У нас уже
176407
рефератов, курсовых и дипломных работ
Сделать закладку на сайт
Главная
Сделать заказ
Готовые работы
Почему именно мы?
Ценовая политика
Как оплатить?
Подбор персонала
О нас
Творчество авторов
Быстрый переход к готовым работам
Контрольные
Рефераты
Отчеты
Курсовые
Дипломы
Диссертации
Мнение посетителей:
Понравилось
Не понравилось
Книга жалоб
и предложений
Название
Сингулярные граничные задачи сопряжения
Количество страниц
312
ВУЗ
МГИУ
Год сдачи
2010
Бесплатно Скачать
23615.doc
Содержание
Содержание
Введение...1 -57.
Гла,ва I. Сингулярные случаи граничных задач српряжения
аналитических функций...57-164.
§ 1. Сингулярные случаи краевой задачи Римана...57-64.
§2. Сингулярные случаи общей граничной задачи линейного
сопряжения в эллиптическом случае...65-69.
§3. Сингулярные случаи общей граничной задачи линейного
сопряжения в параболическом случае...70-77.
§4. Общая граничная задача линейного сопряжения со сдвигом и с
сингулярностью в граничном условии...77-85.
§5. Общая граничная задача в случае, когда коэффициенты и свободный
член имеют особенности различных типов...86-89.
§6. Обобщенная граничная задача линейного сопряжения в сингулярном
случае...89-94.
§7. Задача сопряжения аналитических функций с первыми
производными и с сингулярным граничным условием...95-122.
§8. Задача сопряжения аналитических функций с производными высших порядков в сингулярном случае...123-146.
§9. Обобщение краевого условия задачи сопряжения аналитических функций с производными высших порядков в сингулярном
случае...147-154.
§10. Некоторые другие сингулярные случаи задачи сопряжения аналитических функций с производными...155-164.
Глава II. Сингулярные случаи задачи сопряжения обобщенных
аналитических функций...165-236.
§1. Сингулярные случаи краевой задачи типа Римана для системы
уравнений элиптического типа...188-207.
§2. Сингулярные лучаи краевой задачи Римана-Газемана...207-217.
§3. Сингулярные случаи задачи сопряжения обобщенных аналитических
функций...218-227.
§4. Сингулярные случаи задачи сопряжения с производной для обобщенных аналитических функций...227-236.
Глава III. О задачах сопряжения гармонических функций в
сингулярном случае...237-280.
§1. Сингулярные случаи задач сопряжения гармонических
функций...*...244-248.
§2. Сингулярные случаи задач сопряжения для некоторых уравнений в частных пренпнодных...248-267.
§3. Некоторые задачи сопряжения с производными второго порядка, а также их сингулярные случаи для гармонических функций на
плоскости...268-271.
§4. Задачи сопряжения гармонических функций для полуплоскости...272-280.
Глава IV. Характеристическое особое интегральное уравнение в
сингулярных случаях...281 -299.
§1. Характеристическое особое интегральное уравнение в сингулярном
случае...284-288.
§2. Обобщенное характеристическое особое интегральное уравнение в сингулярном случае...288-299.
Литература...300-312.
Введение
Несколько десятилетий тому назад большое распространение получила теория краевых задач аналитических функций и сингулярных интегральных уравнений, центральное место в которой заняла проблема нахождения пары функций (р+(z),cp~(z) аналитических внутри и вне контура L соответственно, предельные значения которых удовлетворяет соотношение
где (?(/) и g(t) заданные функции. Для того случая когда L -простой замкнутый контур a G(t), g(t) удовлетворяют условию Гельдера (или Lip, 0 < а < 1 ), a G{t) кроме того ещё условию нормальности G(/) * 0,t 6 L - общее решение (0.1) и притом в явном виде (в интегралах типа Коши) впервые было найдено в 1936г. Ф.Д.Гаховым [17]. В его школе стали называть задачей Римана, а в школе Н.И.Мусхелишили [57] задачей Гильберта. При g(t) * 0 ещё также задачей о факторизации, а более общий случай систем отношении (0.1) составил двадцать первую проблему Д.Гильберта (о линейных дифференциальных уравнениях с заданной группой монодромии). Ограничиваясь далее лишь случаями нарушения условия нормальности (N), мы должны отметить исследования Ф.Д. Гахова случаев, когда G(t) имеет нули и полюсы
аналитической структуры и названный им исключительными случаями.
В диссертации будут рассмотрены не изучавшиеся ранее случаи, (0,1) когда G(t) имеет нули или полярные особенности не целого порядка и не голоморфной структуры. Такие случаи мы будем называть сингулярными.
Но действительно общей линейной задачей сопряжения надо считать
Задача (А) ставилась А.И. Маркушевичем в 1946г. и рассматривалась им при o(t) = c(t) = 0, b{t) = \. В 1952г. Н.П.Векуа привел её к сингулярному интегральному уравнению, получил условие нормальной разрешимости a{t) ^0 и доказал её разрешимость в классе мероморфных функций, что же касается класса голоморфных функций, то имелись лишь альтернативные утверждения типа теорем Нетера. Важное значение приобрела задача (А) в работах И.Н.Векуа [11] по изгибаниям склееных поверхностей . В связи с этим её исследовал в 1959г. Б.В.Бярский [9]. Указав существенное значение условия \a{t)\ > |/?(/)|, он получил для этого случая первые точные результаты.
Рассматривая (вслед за Н.П.Векуа) сопряженную задачу (А*) он доказал теоремы Нетера для граничных задач (А) и (А*). Сводя их к обычным сингулярным интегральным уравнениям, он пользуется представлениями интегралами типа Коши с вещественной плотностью. Такое преде!пиление очеш, громоздко в случае миогосвичпой области.
Не случайно поэтому он ограничивается односвязной областью. Его метод исследования однородной задачи состоит в упрощении краевого условия до условия непрерывности за счет усложнения искомой функция, являющейся решением системы Бельтрами. В силу такой громоздкости метода приходится наложить на a{t) условие Гельдера с показателем сколь угодно близким к единице.
Л.Г. Михайлов в [43] даёт в сущности полную теорию задачи (А) при весьма общих условиях: a(t) непрерывна, b(i) измерима и ограничена, c(t) e Z,;), р > 1. Не менее важно то, что результаты получены
несколькими различными методами, вполне естественными и, вероятно, простейшими, какие возможны в данной задаче. Изучение задачи (А) доведено до такого уровня на котором находится решение известных граничных задач Римана и Гильберта. В задаче (А) различаются случаи
1. \a{t)\ > \b(t)\ , 2. \a(t)\ S \b(t)\ , 3. \a(t)\ < \b(t)\,
которые называются соответственно эллиптическим, параболическим и геперболическим.
В параболическим случае задача распадается па две связанные задачи типа
~Y)+g(n (В)
Для односвязной области (В) сводится к задаче Римана, в некоторых других случаях- к задаче Гильберта.
Вслед за Л.Г. Михайловым, И.Х.Сабитовым [61] была рассмотрена задача (А) в круге, без требования условия типа \a(t)\ > \b(t)\ , \a(t)\ = \b(t)\
или
Несравненно меньшее количество исследований относится к
¦ задачам сопряжения для уравнений в частных производных второго
порядка. Здесь [59], посвящены задачам сопряжениям гармонических
функций в многомерном пространстве которые изучаются
вариационными методами.
В 1956г. Л.Г.Михайловым было дано решение задачи ^
Здесь мы должны сказать о работах СМ. Никольского [59] посвященных задачам сопряжениям гармонических функции в трехмерном пространстве, изучаемым вариационными методами. ^ Рассмотрены также более общая задачи:
Пусть дан простой замкнутый контур Ляпунова L, разделяющий плоскость на области D+ и D'.
Требуется найти функции и*(х,у),и~(х,у), являющаяся регулярными решениями в D+ и D' уравнения
-Аи + а{х,у)их + b{x,y)iiy + с(х,у)и = d(x,y), , (Г)
и непрерывными вплоть до L вместе с их первыми производными и связанными на границе условиями
<*кК + Рк< + Г У = /V'J + vkK +Sttr+t]t, к = 1,2. н; (сю), г,- (со) = О (Д) где все элементы, за исключением u*,u*,ir, являются заданными
функциями.
Из указанных работ ясно, что условие G{t) * 0 для задачи (В) или a{t) ф 0 для задачи (А) весьма существенны. Они обеспечивают нормальную разрешимость этих краевых задач. Случаи его нарушения естественно называть сингулярными. К таковым, разумеется, следует присоединить случаи, когда a(t),G(t),b(t)или ак,рк,ук,/.1к,ук,бкстииовятся
неограниченным и обращаются в бесконечность.
Во всех предшествующих работах сингулярные случаи в общем виде не рассматривались.
Настоящая диссертация посвящена построению полной теории разрешимости сингулярных случаев задач сопряжения:
Перейдем теперь к краткому изложению содержание диссертации. Работа состоит из введения, четырёх глав и списка литературы. Первая глава, состоящая из десяти параграфом, посвящена
исследованию сингулярных случаен граничных задач сопряжения
аналитических функций. В первом параграфе рассматривается сингулярные случаи краевой задачи Римана.
Пусть L простой гладкий замкнутый контур разделяющий плоскость комплексного переменного на внутреннюю область D+ и внешнюю D". Пусть я,(/) и c{t) -функции точек контура удовлетворяющие на L условию Гельдера, причем а,(/)*0.
Рассматривается следующая задача. Найти функции
где /0 - некоторая точка контура, /л - произвольное комплексное число с положительной вещественной частью, /л = т-у (ш-целое число), m = ?(Re//) + l И 0
T(z) - интерполяционный многочлен для аналитической функции
Установлено следующая
Случай 1. Теорема 1.1. Если зе>0, то общее решение неоднородной задачи Римана линейно зависит от де+1 произвольных постоянных и определяется формулой (0.2), при дополнительном условии <р~*(со) = 0 Pse(z) следует заменить на Pse-i(z).
При ее < 0 однородная задача (c(t) = 0) в заданном классе имеет только нулевое решение, а неоднородная задача разрешима тогда и только тогда, когда выполняются — 89 условий
v// = O (j = 0,1,...,- зе) (0.4)
i. x~z. Если эти условия выполнены, то неоднородная задача имеет
единственное решение, которое получается из (0.2) при Poe(z)=0.
Случай 2. Теорема 1.2. Если бе -ш>0, то общее решение неоднородной задачи (0.1) линейно зависит от ве-т + \ произвольных постоянных и определяется формулой (0.4). где при дополнительном
УСЛОаии <р (<у;) -.0 I'iv-mfz) СЛ('()УС'П1 UlUC'ltUHh 11(1 f';i>-m-i(z).
При зе-т<0 однородная задача (c(t) = O) в заданном классе имеет ,д только нулевое решение, а неоднородная задача разрешимо тогда и только тогда, когда выполняются \ве-т\ условий
При выполнении этих условий неоднородная задача имеет единственное решение, которое получается из (0.3) при Pae-m(z)=O.
В §2 исследуются сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения в эллиптическом случае.
Дан простой гладкий замкнутый контур L делящий плоскость комплексного переменного на внутреннюю область D+ и внешнюю D'.
Задача. Найти функции cp+(z) и (p'{z), аналитические в D+ и D~ соответственно, если на L их граничные значения (p*{t) и q>~(t) удовлетворяют условию сопряжения:
(р+ (0 = |' ~ 'о а> (')*>" (0 + b{t)
В качестве класса допустимых функций будем брать функции, которые - в отдельных точках контура обращаются в бесконечность порядка меньше единицы. Значение искомой функции на бесконечности будем считать равным нулю.
Случаи 1.
(р+ (/) = "'^ (р~ (/) + b{t)q>~ (О
Теорема 1.3. Пусть о,(/),6(/),с(/) е H{L) и пусть sup
где s -норма в L сингулярного оператора Sp = — f^ dr.
m[T-z
Тогда при ве-т>0 однородная задача имеет 2(дВ-т) линейно независимых решений, а неоднородная, безусловно, разрешима. Прг зе-т = 0 задача имеет и притом единственное решение, нулевое для однородной. При дв-т<0 однородная задача не имеет решений, отличных от нулевого, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно 2\дЗ-т\вещественных или \ее-т\ комплексных условий
Пусть L- окружность |z| = l, функции ax(t\bt(t),ct(t) e H(L). Предположим, кроме того, что bt(f),c^t) в окрестности точки /„ имеют производные порядка 77/, удовлетворяющие услов-ию Гельдера. • •.
однородная задача имеет 2зе линейно независимых решений, а неоднородная, безусловно разрешима. При ЗВ-0 задача имеет и притом единственное решение, нулевое для однородной. При дЭ<0 однородная задача не имеет решение, отличных от нулевого, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно \зе\ комплексных условий.
В §3 исследуются сингулярные случаи общей граничной задачи
линейного сопряжения в параболическом случае.
Теорема 1.5. Пусть в задаче (A) ax{t)\ = 6,(/)|>0, 0,(0,6,(0,0,(0 удовлетворяют условию Гельдера: Л = IndLal(t) + //7t/?6,(/),
77 = /т/дйг,(О-/«^6,(о, зе= IndLa^{t), A + rj = 2se, I- число решений однородной задачи up- число условий разрешимости неоднородной. Тогда картина разрешимости имеет вид:
1. если Я >0,// <0, то 1 = 0, р = 2\зе\-2;
2. если Я < 0, // > 0, то I = // +1, р = |Л| -1 ;
3. если Я > 0, // > 0, то I = 2ЭЭ+2, р = 0;
4. если Я >,.0„-.7<• °> то. разрешимость определяется из систем \n\-\ уравнений с Л + \ неизвестными. Различаются два случим:
1) ее >-1, тогда р = 0 и, вообще говоря, 1=2(ее+1), по в некоторых специальных случаях, когда имеются определенные скалярные
зависимости между я,(/) и 6,(/), / может быть больше, любым из неравенства 2ее +2 < I < Л +1;
2) зе<-\, тогда в общем случае 1 = 0, р--2ае-2, но в указанных специальных случаях I и р могут быть больше, любыми из неравенств 0 < / < Я +1 и -2ее -2< р<|//|-1:
В §4 исследуется общая граничная задача линейного сопряжения со сдвигом и с сингулярным граничным условиям.
Пусть L - простой замкнутый контур, делящий плоскость на внутреннюю область D+ и внешнюю D'. На L задаются функции: a(t)- непрерывная, b(t)- ограниченная и измеримая, c(t)eLp, и функция
a{t), отображающая контур взаимно однозначно на себя с сохранением направления и имеющая производную «¦(/), удовлетворяющую условию Гельдера и не обращающуюся в нуль, a(t) будем называть функцией сдвига.
Требуется определить функции
В работе Л.Г. Михайлова [43] для данной задачи получен следующий результат. Если a(t) сохраняет ориентацию на L и выполнено условие
эллиптичности
\b(t)\, то для краевой задачи (Аа) число линейно
независимых (над полем вещественных чисел) решений однородной задачи равно / = max(0, 2ае), аэ= Ind,a(t), число условии разрешимости
неоднородной задачи равно /? = max(0, - 2 аэ,),причем эти числа не зависят от сдвига a(t) и остаются такими же как в соответствующих случаях задачи без сдвига.
Был изучен также параболический случай |a(/)j ^\b(t)\*Q, причем
здесь не требуется, чтобы a(t) сохраняло направление обхода контура. Однако, когда ни одно из условий, указанных выше, не выполнено, теория разрешимости задачи уже зависит от сдвига (см. [60]). Как свидетельствуют работы Г.С.Литвинчука [42], все другие обобщения, связанные с введением сдвига «(/) в краевое условие и их исследованием пока что удается довести до уровня исследования задачи (Аа)пишь в том случае когда сдвиг a(t)удовлетворяет условию Карлемана.
Результаты §4 первой главы посвящены исследованию особых, или сингулярных, случаев задачи {'А;,), когда коэффициент аф в отдельных точках контура обращается в нуль или бесконечность целых порядков, пли же ко )ффпцпс111 />(/) обращаете-! it бесконечность. Во всех
Список литературы
Цена, в рублях:
(при оплате в другой валюте, пересчет по курсу центрального банка на день оплаты)
1425
Скачать бесплатно
23615.doc
Найти готовую работу
ЗАКАЗАТЬ
Обратная
связь:
Связаться
Вход для партнеров
Регистрация
Восстановить доступ
Материал для курсовых и дипломных работ
29.04.24
Результаты оценки психологических детерминант гражданской идентичности учащихся старших классов
29.04.24
Программа формирования гражданской идентичности старшеклассников
29.04.24
Психологические основания для разработки программы формирования гражданской идентичности старшеклассников
Архив материала для курсовых и дипломных работ
Ссылки:
Счетчики:
© 2006-2022. Все права защищены.
Выполнение уникальных качественных работ - от эссе и реферата до диссертации. Заказ готовых, сдававшихся ранее работ.