Бесплатно скачать, заказать диплом, курсовую, диссертацию Функциональные тождества 6 кольцах и их приложения

У нас уже 176407 рефератов, курсовых и дипломных работ

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Книга жалоб
и предложений

Название	Функциональные тождества 6 кольцах и их приложения

Количество страниц	201

ВУЗ	МГИУ

Год сдачи	2010

Бесплатно Скачать	23611.doc

Содержание	Содержание Введение.^-. . '... 3 Общая теория функциональных тождеств 14 1.1 Обобщенные функциональные тождества... 14 1.1.1 Определения и обозначения... 14 1.1.2 Доказательство теоремы 1.1.1... . 17 1.1.3 Замечание об образе решений... 27 1.1.4 Тождества специального вида... 32 1.2 Функциональные тождества: общая теория... 42 1.2.1 Алгебраичность подмножеств первичных колец ... 42 1.2.2 J-свободные множества: определения и первые результаты ... 50 1.2.3 Какие множества cf-свободны?... 59 1.2.4 Квазиполиномы... . . 72 1.2.5 Тождества вовлекающие инволюцию... 90 Лиевы отображения 98 2.1 Лиевы гомоморфизмы лиевых идеалов...98 2.2 Лиевы дифференцирования лиевых идеалов...113 2.3 Лиевы гомоморфизмы лиевых идеалов кососимметрических элементов...125 2.4 Лиевы дифференцирования лиевых идеалов кососимметрических элементов...148 Отображения, сохраняющие алгебраические свойства элементов 168 3.1 Функциональные тождества на левых идеалах...168 3.2 Отображения в кольцах с инволюцией...184 Приложение функциональных тождеств к некоторым задачам из теории алгебр Ли 196 4.1 Ли-совместимые отображения...196 4.2 Отображения, удовлетворяющие тождеству [/(и,и),ш] = wM + f(u,[v,w})...201 Введение Первые результаты по функциональным тождествам связаны с описанием коммутирующих отображений, то есть отображений / кольца 71 таких, что [/(ж), х] = f(x)x — xf(x) = 0 для всех х G7Z.1 В 1957 году была опубликована работа Познера [119], в которой было показано, что ненулевое дифференцирование первичного кольца 71 является коммутирующим отображением тогда и только тогда, когда кольцо 7? — коммутативно: ¦¦ Аналогичный результат для коммутирующих автоморфизмов был получен Мэйном [99]. Результаты Познера и Мэйна многократно обобщались разными авторами [7,17, 21, 22, 30, 49, 50, 53, 54, 62, 63, 70, 71, 77, 78, 79, 82, 87, 97, 98, 100, 107, 125, 127]. Из этих работ следует выделить статью Брешара [30], который описал все коммутирующие отображения первичных колец. Этот результат стал первой работой по функциональным тождествам. Как и в случае с теоремами Познера и Мэйна, к этому результату был проявлен значительный интерес и в течение нескольких лет появилось большое количество работ на эту тему [6,12, 16,19, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 43, 44, 45, 48, 83, 84, 86]. Существенное влияние на развитие этого направления теории колец оказали статьи Брешара [35, 36]. Основной результат работы [35] — это описание аддитивных отображений /i, /2, /3, /4 первичного кольца 71 удовлетворяющего тождеству /i(z)y.+ Му)х + xf3{y) + yf4{x) = 0 для всех х,у 6 71. Такие тождества называются функциональными тождествами степени 2, поскольку в них участвуют 2 переменные х и у. — подмножества элементов кольца 71, линейно независимых над расширенным центроидом. Такие тождества называются обобщенными функциональными тождествами степени 2. Однако не было ясно, можно ли описать отображения в функциональных и обобщенных функциональных тождествах степени отличной от 2, хотя высказывалось предположение, что результаты о тождествах степени 2 могут быть продолжены до более общего случая [36, стр. 691]. В первом общем результате теории функциональных тождеств [154] были рассмотрены обобщенные функциональные тождества произвольной степени и практически сразу же было показано, что аналогичные результаты могут быть получены для тождеств, вовлекающих фиксированный антиавтоморфизм [133]. Используя эти результаты Бейдар [14] рассмотрел функциональные тождества произвольной степени, а функциональные тождества с инволюцией были рассмотрены Бейдаром и Мартиндейлом в работе [18]. Тем самым был создан необходимый задел для развития общей теории функциональных тождеств. Следующим шагом было создание конструкции d-свободных множеств [147, 148], на базе которых были получены все основные приложения. Одновременно с этим исследовались некоторые тождества специального вида с целью расширения класса колец, для которых применима техника функциональных тождеств [136,138,139,140,142,146,152,153]. Наиболее важным приложением теории функциональных тождеств является полученное с их помощью описание отображений лиевского типа. В 1961 году Херстейном [56, стр. 528] был сформулирован ряд откры- тых проблем. В частности им были поставлены задачи описания лиевых изоморфизмов и лиевых дифференцирований для (I) простых и первичных колец 71, (II) лиевых колец [71,71] и [71,71]/Z П [71,71], где Z — центр кольца 71, (III) лиевых колец кососимметрических элементов К, простых колец 71 с инволюцией, (IV) лиевых колец [?,/С] и [)C,fC]/Z П [1С, К,]. Из первых работ по лиевым изоморфизмам отметим статью Хуа [64], где была рассмотрена задача описания лиевых автоморфизмов для колец матриц порядка п > 3 над телом в случае характеристики, отличной от 2 и 3. В случае простых колец 71 характеристики 2 задача описания лиевых изоморфизмов ф была исследована Херстейном и Клейнфельдом [60] при дополнительном предположений о том, что лиев изоморфизм сохраняет третью степень, то есть ф(х3) = ф{х)г для всех х G 7Z. Важный вклад в изучение лиевых изоморфизмов и лиевых дифференцирований внес Мартиндейл, описавший эти отображения в кольцах с несколькими нетривиальными ортогональными идемпотен-тами [88, 89, 90, 92, 93, 94]. Отображения лиевского типа изучались в операторных алгебрах [8, 9, 10, 103, 104, 105, 106], где также использо- валась техника работы с идемпотентами. В связи с этим интересно отметить, что хотя в кольцах матриц над телами описание лиевых автоморфизмов и дифференцирований было известно, в самих телах эта проблема до недавнего времени была открыта. Проблемы Херстейна были полностью решены с помощью теории функциональных тождеств. Описание Брешаром [32] биаддитивных коммутирующих отображений стало ключевым результатом в решении проблем Херстейна о лиевых изоморфизмах и лиевых дифференцированиях первичных колец. Аналогично, описание триаддитивных коммутирующих отображений в кольцах с инволюцией, полученное Бейдаром, Мар-тиндейлом и Михалевым [19], привело к решению проблемы Херстейна о лиевых изоморфизмах лиевых колец кососимметрических элементов первичных колец с инволюцией. Эта же конструкция была использована Свэйном [126] для описания лиевых дифференцирований лиевых колец кососимметрических элементов первичных колец с инволюцией. Однако, для решения (II) и (IV) потребовалось значительно более емкое использование общей теории функциональных тождеств, чем описание коммутирующих отображений. Используя конструкцию с/-свободных множеств [147, 148], в работе [150] удалось описать лиевы эпиморфизмы лиевых идеалов первичных колец, что не только дает ответ на вопрос Херстейна, но и-решает существенно более общую задачу. Характери-зация лиевых дифференцирований на лиевых идеалах первичных колец дана в [151]. Аналогичные проблемы для лиевых колец кососимметрических элементов решены в [143, 144]. Помимо этого в статье [143] описаны n-йордановы отображения кососимметрических элементов, что отвечает на еще один вопрос Херстейна [56, стр. 528]. С середины 70-х годов XX века в линейной алгебре и функциональном анализе были довольно популярны задачи характеризации линейных операторов, сохраняющих алгебраические свойства элементов. Одной из таких задач было описание отображений, сохраняющих коммутативность. В 1976 году Уоткинс [128] описал биективные отображения, сохраняющие коммутативность в кольцах матриц порядка п > 4. Затем аналогичная проблема изучалась для разных подпространств матричных алгебр и некоторых операторных алгебр [13, 51, 52, 115, 116, 117, 118]. Используя функциональные, тождества, Брешар [32] описал биективные отображения, сохраняющие коммутативность в первичных кольцах, а Баннинг и Матье [12] получили аналогичный результат для полу первичных колец. В статье [146] дано описание биективных отображений, сохраняющих коммутативность на односторонних идеалах первичных колец. Еще одним приложением функциональных тождеств является описание Ли-совместимых отображений. В 1948 году Альберт [4] инициировал изучение Ли-допустимых алгебр. Эти алгебры привлекали внимание как математиков, так и физиков. С некоторыми приложениями Ли-допустимых алгебр к физике можно ознакомиться в книгах Оку бо [113] и Мыюнта [111], мы же сосредоточимся на алгебраической стороне вопроса, связанной с проблемой Альберта классификации гибких Ли-допустимых алгебр Л таких, что соответствующие алгебры Ли Л~ полупросты [4]. В 1962 году Лауфер и Томбер [81] дали классификацию конечномерных гибких Ли-допустимых алгебр Л над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики таких, что операция возведения в степень ассоциативна и алгебры Ли Л~ полупросты. Мыюнг [НО, 111] получил описание конечномерных гибких Ли-допустимых алгебр Л над алгебраически замкнутыми полями положительной характеристики таких, что операция возведения в степень ассоциативна и Л~ — это либо классические алгебры Ли, либо обобщенные алгебры Витта. В 1981 году Бенкарт и Осборн [24] и Окубо и Мыюнг [114] независимо получили классификацию конечномерных гибких Ли-допустимых алгебр Л над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики таких, что алгебры Ли Л~ полупросты, решив тем самым проблему Альберта. В гибких алгебрах операция взятия третьей степени ассоциативна, то есть (х * х) * х = х * (х * х) и известно, что операция взятия любой степени ассоциативна тогда и только тогда, когда это справедливо для третьей и четвертой степеней [111]. В статье [25] Бенкарт и Осборн описали все умножения на алгебре матриц, относительно которых операция взятия степени ^ассоциативна, а в работе [23] Бенкарт Дала классификацию Ли-допустимых алгебр Л таких, что операция возведения в третью степень ассоциативна и алгебры Ли Л~ полупросты. Подобные задачи изучались также в случаях, когда Л~ — алгебра Вирасоро [112] или алгебра Каца-Муди [67]. Во всех этих работах используется техника работы с алгебрами Ли и матричными алгебрами. Применяя методы функцио-. нальных тождеств, в статье [149] были описаны все умножения на лиевых идеалах первичных алгебр и алгебрах Ли косимметрических элементов, относительно которых операция взятия степени ассоциативна. Цель данной работы состоит в создании математического аппарата, позволяющего решить ряд открытых проблем, возникших при исследовании дифференцирований и лиевых изоморфизмов первичных колец. В работе используются методы и результаты теории колец с функциональными тождествами. Краткое содержание работы. В первой главе излагается общая теория функциональных тождеств. Пусть г > 2 — целое число, 72. — некоторое множество и Q — некоторое кольцо. Для отображения F : Иг~1 —» Q и I < i < г, определим отображение Fx : TV — Q, 1 < г < г, по правилу F\xi,...,xr) = F(xu...,Xi-i,xi+i,...,xT) для всеххь...,жР 6 П. щ ¦ Аналогично, для отображения р : 7V~2 -> Q и 1 < г < j < г определим отображение pIJ = р5' : И. —»¦ Q по правилу ptJ (х\,...,arr) = p(xi,..., Xi-i, x,-+l,..., xj-i, xj+i,..., xT). Основным результатом первого параграфа является следующая теорема, в которой рассматриваются обобщенные функциональные тождества произвольной степени. Теорема 1 Пусть 1Z — первичное кольцо, Q — максимальное левое кольцо частных, 7?с — центральное замыкание, С — расширенный центроид, г > 2 — целое число и п,-,77г<, г = 1,...,г — неотрицательные целые числа. Пусть E^Fik :1V x —* Q — такие отображения, что г nj r mi для всех хх..., хТ ?П, где {а{,... ,а3п.} и {b{,... ,Vm.}, j = 1,...,г, суть , С -независимые подмножества Q. Тогда выполняется одна из двух возможностей: (г) 71С — примитивное кольцо с ненулевым цоколем и eTZce — конечномерная алгебра с делением над С для каэюдого минимального идемпотента е из 71С, или (И) существуют и единственны отображения pjuk :7Zr~2 —> Q и Л,-^ : 1U~X —* С такие, что F/fc(ib.v,a;;) = - Yl 1 = 1 t=l Более того, если все отобраэюения Eji и Fik являются аддитивными по каждому аргументу, то это oice справедливо для отображений p^k и А,-[?. Во втором параграфе вводятся понятия d-свободного множества, (t,d)-свободного множества, квазиполиномов и на их базе формулируются результаты, необходимые для приложений. В частности, доказывается следующая теорема: Теорема 2 Пусть Q — кольцо с единицей, S — некоторое подмножество Q, и Е : Sm —* Q — квазиполипом степени < т. Если Е(хт) = О для всех ~хт G Sm и подмножество S является [т + I)—свободным, то все коэффициенты Е равны нулю. Глава 2 посвящена описанию отображений лиевского типа, то есть, решению проблем Херстейна [56, стр. 529]. В первом и втором параграфах рассматриваются лиевы изоморфизмы и лиевы дифференцирования лиевых идеалов первичных колец. Доказываются две следующие теоремы. Теорема 3 Пусть А— первичное кольцо, С —расширенный центроид и Ас — центральное замыкание. Пусть И — лиев идеал кольца A, S — лиев идеал первичного кольца TD и пусть а : S —* 1Z — сюръектив-ныйлиев гомоморфизм. Предоположим, что S и 72. порождают/кольца Т> и А соответственно. Далее предположим, что chax(A) ф 2 и А не удовлетворяет Stu, стандартному тождеству степени 14. Тогда су' ществуют гомоморфизм (антигомоморфизм) ¦( :Т> — Ас и аддитивное отображение ц : "D —* С такие, что ха = х7 + /(ж) (соответствен' но, ха = — х1 + р{х)) для всех х 6 S и /i([5,5]) = 0. Более того, если [5,5] =5, тоТР = А. Теорема 4 Пусть А — первичное, кольцо и С — расширенный центроид. Пусть/R. — лиев, идеал кольца А, В — подкольцо кольца А, порожденное TZ и пусть 6:И — "R. — лиево дифференцирование на 1Z. Предположим, что сЬ.гх{А) ф 2 и А не удовлетворяет St\±, стандарт-пому тождеству степени 14. Тогда существуют дифференцирование D : В -+ ВС + С и аддитивное отображение ?:1Z —* С такие, что (b) xD = х5 + С(^) для всех х е К. (c) Если [П,Щ = П, то BD СВ. В третьем и четвертом параграфах описаны лиевы изоморфизмы и лиевы дифференцирования лиевых идеалов кососимметрических элементов в первичных кольцах с инволюцией. Теорема 5 Пусть V — кольцо с инволюцией, С — лиево кольцо косо-симметрических элементов и S — лиев идеал С Пусть А — первичное кольцо с инволюцией, К — лиево кольцо кососияметрических элементов А и И — нецентральный лиев идеал К.. Пусть С — расширенный центроид кольца A,'R> = TZ/TZHC и пусть а : S —¦ TZ — сюръективный лиев гомоморфизм. Предположим, что сЬаг(Л) ф 2 и А не удовлетворяет St4o, стандартному тождеству степепи_40. Тогда существует гомоморфизм ф : (S) —t (7V)C -{-С такой, что х^ — ха для всех х G S. Более того, если инволюция кольца Л первого рода, то (S)^ = (71). Теорема 6 Пусть А — первичное кольцо с инволюцией, К, — лиево кольцо ко со симметрических элементов, Q = Qmr(A) — максимальное правое кольцо частных и С — расширенный центроид. Пусть 7Z — нецентральный лиев идеал К, Q = Q/C, TZ = 7Z/7Z.C\C и пусть 8 :7l—Q лиево дифференцирование, отображающее 71 в Q. Пусть ^ '• 71 —> Q любое отображение такое, что аТ? = xs для всех х ? 7Z, и В = 7ZU ТС. Предположим, что char(«4) ф 2 и А не удовлетворяет Stw, стандартному тождеству степени 40. Тогда существуют дифференцирование d : (71) —* (В)С + С и отображение ц : 7Z —> С такие, что xd — ж7 + f(x) для всех х ? 7Z {отсюда xs = xd для всех х S 7?). Более того, еслиИ5 С 1Z, то справедливо следующее: (a) ц([71,71]) С 2(71)' = 71ПС. (b) xd - ii(x) € 7t для всех х € 71 (отсюда (7l)d С (7l)C +C). (c) Если П = \7l\7l\, то 7ld С 71 (отсюда (7l)d С (71)). В третьей главе функциональные тождества используются для описания операторов, сохраняющих алгебраические свойства элементов. В первом параграфе рассматриваются операторы, сохраняющие коммутативность. В частности, доказан следующий результат. Теорема 7 Пусть Аи А' — центрально замкнутые первичные алгебры с единицами над полем С, пусть %u7V — собственные левые идеалы алгебр А и А' соответственно и пусть а : 7? —> TV биективное линейное отображение. Пу\:ть deg(7?.),deg(7?/) > 4 и char(C) ^ 2. Предположим, что [(а2)1,а?} = О^для всех а € 7Z.. Тогда существуют 0 ф Ь ? С, (антигомоморфизм 7 : 71 —+ 71! + С и линейное отображение ц : 'R. —> С такие, что ха = ох1 + v(x) для всех х S 71. Более того, если у 7Z в А есть ненулевой правый аннулятор, то !)=0и7:^~^' является изоморфизмом. Второй параграф посвящен описанию операторов, сохраняющих нормальные элементы. Его целью явлются следующие теоремы. Теорема 8 Пусть А и А' центрально замкнутые первичные алгебры над полем Т с инволюцией второго рода. Предположим, что deg(4) > 2, deg(A') > 2, и char(^") ф 2,3. пусть в : А —»¦ А'. — биективное линейное отображение, что элемент 0(х) является нормальным при условии, что х Е А является нормальным. Тогда существуют О ф а ? Т, линейное отображение /3 : А —* F и — (аити) эпиморфизм ф алгебры А на А' такие, что $(х) = аф(х) + /3(х) для всех х ? А. Теорема 9 Пусть А и А' центрально замкнутые первичные алгебры над полем J- с инволюцией первого рода. Предполооюим, что deg(A) > б, deg(A') > 13 и char^) ф 2,3. Пусть 9 : А —> А' — биективное —линейное отображение, что элемент 0{х) является нормальным при условии, чтох (Е А является нормальным. Тогда существуют HiiVi 6 F) V-\ Ф Р2> 11 ф —^2, линейное отображение из : (/С) -Т,и ^-эпиморфизм ф алгебры (/С) на {1С') такие, что в(х) = ф{^\Х + ц-zx) + lc(x + х) для всех х G (JC). В четвертрй главе описаны умножения на лиевых идеалах первичных алгебр и алгебрах Ли косимметрических элементов, относительно которых операция взятия третьей степени ассоциативна. В частности, доказан следующий результат. Теорема 10 Пусть J- — коммутативное кольцо с 1 и \|, пусть С — алгебра Ли над Т, удовлетворяющая одному из двух условий: (г) Существуетпервичная ^--алгебра А с расширенным це71троидом С и центральным замыканием АС такая, что deg(.A) > 5 и С — нецентральный лиев идеал алгебры А. (и) Существует первичная J--алгебра А с инволюг^ией первого рода, с расширенным центроидом С такая, что deg(.A) > 10 и С = К(А). Пусть : С2 —* С — Ли-совместимое умнооюение на С. Тогда справедливо: (a) Операция взятия третьей степени относительно умножения * : С2 —+ С ассоциативна тогда и только тогда, когда существуют обратимый элемент t ? С, элемент А € С, F-линейное отображение /I : С —» С, и симметрическое Т'-билинейное отобрао/сеиие т : С2 —С такие, что ^xy^-{t[x,y] + \xoy +ц(х)у +ц{у)х + т(х,у)} (0.1) для всех х,у G С. Здесь х оу означает ху + ух. (b) Алгебра (?,+,) является гибкой тогда и только тогда, когда выполнено (0.1) и справедливо K[xi У]) = 0 = г(ж» Iху У]) для всех х,у € С. Основные результаты работы следующие: 1. Рассмотрены обобщенные функциональные тождества произвольной степени. Это обобщает результат Брешара [36] и подтверждает предположение [36, стр. 691]. 2. Изложены необходимые понятия и результаты, относящиеся к конструкции d-свободных множеств, что является основой для приложений функциональных тождеств. 3. Решены проблемы Херстейна описания лиевых изоморфизмов и лиевых дифференцирований для лиевых идеалов первичных колец [56, стр. 529]. 4. Решены проблемы Херстейна описания лиевых изоморфизмов и лиевых дифференцирований для лиевых колец кососимметрических элементов в первичных кольцах с инволюцией [56, стр. 529]. 5. Рассмотрены задачи описания отображений, сохраняющих коммутативность, и отображений, сохраняющих нормальные элементы, что дает новый метод для работы с операторами, сохраняющими алгебраические свойства элементов и обобщает некоторые результаты статей [13, 32, 51, 52, 115, 116, 117, 118]. 6. Описаны умножения на лиевых идеалах первичных алгебр и алгебрах Ли косимметрических элементов, относительно которых операция взятия третьей степени ассоциативна, что обобщает некоторые результаты работ [23, 25]. Все полученные результаты являются новыми и могут быть использованы при исследовании некоторых вопросов теории колец. Р езультатьк диссертации докладывались на семинаре "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры механико - математического факультета МГУ в 1996-2003, на алгебраических семинарах Мариборского университета (Марибор, Словения), Тайваньского государственного университета (Тайбэй, Тайвань), университета им. Сунь Ятсена (Гаосюн, Тайвань) и университета им. Ченг Гуна (Тайнань, Тайвань), на конференции по теории колец в Мишкольце (Венгрия) в 1996, на конференции, посвященной памяти Д.К. Фаддеева, в Петербурге в 1997, на конференции, посвященной памяти А.Г. Куроша, в Москве в 1998, на алгебраической конференции в Тайнане (Тайвань) в 2001. Основные результаты опубликованы в 26 работах, список которых приведен в конце диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Полный объем диссертации — 215 страниц, бибилиография включает 155 наименований. Автор выражает глубокую благодарность своим научным консультантам доктору физико-математических наук профессору МГУ Александру Васильевичу Михалеву и доктору физико-математических наук профессору ТулГУ Валерию Ивановичу Иванову за полезные обсуждения, постоянную поддержку и внимание к работе. Общая теория функциональных тождеств 1.1 Обобщенные функциональные тождества- 1.1.1 Определения и обозначения В теории функциональных тождеств особую роль играют кольца частных. Мы будем следовать терминологии книги [20]. Кольцо 7? называют первичным, если для двух идеалов У и V кольца % равенство UV = 0 влечет Ы = О или V = 0. Введем понятие максимального правого кольца частных. Напомним, что правый идеал J кольца 71 называется плотным, если для любых 0 ф Г\ € 11, г 2 € 7? существует г 6 7? такой, что rxr ^ 0 и т2г 6 J. Множество всех плотных идеалов кольца % обозначим через V. Рассмотрим множество пар n={(f;J)\jEV, f:Jn->nn}, где / - гомоморфизм J в 71 как правых 7Z - модулей. Пары (/; J) и (д; JC) считаются эквивалентными, если существует идеал С Q J П К, такой, что С ? V и / = д на С. Обозначим через {/;»7} класс эквивалентности с представителем (/;7) G 7i. Определим на множестве классов эквивалентности операции сложения и умножения по следующим правилам: {/; Я+ {;?}=¦{/ + ; .7 пк}, где g~\j) = {a?JC\ g(a) G J} является плотным идеалом ввиду [20, Предложение 2.1.1.]. Множество классов эквивалентности с заданными операциями сложения и умножения является кольцом Qmr(7?), которое называется максимальным правым кольцом частных. Центр С кольца Qmr{7t) называют расширенным центроидом кольца 7?. Подкольцо 1lc = "RC + С называется центральным замыканием кольца TZ. Подмножество QT(7V) элементов <2mr(7?) таких, что для любого q € Qr(^) найдется ненулевой идеал U такой, что qU С 7Z образует кольцо называемое правым мартиндейловсшм кольцом частных. Нас.также будет интересовать подмножество Q3{7t) элементов Qmr(7Z) таких, что для любого q G QsCR) найдется ненулевой идеал U такой, что qU U Uq С Л. Это подмножество образует кольцо называемое симметрическим кольцом частных. Аналогичным образом можно определить максимальное левое кольцо частных Qmi{Jt) и мартиндейловское левое кольцо частных Qi(1Z). Пусть г — натуральное число, 7? — некоторое множество и Q — некоторое кольцо. Для отображения F : TV"1 —> Q и 1 < i < г, определим отображение Fx : TV —> Q, 1 < i < г, по правилу F\xi,...,xT) = F(xu...,Xi.uXi+l,...,xr) для всех«1,...,лгг 6 Я. Аналогично, для отображения р : 7V~2 —^Qnl рХ}{хх, . . . ,ХГ) = р(х\, . . . , Х,-_!, Xi+i, ..., Xj-i,Xj+i,. . . , Хг). Для удобства подразумевается, что отображение, определенное на 72.°, является константой из Q и отображение, определенное на 71~1, является нулевым. Мы будем также писать -Р вместо F\xi,.. .,хт), ptJ вместо p1J (х\,..., хт), F'(xkt) вместо Fx(xu...1xk_i,xkt,xk+U...7xr) где 1<^<ги^! (здесь t € Q — это такой элемент, что TZt С 71). Основной целью этой главы является следующая теорема Теорема 1.1.1 Пусть TZ — первичное кольцо, Q 6 {Qmt, Qmr), С — расширенный центроид, г > 2 — целое число и П{,гщ, i = 1,... ,г— неотрицательные целые числа. Пусть V — конечномерное подпространство векторного пространства Q над С, и пусть Eji,Fik : TZT~l —> Q — такие отображения, что г ni г mi ^ ^U^.-.^jev (l.i) для ecexxi...,xr EH, где {a{,...,aJn.} и {b{,... ,6^.}, j = 1,...,г, суть С-пезависимые подмножества Q. Тогда выполняется одна из двух воз-Mooicuocmeu: (i) Т1С — примитивное -кольцо с. ненулевым цоколем и elZce — ко-печномерная алгебра с делением над С для каждого минимального идемпотента е из 71С, или (и) существуют и единственны отображения Pjiik '• 1ZT~2 —> Q и Ащь : TV'1 —> С такие, что Е]{{хи..., хР) = Y1 Ё ^йкС^ь • • •, хг) ? <1<г k=l 43 Fjk{xu...1xr) = - В частности, Г nJ Г *"l Более того, если все отображения Ej{ и Fik являются аддитивными по каждому аргументу, то это oice справедливо для отображений

Список литературы

Цена, в рублях: (при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)	1425

Скачать бесплатно	23611.doc

Найти готовую работу

ЗАКАЗАТЬ

Обратная связь:

Связаться

Вход для партнеров

Регистрация

Восстановить доступ

Материал для курсовых и дипломных работ

29.04.24 Результаты оценки психологических детерминант гражданской идентичности учащихся старших классов

29.04.24 Программа формирования гражданской идентичности старшеклассников

29.04.24 Психологические основания для разработки программы формирования гражданской идентичности старшеклассников

Архив материала для курсовых и дипломных работ

Ссылки:

Счетчики:

Быстрый переход к готовым работам

Мнение посетителей:

Найти готовую работу

Обратная связь:

Вход для партнеров

© 2006-2022. Все права защищены. Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.

© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.