первым интегралом деформированного фазового потока, что неверно для дополнительных первых интегралов. Дополнительные первые интегралы старой системы уравнений не будут интегралами новой, но в данной работе показано, что первые интегралы геодезического потока могут быть продеформиро- ваны в первые интегралы магнитного геодезического потока. Линейные дополнительные интегралы геодезического потока обу-шк словлены симметриями метрики Фубини-Штуди. Эти симметрии за- даются унитарными преобразованиями Сп. А именно, нужно взять поле Киллинга однопараметрической группы унитарных преобразований, тогда компонента импульса вдоль этого поля Киллинга будет первым интегралом (теорема Нетер). Оказывается, если подставить это поле Киллинга в форму (6), то получится точная 1-форма, то есть существует такая функция на СРП, что ее дифференциал равен получившейся 1-форме. Если добавить эту функцию к соответству-,Ш, ющему интегралу геодезического потока, то получается интеграл де- формированного фазового потока. Таким образом каждый линейный интеграл геодезического потока добавлением соответствующей функции может быть достроен до интеграла нового потока. Этот эффект был впервые обнаружен автором на примере магнитного геодезического потока, заданного формой Фубини-Штуди, на комплексной проективной прямой СР1, а также на примере аналогичного потока на комплексной проективной плоскости СР2. Эти потоки будут подробно разобраны в качестве примеров к первой и второй главам. Для полной интегрируемости магнитного геодезического потока на СРП одних линейных интегралов недостаточно, однако описан- ная конструкция понадобится нам для корректировки отображения момента. Перейдем к доказательству. 1.3 Свойства формы Фубини-Штуди Следуя статье Тимма [16], представим СР" как CPn = G/H, где G = Щп +1), Н = U(n) x U(l). На g = u(n + 1) есть Ad(G)-инвариантная невырожденная симметричная положительная билинейная форма X,Yeg. (7) Ао1(С)-инвариантность следует из свойств следа матрицы В(Х, Y) = B(Ad(g)X, Ad(g)Y), \/g G G, где Kd{g)X — дХд~1. Ортогональным дополнением f) = u(ra) x u(l) относительно формы В будет . где М(п, 1; С) - пространство п х 1-матриц над С. То есть алгебра g ^ раскладывается в прямую сумму 0 = f) Ф го-Пространство m отождествляется с касательным к СРп = G/H в точке тг(е) пространством Т^СР71 при помощи тг\|е, где 7Г : G —> G/H - каноническая проекция тг(д) = дН. Так как m инвариантно относительно действия Ad(H) (Ad(H)m = m) и ограничение формы (7) на m будет невырожденной положительной Ad(H)-HHBapnaHTHOfi формой, то таким образом B\mx m определяет на СРП риманову G-инвариантную метрику, которая совпадает с метрикой Фубини-Штуди (вещественная часть эрмитовой структуры (5)). Далее с помощью (7) отождествляются и(п + 1) и и(п 4- 1), а также касательное и кокасательное расслоения СРп с помощью G-инвариантной римановой метрики соответствующей (7). Форма Фубини-Штуди (6) также G-инвариантна. На m она определяется следующим образом X, Y G m, а матрица J имеет вид О О то есть все ее элементы нулевые, кроме одного. Для произвольных касательных векторов дХ, gY ? Тж(д)<СРп, X, Y E m положим Q(gX, gY) = Q0(X, Y) = -I B( J, [X, Y}). Корректность этого определения следует из того, что форма В Ad(H)-инвариантна и матрица J инвариантна относительно присоединенного действия Н J = Ad(/i) J, \/h в H. Пусть теперь А^ - однопараметрическая подгруппа G, она является однопараметрической группой преобразований СРп и сохраняет метрику и форму Фубини-Штуди. Обозначим через gv точку в которую переводит А^ точку д (для малых ц> эта точка близка к д в силу однопараметричности А^). Выпишем поле Киллинга dA,, v д = К - поле Киллинга, dip и так как А^ фактически однопараметрическая группа унитарных матриц, то существует такая косоэрмитова матрица X, что А^ будет ее матричной экспонентой Av = exp(X(p). Тогда 9 = Хд. К = а<р 0 Лемма 1.1. Для любого поля Киллиига К существует такая функция f, что Доказательство. Для Киллингова поля К = Хд рассмотрим функцию fx(9) = -$B{J1g-1Xg). (9) Посчитаем значение дифференциала этой функции в точке тг(д) на векторе gY e Tn(g)CPn, Y e m

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23526.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

15.04.24 Задачи, условия и этапы организации экспериментальной работы

15.04.24 Критерии качества преподавания

15.04.24 Категория нормы в обучающей деятельности

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.